新湘教版 数学 八年级上 2.1.2三角形的内角和与外角 教学设计
课题
2.1.2三角形的内角和与外角
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握三角形内角和定理.
2.理解三角形的外角及性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于任何一个与它不相邻的内角.
3.会利用三角形内角和定理、三角形外角的性质进行有关角的计算.
重点
掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
难点
三角形有关角的计算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在小学，我们就学习过有相于三角形的知识.下面，老师给同学们讲一个故事，故事的名称是：
《内角三兄弟之争》
在一个直角三角形里，住着三个内角兄弟。平时，这三个兄弟非常团结。
可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“凭什么你的度数最大，我也要和你的度数一样大！”
“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”
“为什么？”老二很纳闷。
/
追问：同学们，你们知道其中的道理吗？
学生认真听老师所讲的故事，并积极思考老师所提出的问题.
通过讲故事吸引学生的注意，为三角形内角和定理的探究作好铺垫。
新知讲解
下面，请同学们完成下面的操作：
量一量：画一个三角形，并量一量三个角的度数，它们的和又是多少呢？
答案：180°
折一折：将一个三角形按下面的方法操作，你能说出∠1、∠2、∠3的和是多少吗？
答案：180°
拼一拼：将一个三角形按下面的方法剪拼，你能说出∠1、∠2、∠3的和是多少吗？
答案：180°
讨论：通过前面的量、折、拼等操作，你能得到什么结论呢？
答案：三角形内角和等于180°
追问1：你能说出折与拼这些方法的原理吗？
答案：将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.
追问2：还有哪些方法能够得到180 °呢？
答案：两直线平行，同旁内角的和是180 °
邻补角的和是180 °
想一想：我们应如何证明三角形的内角和是180°呢？
/
答案：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其像经过点A，得到直线 B’C’ .
所以B’C’//BC.
则∠B’AB=∠B， ∠C’AC=C
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
又∠B’AB+∠BAC+∠C’AC=180°
归纳：三角形的内角和等于180°.
指出：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
例1：在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:设∠B为x°，则∠A为（3x）°，∠C为（x＋15）°，
从而有3x＋x＋（x＋15）＝180.
解得，x=33.
所以3x＝99，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
练习1：填空
（1）在△ABC中，∠A=60?,∠B=∠C,则∠B=____.
（2）在△ABC中，∠A-∠B=50?,∠C-∠B=40?,则∠B=________.
答案：（1）60?；（2）30?
议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
答案：三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.
想一想：三角形按角应如何分类呢？
/
指出：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.
两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
操作：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.
/
讲解：像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.
探究：在图中，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
/
分析：我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
解：因为∠ACD+∠ACB=180°，
∠A+∠B+∠ACB=180°，
所以∠ACD-∠A-∠B=0(等量减等量,差相等).
于是∠ACD=∠A+∠B.
归纳1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
想一想：下面两组角的大小关系是怎样的呢？
/
∠ACD________ ∠A
∠ACD________ ∠B
答案：>；>
归纳2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例2：如图，直线AB，CD被BC所截，若AB//CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝________度．
/
答案：80
解：因为AB//CD，∠1＝45°，
所以∠C＝∠1＝45°.
又因为∠2＝35°，
所以∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.
练习2：如图，∠CAD=100?,∠B=30?,求∠C的度数.
/
解：因为∠CAD是△ABC的外角，
所以∠CAD=∠C+∠B,
所以∠C=∠CAD-∠B
=100?-30?=70?
学生在老师问题的指引下完成操作，并积极回答问题.
学生在老师的引导下，利用添加辅助线的形式证明三角形内角和180度定理。
学生在老师的引导下利用三角形内角和定理列出方程并解答.
学生独立完成后听师讲解.
学生小组讨论并回答.
在老师的引领下认识三角形按角分类的方法、外角的定义，并探究三角形外角的性质.
学生积极思考，并小组讨论并积极发言，并在老师的引导下完成例2及练习题..
通过量、折、拼等活动，让学生直观感知三角形内角和定理.
证明三角形内角和定理.
应用三角形内角和定理进行有关三角形角的计算.
认识三角形在角上的分类，并探究三角形外角的性质.
应用三角形外角的性质进行有关三角形角的计算.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1．下列各组角的度数中，哪一组是同一个三角形的内角的度数？( )
A．95°，80°，5° B．63°，70°，67°
C．34°，36°，50° D．25°，160°，15°
答案：A
2. 如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠E等于( )
/
A．24°B．59°C．60°D．69°
答案：B
3.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36?，∠C=76?, 求∠DAC的度数.
/
解：因为∠B=36?,∠C=76?,
所以∠BAC=180?-∠B-∠C=180?-36?-76?=68?
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠DAC=
1
2
∠BAC=
1
2
×68?=34?.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=________°
/
答案：66
分析：因为∠B=48°，
所以 ∠BAC+∠BCA=180°– 48°=132°，
因为∠CAD+∠ACF=360°–132°=228°，
又因为AE和CE是角平分线，
所以∠CAE+∠ACE=114°，
所以∠E=180°–114°=66 °.
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
作业布置
基础作业
教材第49页习题2.1A组第4、5题
能力作业
教材第49页习题2.1B组第7、8题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
2.1.2三角形的内角和与外角
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为（ ）
A. 45° B. 55° C. 65° D. 50°
2．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
/
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
3．如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）
/
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
4．如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（ ）
/
A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=
1
2
∠B=
1
3
∠C；④∠A=∠
B=2∠C 中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=__________．
7．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的 3 倍还多 10°，则这两个角分别为_____
8．如图，在????????中，点??、??分别在????、????上，且????//????，∠??=
80
??
，∠??????=
55
??
，则∠ABC=________.
/
9．如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条高线,若∠A=65°，则∠1+∠2的度数为____.
/
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
/
11．△ABC中，∠C=60°，∠B的两倍比∠A大15，求∠A和∠B的大小．
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
/
试题解析
1．B
【解析】利用三角形内角和定理建立方程组即可解答.
解：设两个锐角分别为x、y，
由题意得， ，
解得，
所以，最大锐角为55°．
故选B．
2．C
【解析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
解：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=
1
2
∠ACD=50°，
故选C．
3．B
【解析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
解：如图，
/
∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=80°，
∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°，
故选：B．
4．B
【解析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
解：∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故选B.
5．B
【解析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
解：①∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠C=
1
2
×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
②∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
③、设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,则x+2x+3x=180°，
解得x=30°,故3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
④∵设∠C=x，则∠A=∠B=2x，
∴2x+2x+x=180°,解得x=36°，
∴2x=72°，故本小题错误；
综上所述，是直角三角形的是①②③共3个。
故选：B.
6．100°
【解析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
7．20°，70°
【解析】因为直角三角形的两个锐角的和是90度，所以设其中一个锐角的度数是x度，则另一个锐角的度数就是3x+10度，据此即可列方程求解．
解：设其中一个锐角的度数是x度，则另一个锐角的度数就是3x+10度，
由题意得，
x+3x+10=90
?4x=80
x=20
3x+10
=3×20+10
=70
∴这两个角分别为20°，70°.
故答案为：20，70°.
8．45°
【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠BDE=∠A=80°，然后根据三角形内角和即可求出∠ABC的度数.
解：∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠A=80°，
∵∠BED=55°,
∴∠ABC=180-80-55=45°.
故答案为：45°.
9．65°
【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据高线的定义计算即可．
解：∵∠A=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵BD和CE是△ABC的两条高线，
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90，
∴∠1+∠2+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2=180°-（∠ACB+∠ABC）=65°
故答案为：65°.
10．证明见解析
【解析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
证明：如图，过点A作EF∥BC，
/
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
11．∠A是75°，∠B是45°．
【解析】由“∠B的两倍比∠A大15°”可以得到∠A=2∠B﹣15°，进一步利用三角形的内角和180°列方程解答即可．
解：∠A=2∠B﹣15°，
△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°，
∠2∠B﹣15°+∠B+60°=180°，
解得∠B=45°，
∠A=2∠B﹣15°=2×45﹣15°=75°；
答：∠A是75°，∠B是45°．
//
课件29张PPT。数学湘教版 八年级上三角形的内角和外角新知导入内角三兄弟之争在一个直角三角形里，住着三个内角兄弟。平时，这三个兄弟非常团结。
可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“凭什么你的度数最大，我也要和你的度数一样大！”
“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”
“为什么？”老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？新知讲解 量一量：画一个三角形，并量一量三个角的度数，它们的和又是多少呢？锐角三角形48072060060 ° ＋48 ° ＋72 ° ＝180 °新知讲解 量一量：画一个三角形，并量一量三个角的度数，它们的和又是多少呢？钝角三角形2601160116°＋26°＋38°＝180°380新知讲解 量一量：画一个三角形，并量一量三个角的度数，它们的和又是多少呢？直角三角形26090026°＋64°＋90°＝180°640新知讲解 折一折：将一个三角形按下面的方法操作，你能说出∠1、∠2、∠3的和是多少吗？∠1+∠2+∠3＝180°新知讲解3231 拼一拼：将一个三角形按下面的方法剪拼，你能说出∠1、∠2、∠3的和是多少吗？∠1+∠2+∠3＝180°新知讲解 讨论：通过前面的量、折、拼等操作，你能得到什么结论呢？三角形内角和等于180°想一想：你能说出折与拼这些方法的原理吗？将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角. 还有哪些方法能够得到180 °呢？两直线平行，同旁内角的和是180 °邻补角的和是180 °新知讲解想一想：如何证明三角形的内角和是180 °呢？因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其像经过点A，得到直线 B’C’ .所以 B’C’//BC.则∠B’AB=∠B， ∠C’AC=C所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又∠B’AB+∠BAC+∠C’AC=180°三角形的内角和等于180°.新知讲解想一想：如何证明三角形的内角和是180 °呢？三角形的内角和等于180°. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.新知讲解 例1：在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解: 设∠B 为x°，则∠A 为（3x ）°，∠C 为 （x ＋ 15） °，
从而有 3x ＋ x ＋（x ＋15）＝ 180.
解得， x=33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99° ，33° ，48°.新知讲解练习1：填空
（1）在△ABC中，∠A=60? ,∠B=∠C,则∠B= .
（2）在△ABC中， ∠A-∠B=50? , ∠C-∠B=40? ,则∠B= .60?30?新知讲解 议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.新知讲解三角形中，
三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形， 有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.锐角三角形直角三角形钝角三角形新知讲解 直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.新知讲解对外角∠ACD来说，
∠ACB 是与它相邻的内角，
∠A，∠B是与它不相邻的内角. 如图，把△ABC的一边BC延长， 得到∠ACD.
像这样， 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角， 叫
作三角形的外角.新知讲解 探究：在图中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？我觉得可以利用“三角形的内角和等于180° ” 的结论.因为∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B =0(等量减等量,差相等).
于是∠ACD =∠A +∠B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.新知讲解想一想：下面两组角的大小关系是怎样的呢？∠ACD________ ∠A∠ACD________ ∠B＞＞三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.新知讲解解：因为AB//CD，∠1＝45°，
所以∠C＝∠1＝45°.
又因为∠2＝35°，
所以∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°. 例2：如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB//CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝________度．80练习2：如图，∠CAD=100? , ∠ B=30? ,求∠C 的度数.解：因为∠CAD是△ABC的外角，
所以∠CAD=∠C+∠B,
所以 ∠C=∠CAD -∠B
=100? -30?
=70? 新知讲解课堂练习 1．下列各组角的度数中，哪一组是同一个三角形的内角的度数？( )
A．95°，80°，5° B．63°，70°，67°
C．34°，36°，50° D．25°，160°，15°A课堂练习2. 如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠E等于( )
A．24°
B．59°
C．60°
D．69°B课堂练习 3.如图，AD是△ABC的角平分线， ∠B=36? ，∠C=76? , 求 ∠DAC的度数.?拓展提高 如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=________°因为∠B=48°，
所以 ∠BAC+∠BCA=180°– 48°=132°，
因为∠CAD+∠ACF=360°–132°=228°，
又因为AE和CE是角平分线，
所以∠CAE+∠ACE=114°，
所以∠E=180°–114°=66 °.66课堂小结课堂总结1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？三角形的三内角、外角及三角形的分类.三角形的内角和等于180°；
三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于任何一个与它不相邻的内角.板书设计
课题：2.1.2三角形的内角和外角??
教师板演区?
学生展示区一、三角形的内角和等于180°；
二、三角形的分类；
三、1.三角形的外角.
2.三角形外角的性质.
基础作业
教材第49页习题2.1A组第4、5题
能力作业
教材第49页习题2.1B组第7、8题作业布置谢谢
