2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷（三）
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷（三） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 22.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-19 15:18:02 | ||
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文档简介
评估验收卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：i(2－i)＝2i－i2＝2i＋1＝1＋2i.
答案：A
2．设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( )
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
解析：由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以z＝3＋2i，故选C.
答案：C
3．已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：(1－ai)(3＋2i)＝3＋2a＋(2－3a)i，由题意3＋2a＝0且2－3a≠0，即a＝－.
答案：A
4．复数为纯虚数，则它的共轭复数是( )
A．2i B．－2i C．i D．－i
解析：因为复数＝＝为纯虚数，所以＝0，≠0，解得a＝1.所以＝i，则它的共轭复数是－i.
答案：D
5．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为( )
A. B．－ C. D．－
解析：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1－2i，则z2＝－1－2i，则＝＝＝＝－i，则的虚部为－.
答案：D
6．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )
A.＋i B. C. D.
解析：因为(1＋2ai)i＝1－bi，所以－2a＋i＝1－bi，
则a＝－，b＝－1，故|a＋bi|＝＝，选C.
答案：C
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：因为z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i∈R.
所以x＋2＝0，所以x＝－2.
答案：A
8．设z是纯虚数，若是实数，则z＝( )
A．－2i B．－i C.i D．2i
解析：因为z为纯虚数，所以设z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝＝＝＋(b＋2)i，又因为为实数，所以(b＋2)＝0，即b＝－2，所以z＝－2i.
答案：A
9．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为( )
A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2
解析：因为(x＋i)(1－i)＝(x＋1)＋(1－x)i，所以(x＋1)＋(1－x)i＝y.
所以x＋1＝y且1－x＝0，得x＝1，y＝2.
答案：D
10．已知3－i＝z·(－2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为3－i＝z·(－2i)，
所以z＝＝＝＝＋i.
其对应的点的坐标为，在第一象限．
答案：A
11．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )
A．1 B. C. D．－
解析：z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝m＋2mi＋(m－1)i＋2(m－1)i2＝(m－2m＋2)＋(2m＋m－1)i＝(2－m)＋(3m－1)i.所以2－m＝3m－1，得m＝.
答案：B
12．已知在复平面内，向，，对应的复数分别为－2＋i，3－i，1＋5i，则对应的复数是( )
A．－6i B．6i C．－5i D．5i
解析：＝＋＋＝－－＋＝－(3－i)－ (－2＋i)＋1＋5i＝5i.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以a＋2＝0，即a＝－2.
答案：－2
14．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________．
解析：(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.
因为其对应点在实轴上，
所以a＋1＝0，即a＝－1.
答案：－1
15．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________．
解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
答案：
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0，1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
答案：2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2)＋.
解：(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)1 009＝－1＋i－i＝－1.
18．(本小题满分12分)实数m分别取什么数值时，复数z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i：
(1)与复数2－12i相等？
(2)与复数12＋16i互为共轭复数？
(3)在复平面内对应的点在x轴上方？
解：(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
即m＝－1时，复数z与复数2－12i相等．
(2)复数12＋16i的共轭复数为12－16i，
由题意得
即解得m＝1.
故当m＝1时，复数z与复数12＋16i互为共轭复数．
(3)复数z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i在复平面内对应的点位于x轴上方，则m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
所以m<－3或m>5时，复数z在复平面内对应的x轴上方．
19．(本小题满分12分)设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：z＝＝＝
＝＝1－i.
因为z2＋a·z＋b＝1＋i，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.
所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.
所以解得a＝－3，b＝4.
即实数a，b的值分别是－3，4.
20．(本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋<0，求z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，由题意得x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
因为y≠0，z2＋2z＋<0，
所以解得x＝－.
将x＝－代入x2＋y2＝1，得y＝±.
所以z＝－±i.
21．(本小题满分12分)关于x的方程x2－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有实数根x1.
(1)求x1和m的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x2，并给予证明；
(3)设x1，x2在复平面内对应点分别为A，B，求|AB|.
解：(1)把x1代入方程得x－x1－m＋(2－3x1)i＝0，
∴解得
∴x1，m的值分别为，－.
(2)设另一个根为x2，则x2＋＝1＋3i，
∴x2＝＋3i.
验证：把x2代入原方程：
－(1＋3i)＋＝＋2i－9－＋9－4i＋2i＋＝0.
∴x2＝＋3i是方程的另一个根．
(3)|AB|＝|x2－x1|＝|－－3i|＝.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解：由题意，得z1＝－(10－a2)i，
则z1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i.
因为z1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以z1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3.
所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以＝，＝(－1，1)．
所以·＝×(－1)＋1×1＝.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：i(2－i)＝2i－i2＝2i＋1＝1＋2i.
答案：A
2．设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( )
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
解析：由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以z＝3＋2i，故选C.
答案：C
3．已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：(1－ai)(3＋2i)＝3＋2a＋(2－3a)i，由题意3＋2a＝0且2－3a≠0，即a＝－.
答案：A
4．复数为纯虚数，则它的共轭复数是( )
A．2i B．－2i C．i D．－i
解析：因为复数＝＝为纯虚数，所以＝0，≠0，解得a＝1.所以＝i，则它的共轭复数是－i.
答案：D
5．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为( )
A. B．－ C. D．－
解析：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1－2i，则z2＝－1－2i，则＝＝＝＝－i，则的虚部为－.
答案：D
6．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )
A.＋i B. C. D.
解析：因为(1＋2ai)i＝1－bi，所以－2a＋i＝1－bi，
则a＝－，b＝－1，故|a＋bi|＝＝，选C.
答案：C
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：因为z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i∈R.
所以x＋2＝0，所以x＝－2.
答案：A
8．设z是纯虚数，若是实数，则z＝( )
A．－2i B．－i C.i D．2i
解析：因为z为纯虚数，所以设z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝＝＝＋(b＋2)i，又因为为实数，所以(b＋2)＝0，即b＝－2，所以z＝－2i.
答案：A
9．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为( )
A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2
解析：因为(x＋i)(1－i)＝(x＋1)＋(1－x)i，所以(x＋1)＋(1－x)i＝y.
所以x＋1＝y且1－x＝0，得x＝1，y＝2.
答案：D
10．已知3－i＝z·(－2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为3－i＝z·(－2i)，
所以z＝＝＝＝＋i.
其对应的点的坐标为，在第一象限．
答案：A
11．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )
A．1 B. C. D．－
解析：z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝m＋2mi＋(m－1)i＋2(m－1)i2＝(m－2m＋2)＋(2m＋m－1)i＝(2－m)＋(3m－1)i.所以2－m＝3m－1，得m＝.
答案：B
12．已知在复平面内，向，，对应的复数分别为－2＋i，3－i，1＋5i，则对应的复数是( )
A．－6i B．6i C．－5i D．5i
解析：＝＋＋＝－－＋＝－(3－i)－ (－2＋i)＋1＋5i＝5i.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以a＋2＝0，即a＝－2.
答案：－2
14．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________．
解析：(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.
因为其对应点在实轴上，
所以a＋1＝0，即a＝－1.
答案：－1
15．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________．
解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
答案：
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0，1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
答案：2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2)＋.
解：(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)1 009＝－1＋i－i＝－1.
18．(本小题满分12分)实数m分别取什么数值时，复数z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i：
(1)与复数2－12i相等？
(2)与复数12＋16i互为共轭复数？
(3)在复平面内对应的点在x轴上方？
解：(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
即m＝－1时，复数z与复数2－12i相等．
(2)复数12＋16i的共轭复数为12－16i，
由题意得
即解得m＝1.
故当m＝1时，复数z与复数12＋16i互为共轭复数．
(3)复数z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i在复平面内对应的点位于x轴上方，则m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
所以m<－3或m>5时，复数z在复平面内对应的x轴上方．
19．(本小题满分12分)设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：z＝＝＝
＝＝1－i.
因为z2＋a·z＋b＝1＋i，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.
所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.
所以解得a＝－3，b＝4.
即实数a，b的值分别是－3，4.
20．(本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋<0，求z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，由题意得x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
因为y≠0，z2＋2z＋<0，
所以解得x＝－.
将x＝－代入x2＋y2＝1，得y＝±.
所以z＝－±i.
21．(本小题满分12分)关于x的方程x2－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有实数根x1.
(1)求x1和m的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x2，并给予证明；
(3)设x1，x2在复平面内对应点分别为A，B，求|AB|.
解：(1)把x1代入方程得x－x1－m＋(2－3x1)i＝0，
∴解得
∴x1，m的值分别为，－.
(2)设另一个根为x2，则x2＋＝1＋3i，
∴x2＝＋3i.
验证：把x2代入原方程：
－(1＋3i)＋＝＋2i－9－＋9－4i＋2i＋＝0.
∴x2＝＋3i是方程的另一个根．
(3)|AB|＝|x2－x1|＝|－－3i|＝.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解：由题意，得z1＝－(10－a2)i，
则z1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i.
因为z1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以z1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3.
所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以＝，＝(－1，1)．
所以·＝×(－1)＋1×1＝.