1.1 数列的概念
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1.1 数列的概念
第一章 数 列
陛下您的国库里麦子够搬吗？
多少麦子？
（1）国际象棋起源于古印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王想赏赐国际象棋的发明者，于是有下面一段对话····
1
2
22
23
24
25
26
…
263
OK
1+2+22+…+263=？
一、创设情境
?
4
5
6
7
8
1
4
5
6
7
8
1
2
3
3
2
64个格子
你认为国王有能力满足上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是
前
一个格子里麦粒数的
2倍
且共有
64
格子
?
?
1844,6744,0737,0955,1615
， ， ， ， ， ， …
一尺之棰 日取其半 万世不竭.
4月10日至4月17日湖州的日最高气温
23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19
日期 4月
10日 4月
11日 4月
12日 4月 13日 4月14日 4月15日 4月16日 4月17日
最高气温
（ ） 23 21 18 20 20 22 21 19
15
5
16
16
28
32
15, 5, 16, 16, 28, 32, 51,
1984年
洛杉矶 1988年
汉城 1992年
巴塞罗那 1996年
亚特兰大 2000年
悉尼 2004年
雅典 2008年
北京
金牌数
共同特点：
1. 都是一列数；
2. 都有一定的次序
“一尺之棰，日取其半后的长度的一列数.”
4月10日至4月17日湖州的日最高气温排成的一列数
23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19
1.定义：
请问，是不是同一数列？
请问，是不是同一数列？
(数列具有有序性)
按照一定次序排列的一列数叫做
（7）我们班所有同学的身高.
（8）李宇春，周笔畅，张靓颖，何洁，纪敏佳.
1°无次序
2°不是一些数
×
×
注：
各项依次叫做这个数列的第1项(首项)，第2项，··· ，第n项，···
2、数列中的每个数叫
做这个数列的项．
3、数列的分类
按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列
项数无限的数列叫无穷数列
无穷数列
有穷数列
有穷数列
无穷数列
数列的一般形式可以写成：
第1项
第2项
第3项
第n项
列的第1项，
4．数列的表示
如数列（4）：
项 10 20 30 40 50 60 ······ an
项数 1 2 3 4 5 6 ······ n
思考：下面5个数列中的项与序号的关系有没有
规律？如何总结这些规律？
?
an=10n
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…． (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为
项（an)
项数 (n)
1，2，3，4，5，…．
5、通项公式（解析表示法）
例如数列：
-1，1，-1，1, …, (-1) ，…
①
1 2 3 4 … n …
∴通项公式： an = (-1)n
用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
② 1, 4, 9, 16, 25, … , n , …
1 2 3 4 5 … n …
∴通项公式 an = n
2
2
2
③ 3 5 7 9 11 13
1 2 3 4 5 6
∴通项公式 an = 2n+1 ( n≤6 )
解：
首项为
第2项为
第3项为
例1、已知数列{an}的通项公式为an=2n－1，写
出这个数列的首项、第2项和第3项．
变式：写出数列{1-3n}的前5项及第十项，并判断-101是否
是该数列中的项，若是，说明是第几项。
解：a1=1-3×1=-2
a2=1-3×2=-5
a3=1-3×3=-8
a4=1-3×4=-11
a5=1-3×5=-14
a10=1-3×10=-29
1-3n=-101
n=34∈N*
-101是数列中的项，是第34项
例2、写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：
解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：
解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：
用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
说明：
（1）数列的通项公式不唯一.
（2）不是所有数列都有通项公式。
2、根据数列{ }的通项公式，写出它的前5项：
1、数列 （1） 3， 5， 7，9，…
（2） 2，8，13，27，40
（3） 1，1，1，1， …
（4） 24，19，17，8，5
其中有穷数列是？无穷数列是？
1，2，3，4，5，6， ….
4，5，6，7，8，9，
1，0.1，0.01，0.001，….
-1，1，-1，1，-1，….
2，2，2，2，2， ….
（3）写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（4）概念辨析:
下列说法正确的有______________.
①数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列.
②数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列.
③1,4,2,0.3,不是数列,
④数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点.
⑤数列的项数是无限的.
⑥数列的通项公式是唯一的.
④
思考题：
1、 写出下列数列的一个通项公式：
（1）、1，－1，1，－1；
（2）、2，0，2，0；
（3）、9，99，999，9999；
（4）、0.9，0.99，0.999，0.9999。
（1）
（4）
六、课堂小结
数列
数列有关概念
数列与函数的关系
通项公式
求通项公式
数列中的项
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应。
1 3 5 7 …… 2n-1
1
2
3
4
n
（自变量）
（函数值）
数列的实质：
结论：数列是一种特殊的函数.
6、数列的实质：
7. 数列的图象表示法
例如: 数列 -1, 1, -1, 1, -1…
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
n
an
又如：数例 2，4，6，8，10
n
an
0
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。
无穷数列表示无限个孤立的点。
斐波那契數列
斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci ， 1170 ? 1250 ），意大利商人兼數學家。
斐波那契數列(Finonnaci sequence)
自第三項開始,每一項都是前兩項的和.
數列中的每一項則稱為斐波那契數(Fibonnaci Number) 以符號 Fn 表示，即：F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2)
向日葵的種子
綠色表示按順時針排列的種子
紅色表示按逆時針排列的種子
植物學家發現：
某種向日葵的種子是按兩組螺線排列，其數目往往是連續的斐波那契數 。
向日葵的種子
普通大小的向日葵：34條順時針螺線
55條逆時針螺線
較大的向日葵： ８９條順時針螺線
１４４條逆時針螺線
植物的分枝
Back
菠蘿的表皮
菠蘿的中心軸Z 軸垂直於Z軸的平面XOY。
量度表皮上每一個六角形的中心與平面XOY的距離，便會發現……
菠蘿的表皮
其中三個方向是按等差數列
排列的：
0,5,10,15,20,…
0,8,16,24,32,…
0,13,26,39,52,…
公差
5
8
13
三個連續的斐波那契數！
花瓣的數目
斐波那契數!
花瓣的數目是 :
3
5
8
13
21
3
5
5
21
鋼琴例子
在一個音階中:
白色的鍵數為 8
黑色的鍵數為 5
兩個連續的斐波那契數!
帕斯卡三角形
斐波那契數列!
穿高跟鞋的效應
假設某女士的原本軀幹與身高比為 0.6 (i.e. x : l = 0.60 )
若所穿的高跟鞋的高度為d ，新的軀幹與高度比為:
(x + d) : (l + d)
= ( 0.6 l + d) : (l + d)
例:某位女士的身高為160 cm (約5呎3寸)
穿高跟鞋的效應
7.62 (3吋)
160
0.60
0.612
5.08 (2吋)
160
0.60
0.606
2.54 (1 吋)
160
0.60
穿了高跟鞋後的新比值
(0.6 l +d):(l +d)
高跟鞋高度
(d cm)
身高
(l cm)
原本軀幹與身高比值( x : l)
穿高跟鞋使腳長與身高的比值趨向黃金比。
由此可見，女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有
數學根據的!
0.618
第一章 数 列
陛下您的国库里麦子够搬吗？
多少麦子？
（1）国际象棋起源于古印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王想赏赐国际象棋的发明者，于是有下面一段对话····
1
2
22
23
24
25
26
…
263
OK
1+2+22+…+263=？
一、创设情境
?
4
5
6
7
8
1
4
5
6
7
8
1
2
3
3
2
64个格子
你认为国王有能力满足上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是
前
一个格子里麦粒数的
2倍
且共有
64
格子
?
?
1844,6744,0737,0955,1615
， ， ， ， ， ， …
一尺之棰 日取其半 万世不竭.
4月10日至4月17日湖州的日最高气温
23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19
日期 4月
10日 4月
11日 4月
12日 4月 13日 4月14日 4月15日 4月16日 4月17日
最高气温
（ ） 23 21 18 20 20 22 21 19
15
5
16
16
28
32
15, 5, 16, 16, 28, 32, 51,
1984年
洛杉矶 1988年
汉城 1992年
巴塞罗那 1996年
亚特兰大 2000年
悉尼 2004年
雅典 2008年
北京
金牌数
共同特点：
1. 都是一列数；
2. 都有一定的次序
“一尺之棰，日取其半后的长度的一列数.”
4月10日至4月17日湖州的日最高气温排成的一列数
23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19
1.定义：
请问，是不是同一数列？
请问，是不是同一数列？
(数列具有有序性)
按照一定次序排列的一列数叫做
（7）我们班所有同学的身高.
（8）李宇春，周笔畅，张靓颖，何洁，纪敏佳.
1°无次序
2°不是一些数
×
×
注：
各项依次叫做这个数列的第1项(首项)，第2项，··· ，第n项，···
2、数列中的每个数叫
做这个数列的项．
3、数列的分类
按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列
项数无限的数列叫无穷数列
无穷数列
有穷数列
有穷数列
无穷数列
数列的一般形式可以写成：
第1项
第2项
第3项
第n项
列的第1项，
4．数列的表示
如数列（4）：
项 10 20 30 40 50 60 ······ an
项数 1 2 3 4 5 6 ······ n
思考：下面5个数列中的项与序号的关系有没有
规律？如何总结这些规律？
?
an=10n
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…． (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为
项（an)
项数 (n)
1，2，3，4，5，…．
5、通项公式（解析表示法）
例如数列：
-1，1，-1，1, …, (-1) ，…
①
1 2 3 4 … n …
∴通项公式： an = (-1)n
用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
② 1, 4, 9, 16, 25, … , n , …
1 2 3 4 5 … n …
∴通项公式 an = n
2
2
2
③ 3 5 7 9 11 13
1 2 3 4 5 6
∴通项公式 an = 2n+1 ( n≤6 )
解：
首项为
第2项为
第3项为
例1、已知数列{an}的通项公式为an=2n－1，写
出这个数列的首项、第2项和第3项．
变式：写出数列{1-3n}的前5项及第十项，并判断-101是否
是该数列中的项，若是，说明是第几项。
解：a1=1-3×1=-2
a2=1-3×2=-5
a3=1-3×3=-8
a4=1-3×4=-11
a5=1-3×5=-14
a10=1-3×10=-29
1-3n=-101
n=34∈N*
-101是数列中的项，是第34项
例2、写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：
解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：
解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：
用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
说明：
（1）数列的通项公式不唯一.
（2）不是所有数列都有通项公式。
2、根据数列{ }的通项公式，写出它的前5项：
1、数列 （1） 3， 5， 7，9，…
（2） 2，8，13，27，40
（3） 1，1，1，1， …
（4） 24，19，17，8，5
其中有穷数列是？无穷数列是？
1，2，3，4，5，6， ….
4，5，6，7，8，9，
1，0.1，0.01，0.001，….
-1，1，-1，1，-1，….
2，2，2，2，2， ….
（3）写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（4）概念辨析:
下列说法正确的有______________.
①数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列.
②数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列.
③1,4,2,0.3,不是数列,
④数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点.
⑤数列的项数是无限的.
⑥数列的通项公式是唯一的.
④
思考题：
1、 写出下列数列的一个通项公式：
（1）、1，－1，1，－1；
（2）、2，0，2，0；
（3）、9，99，999，9999；
（4）、0.9，0.99，0.999，0.9999。
（1）
（4）
六、课堂小结
数列
数列有关概念
数列与函数的关系
通项公式
求通项公式
数列中的项
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应。
1 3 5 7 …… 2n-1
1
2
3
4
n
（自变量）
（函数值）
数列的实质：
结论：数列是一种特殊的函数.
6、数列的实质：
7. 数列的图象表示法
例如: 数列 -1, 1, -1, 1, -1…
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
n
an
又如：数例 2，4，6，8，10
n
an
0
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。
无穷数列表示无限个孤立的点。
斐波那契數列
斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci ， 1170 ? 1250 ），意大利商人兼數學家。
斐波那契數列(Finonnaci sequence)
自第三項開始,每一項都是前兩項的和.
數列中的每一項則稱為斐波那契數(Fibonnaci Number) 以符號 Fn 表示，即：F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2)
向日葵的種子
綠色表示按順時針排列的種子
紅色表示按逆時針排列的種子
植物學家發現：
某種向日葵的種子是按兩組螺線排列，其數目往往是連續的斐波那契數 。
向日葵的種子
普通大小的向日葵：34條順時針螺線
55條逆時針螺線
較大的向日葵： ８９條順時針螺線
１４４條逆時針螺線
植物的分枝
Back
菠蘿的表皮
菠蘿的中心軸Z 軸垂直於Z軸的平面XOY。
量度表皮上每一個六角形的中心與平面XOY的距離，便會發現……
菠蘿的表皮
其中三個方向是按等差數列
排列的：
0,5,10,15,20,…
0,8,16,24,32,…
0,13,26,39,52,…
公差
5
8
13
三個連續的斐波那契數！
花瓣的數目
斐波那契數!
花瓣的數目是 :
3
5
8
13
21
3
5
5
21
鋼琴例子
在一個音階中:
白色的鍵數為 8
黑色的鍵數為 5
兩個連續的斐波那契數!
帕斯卡三角形
斐波那契數列!
穿高跟鞋的效應
假設某女士的原本軀幹與身高比為 0.6 (i.e. x : l = 0.60 )
若所穿的高跟鞋的高度為d ，新的軀幹與高度比為:
(x + d) : (l + d)
= ( 0.6 l + d) : (l + d)
例:某位女士的身高為160 cm (約5呎3寸)
穿高跟鞋的效應
7.62 (3吋)
160
0.60
0.612
5.08 (2吋)
160
0.60
0.606
2.54 (1 吋)
160
0.60
穿了高跟鞋後的新比值
(0.6 l +d):(l +d)
高跟鞋高度
(d cm)
身高
(l cm)
原本軀幹與身高比值( x : l)
穿高跟鞋使腳長與身高的比值趨向黃金比。
由此可見，女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有
數學根據的!
0.618