2.3.1等腰三角形的性质-试卷

2.3.1等腰三角形的性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
/ /
第1题图 第2题图
2．如图，在????????中，以点??为圆心，以????长为半径画弧交边????于点??，连接????.若∠??=40°，∠??=36°，则∠??????的度数是（ ）
A. 70° B. 44° C. 34° D. 24°
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
/ /
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 105° B. 75° C. 135° D. 155°
5．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（ ）
A. 70°，70° B. 40°，100° C. 70°，40° D. 70°，70°或40°，100°
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．
/ / /
第6题图 第7题图 第9题图
7．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．
8．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=________．
9．如图，在三角形ABC中，AD=AC=BC，∠CDA=70°，则∠DCB的度数是______________.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．
/
11．如图所示， 中， ， 在上， 在的延长线上，且，连接．
求证： ．
/
12．如图，在△ABC中，AD＝AC，BE＝BC.
(1)若∠ACB＝96°，求∠DCE的度数．
(2)问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系(直接写出答案)?
/
试题解析
1．B
【解析】根据等腰三角形性质先求出∠C=∠B，∠BAD=∠BD，再根据三角形外角性质求出∠DAC=∠BDA-∠C.
解：因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA=
180
??
?∠??
2
=
180
??
?
40
??
2
=
70
??
,
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故选：B
2．C
【解析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°．故选：C．
/
4．A
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，根据平行线的性质即可得到结论．
解：如图：
/
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180°?60°?45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180°?∠3=105°.
5．D
【解析】由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．
解：若40°的角是顶角，则底角为：/（180°﹣40°）=70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故选：D．
6．30°
【解析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠??????=60°，????=????．
又点D是边BC的中点，
∴∠??????=
1
2
∠??????=30°．
故答案是：30°．
7．130°或90°．
【解析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°．
8．15
【解析】根据等腰三角形性质求∠ACB=∠ABC==65°，由折叠得∠ABE=∠A=50°，因此∠CBE=∠ABC﹣∠ABE.
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC=
1
2
（180°﹣50°）=65°.
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．
故答案为：15
9．30°
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠ACD=70°，再根据是三角形内角和定理得到∠A=40°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=40°，根据三角形外角的性质可求∠DCB的度数．
解：∵AC=AD，∠CDA=70°，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠DCB=30°．
故答案为：30°．
10．54°
【解析】根据等腰三角形的性质由已知求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理（直角三角形的两锐角互余）求出∠ABD的度数.
解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝36°.
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°－36°＝54°.
11．证明见解析.
【解析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC
解：如图，过作于点．∵ ，∴ ，
∵，∴ ，∴，
∴，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ．
/
12．（1）42°（2）∠DCE＝
1
2
(∠A＋∠B)
【解析】（1）先由等边对等角的性质和三角形内角和定理得出∠A，∠B，∠ACB+∠A+∠B，然后等量代换求出∠DCE；（2）由（1）可知∠DCE=180°-（∠CED+∠CDE），再由∠A=180°-2∠CDE，∠B=180°-2∠CED，得出∠1=90°-
1
2
∠B，∠2=90°-
1
2
∠A，将它们代入即可得出∠DCE=
1
2
（∠A+∠B），即可得到∠A，∠B与∠DCE之间的数量关系．
解：(1)∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠A＝180°－2∠ADC.
∵BE＝BC，
∴∠CEB＝∠ECB.
∴∠B＝180°－2∠CEB.
∵∠ACB＝96°，∴∠A＋∠B＝84°.
∴(180°－2∠ADC)＋(180°－2∠CEB)＝84°.
∴∠CEB＋∠ADC＝138°.∴∠DCE＝42°.
(2)∠DCE＝
1
2
(∠A＋∠B)．
/