新湘教版 数学 八年级上 2.3.1等腰三角形的性质 教学设计
课题
2.3.1等腰三角形的性质
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1．探索并证明等腰（边）三角形的性质；
2．能应用等腰（边）三角形的性质进行证明.
重点
探索等腰（边）三角形的性质
难点
应用等腰（边）三角形的性质进行证明及辅助线的作法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
前面，我们学习了等腰三角形的相关知识，那么：
1、什么是等腰三角形？
答案：等腰三角形是有两边相等的三角形.
2、说一说等腰三角形的各部分的名称？
答案：其中相等的两边都叫作腰.
另外一边叫作底边.
两腰的夹角叫作顶角.
腰和底边的夹角叫作底角.
引言：等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还有哪些特殊的性质呢？
学生回答老师所提出的问题.
通过回答老师的问题，复习等腰三角形的定义及相关概念，为等腰三角形的性质探究作好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的探究：
探究：任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC，
/
如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：
（1）射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线______；
线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段______；
点B的像是点C， 点C的像是点______；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰△ABC关于直线______对称.
答案：AB；AB；B；AD
（2）由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段____，
从而AD 是底边BC上的______.
由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线______ ,
因此∠BDA=∠CDA=______°,
从而AD是底边BC上的________.
由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射线_____ ,因此∠B____∠C.
答案：DC；中线；DA；90；高；CB；=
归纳1：等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,
简称“三线合一”.
几何语言：在△ABC中，AB=AC,点D在BC上
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
或
∵AD是中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD .
或
∵AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD
（3）等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”
几何语言：在△ABC中，
∵ AC=AB（已知 ）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
想一想：如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？
/
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC,
∴∠C ＝∠A＝∠B．
由三角形内角和定理可得：
∠A＝∠B＝∠C ＝60°．
/
例1：如图，在△ABC中,AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
/
证明：作AF⊥BC，垂足为F， 则AF是等腰三角形ABC
和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
/
∵ BF=CF, DF=EF,
∴BF－DF=CF－EF,
即BD=CE.
温馨提示：在原图形上添画的线叫辅助线，辅助线通常画成虚线.
练习1： 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度数及DC的长.
/
解：∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠BAD=∠BAC=×49°＝24.5°，
DC=BC=×4=2.
练习2：如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.
（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
/
解：（1）AD⊥BC，理由如下：
∵AB=AC，D是BC的中点
∴AD ⊥BC.
（2）∵AD是铅锤线，且AD垂直于水平面，
∴BC与水平面平行，
即BC处于水平位置.
在老师的讲解演示下，自已思考，并完成（1）、（2）题，并猜想出等腰三角形三角形的性质.
在老师的引导下归纳出等腰三角形的性质，并理解符号语的表达形式.
在老师的提问中认真思考，并积极回答.
学生仔细听老师讲解，并在老师的引导下完成例题及练习题.
为归纳等腰三角形的性质儿铺垫..
理解并归纳等朌三角形的三条性质..
引导学生理解并归纳等边三角形的性质.
应用等腰三角形的性质进行证明并体会辅助线的作法，提高学生应用等腰三角形的性质解决实际问题的能力.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.如图所示，在△ABC 中，AB =AC, ∠A = 36°,则∠B =____ ,∠C=______ .
/
答案：72 °；72 °
提示：∵在△ABC 中，AB =AC,
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2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A．底边的垂线
B．过顶点的直线
C．腰上的高所在的直线
D．顶角的角平分线所在的直线
答案：D
3.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.
/
解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠C=60? ，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD =80°，
∴∠DPC=∠ADP－∠C
=80 °－60 °
=20?
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
/
解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)，
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
∴△ABC中，∠A=36 °,∠ABC=∠C=72 °．
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答案：等腰三角形的性质、等边三角形的性质.
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
（1）等腰三角形的性质：
①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
②等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,简称“三线合一”.
③等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”
（2）等边三角形的性质：
①等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
②每个顶点处都三线合一
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第66页习题2.3A组第1、2、3题
能力作业
教材第67页习题2.3B组第9题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
2.3.1等腰三角形的性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
/ /
第1题图 第2题图
2．如图，在????????中，以点??为圆心，以????长为半径画弧交边????于点??，连接????.若∠??=40°，∠??=36°，则∠??????的度数是（ ）
A. 70° B. 44° C. 34° D. 24°
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
/ /
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 105° B. 75° C. 135° D. 155°
5．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（ ）
A. 70°，70° B. 40°，100° C. 70°，40° D. 70°，70°或40°，100°
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．
/ / /
第6题图 第7题图 第9题图
7．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．
8．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=________．
9．如图，在三角形ABC中，AD=AC=BC，∠CDA=70°，则∠DCB的度数是______________.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．
/
11．如图所示， 中， ， 在上， 在的延长线上，且，连接．
求证： ．
/
12．如图，在△ABC中，AD＝AC，BE＝BC.
(1)若∠ACB＝96°，求∠DCE的度数．
(2)问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系(直接写出答案)?
/
试题解析
1．B
【解析】根据等腰三角形性质先求出∠C=∠B，∠BAD=∠BD，再根据三角形外角性质求出∠DAC=∠BDA-∠C.
解：因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA=
180
??
?∠??
2
=
180
??
?
40
??
2
=
70
??
,
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故选：B
2．C
【解析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB=BD，∠B=40°， ∴∠ADB=70°， ∵∠C=36°， ∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°． 故选：C．
/
4．A
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，根据平行线的性质即可得到结论．
解：如图：
/
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180°?60°?45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180°?∠3=105°.
5．D
【解析】由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．
解：若40°的角是顶角，则底角为：/（180°﹣40°）=70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故选：D．
6．30°
【解析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠??????=60°，????=????．
又点D是边BC的中点，
∴∠??????=
1
2
∠??????=30°．
故答案是：30°．
7．130°或90°．
【解析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°．
8．15
【解析】根据等腰三角形性质求∠ACB=∠ABC==65°，由折叠得∠ABE=∠A=50°，因此∠CBE=∠ABC﹣∠ABE.
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC=
1
2
（180°﹣50°）=65°.
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．
故答案为：15
9．30°
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠ACD=70°，再根据是三角形内角和定理得到∠A=40°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=40°，根据三角形外角的性质可求∠DCB的度数．
解：∵AC=AD，∠CDA=70°，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠DCB=30°．
故答案为：30°．
10．54°
【解析】根据等腰三角形的性质由已知求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理（直角三角形的两锐角互余）求出∠ABD的度数.
解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝36°.
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°－36°＝54°.
11．证明见解析.
【解析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC
解：如图，过作于点．∵ ，∴ ，
∵，∴ ，∴，
∴，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ．
/
12．（1）42°（2）∠DCE＝
1
2
(∠A＋∠B)
【解析】（1）先由等边对等角的性质和三角形内角和定理得出∠A，∠B，∠ACB+∠A+∠B，然后等量代换求出∠DCE； （2）由（1）可知∠DCE=180°-（∠CED+∠CDE），再由∠A=180°-2∠CDE，∠B=180°-2∠CED，得出∠1=90°-
1
2
∠B，∠2=90°-
1
2
∠A，将它们代入即可得出∠DCE=
1
2
（∠A+∠B），即可得到∠A，∠B与∠DCE之间的数量关系．
解：(1)∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠A＝180°－2∠ADC.
∵BE＝BC，
∴∠CEB＝∠ECB.
∴∠B＝180°－2∠CEB.
∵∠ACB＝96°，∴∠A＋∠B＝84°.
∴(180°－2∠ADC)＋(180°－2∠CEB)＝84°.
∴∠CEB＋∠ADC＝138°.∴∠DCE＝42°.
(2)∠DCE＝
1
2
(∠A＋∠B)．
/
课件22张PPT。等腰三角形的性质数学湘教版 八年级上新知导入 等腰三角形是有两边相等的三角形.另外一边叫作底边.两腰的夹角叫作顶角.腰和底边的夹角叫作底角.其中相等的两边都叫作腰.1、什么是等腰三角形？2、说一说等腰三角形的各部分的名称？ 等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还有哪些特殊的性质呢？新知讲解 探究：任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C， 点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰△ABC关于直线 对称.ABABBAD 由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段 ，
从而AD 是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线 ,
因此∠BDA=∠CDA= °,
从而AD是底边BC上的 .
由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的
像是射线 ,因此∠B ∠C.DC中线DA90高CB=新知讲解新知讲解等腰三角形的性质 1、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
2、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,
简称“三线合一”.∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ， = . 几何语言：在△ABC中，AB =AC, 点D 在BC上BAD CADBD CD新知讲解等腰三角形的性质 1、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
2、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,
简称“三线合一”.∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ .几何语言：在△ABC中，AB =AC, 点D 在BC上BAD CADAD BC新知讲解等腰三角形的性质 1、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
2、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,
简称“三线合一”.∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = .几何语言：在△ABC中，AB =AC, 点D 在BC上BD CDAD BC∵ AC=AB（已知 ）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）新知讲解等腰三角形的性质定理 1、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
2、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,
简称“三线合一”.
3、等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”几何语言：在△ABC中， 想一想：如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC,
∴ ∠C ＝∠A＝∠B．
由三角形内角和定理可得：
∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°．新知讲解等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.新知讲解例1：如图，在△ABC中,AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.在原图形上添画的线叫辅助线，辅助线通常画成虚线.新知讲解证明：作AF⊥BC，垂足为F， 则AF是等腰三角形ABC
和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∵ BF=CF, DF=EF,
∴BF－DF=CF－EF,
即BD=CE. 练习1： 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度数及DC的长.解： ∵AB=AC， AD为BC边上的高，
∴∠BAD= ∠BAC = ×49°＝24.5° ，
DC = BC= ×4=2.新知讲解 练习2：如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？新知讲解解：（1） AD ⊥BC，理由如下：
∵AB=AC，D是BC的中点
∴AD ⊥BC.
（2）∵AD是铅锤线，且AD垂直于水平面，
∴BC与水平面平行，
即BC处于水平位置.课堂练习 1.如图所示，在△ABC 中，AB =AC, ∠A = 36°,则
∠B = ,∠C= .72 °72 °提示：∵在△ABC 中，AB =AC, 课堂练习2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A．底边的垂线
B．过顶点的直线
C．腰上的高所在的直线
D．顶角的角平分线所在的直线
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线或高线）所在的直线.
D课堂练习 3. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠C=60? ，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD =80°，
∴∠DPC=∠ADP － ∠C
=80 ° －60 °
=20??课堂小结拓展提高 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)，
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
∴△ABC中，∠A=36 °,∠ABC=∠C=72 °．课堂小结课堂总结 （1）等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合,简称“三线合一”.
等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”
（2）等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？等腰三角形的性质、等边三角形的性质.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？每个顶点处都“三线合一”板书设计
课题：2.3.1等腰三角形的性质??
教师板演区?
学生展示区一、等腰三角形的特殊性质
1.轴对称；
2.三线合一；
3.等边对等角.
二、等边三角形的性质基础作业
教材第66页习题2.3A组第1、2、3题
能力作业
教材第67页习题2.3B组第9题作业布置
