新湘教版 数学 八年级上 2.3.2等腰三角形的判定 教学设计
课题
2.3.2等腰三角形的判定
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、探索并掌握等腰三角形的判定定理及其推论；
2、能运用等腰三角形的判定定理及其推论判定一个三角是等腰（边）三角形.
重点
等腰三角形的判定定理、推论及其应用
难点
利用等腰三角形的判定定理及其推论进行证明.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
前面，我们学习了等腰三角形及其性质，请同学们回答：
问题1、什么是等腰三角形？
答案：等腰三角形是有两边相等的三角形.
问题2、等腰三角形都有哪些性质呢？
答案：(1)从边看：等腰三角形两边相等（定义）；
(2)从角看：等腰三角形两底角相等（性质定理）；
(3)从重要线段看：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角的平分线互相重合（三线合一）；
(4)从特殊图形看：等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60°。
(5)从对称性看：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；等边三角形有三条对称轴.
学生回答老师所提出的问题.
通过回答老师的问题，复习等腰三角形的定义及性质，为等腰（边）三角形的判定探究作好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的探究问题：
探究：我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
/
追问1：请用格尺量一量它们的长度，你发现了什么！
答案：测量后我发现AB 与AC 相等.
追问2：如何证明AB=AC呢？
探究过程：事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C.
沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D，则∠1=∠2.
/
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质得∠ADB=∠ADC.
沿AD所在直线折叠，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC 重合，
射线AB与射线AC 重合.
从而点B 与点C 重合，
于是AB=AC.
归纳：等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
几何语言：在△ABC中，
∵∠C＝∠B，
∴AB= AC .
例1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
/
证明 : ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ △ADE为等腰三角形.
练习1：已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
/
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBC=，∠ECB=
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB，
∴∠DBC =∠ECB，
∴△OBC是等腰三角形.
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°．
求证：△ABC是等边三角形．
/
证明： ∵∠C=∠B =60°，
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
归纳：等边三角形的判定1：
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
几何语言：在△ABC中，
∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形．
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.
/
证明：∵CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD =∠DCB，
∵∠ACE=60°，
∴ ∠ACD=∠DCB=60°，
∵ AE∥DC，
∴ ∠BCD=∠E=60°，
∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °
∴ ∠CAE =∠ACE=∠E=60°
∴△ACE是等边三角形.
思考2：一个等腰三角形的一个内角满足什么条件才是等边三角形呢？
已知：在△ABC 中，AB =AC且∠A =60°．
求证：△ABC是等边三角形．
/
证明：∵AB =AC，
∴∠B =∠C ，
∵∠A =60°，
∴∠B =∠C =60°，
∴∠A =∠B =∠C，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
归纳：等边三角形的判定2：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言：在△ABC中，
∵AB =AC，∠A =60°（∠B =60°或∠C =60°），
∴△ABC 是等边三角形．
例2：已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
/
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.
∵∠EAD=∠BAC= 60°，
又 AD =AE，
∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
练习3：已知：如图，AB=BC, ∠CDE= 120°, DF∥BA，且DF平分∠CDE，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ABC是等边三角形.
/
证明：∵AB=BC，
∴ABC是等腰三角形，
∵∠CDE=120°，且DF平分∠CDE，
∴∠CDF==60°
又∵DF∥BA,
∴∠ABC= ∠FDC=60°
∴△ABC是等边三角形.
在老师的问题要求下，自已提出猜想，并动手测量，并完成等腰三角形三角形的判定定理的证明.
在证明的基础上归纳出等腰三角形的判定定理，并理解符号语的表达形式.并独立思考、证明例题和练习题后，听同学的交流与老师的点评.
在老师的提问中认真思考，猜想、证明，并积极回答.同时认真完成例题与练习题，并交流.
猜想并证明等腰三角形的判定定理..
理解并掌握等腰三角形的判定定理.
理解并掌握等边三角形的两条判定定理.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝6 cm，则AB＝________．
/
答案：6 cm
2.如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC, 分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形.
/
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
∵DE//BC，
∴∠B=∠ADE，∠C =∠AED．
∴∠A=∠ADE =∠AED．
∴△ADE 是等边三角形．
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
如图， △ ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作FE//BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,
求证：EO=FO.
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在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答案：等腰三角形的判定、等边三角形的判定.
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边）。
推论1：三个角相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第66页习题2.3A组第4、5、6、7题
能力作业
教材第67页习题2.3B组第10题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
2.3.2等腰三角形的判定
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列推理中，错误的是( )
A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°,那么这个三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形( )
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
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第3题图 第5题图
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个角为30°、60°??/ B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80°?? D．有两个角为100°、120°
5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
/ / /
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6㎝，则CD的长等于____________ ．
8．小明从A处出发，要到北偏东60°方向的??处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30°方向走恰能到达目的地??处. 则??、??两地的距离为 ________
9．在△??????中，∠??=80°，当∠??=__________时，△??????是等腰三角形．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
/
11．如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，若△ADE的周长是12，则BC的长是多少？
/
12．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
/
试题解析
1．B
【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；
B条件重复且条件不足，故不正确；
C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；
D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.
故选B.
2．A
【解析】∵这个三角形是轴对称图形 ，
∴一定有两个角相等，
∴这是一个等腰三角形.
∵有一个内角是60°，
∴这个三角形是等边三角形.
故选A.
3．A
【解析】△ABC, △BCE, △CDB, △BFC,△BFD,△CEF,△AEB,△ADC,故选A.
4．C
【解析】A、因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B、因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C、因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；
故选：C.
5．D
【解析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，将三角形AMN周长转化为AB+AC，求出即可．
解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．
∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，∴MB=MO，NC=NO，∴MN=MO+NO=MB+NC．
∵AB=4，AC=6，∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．
故答案为：10．
6．3
【解析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
7．6cm
【解析】∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=6cm.
故答案为：6cm.
8．200米
【解析】根据题中的角的关系证明∠BAC＝∠C.
解：根据题意得，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，
所以∠C＝30°，所以∠BAC＝∠C，所以BC＝AB＝200.
故答案为200米.
9．80°或50°或20°
【解析】分三种情况分析，∠??可能是顶角，也可能是底角.
解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°
10．证明见解析．
【解析】根据△ABC是等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，利用DE∥AC，求得∠B=∠BED=∠BDE即可得出结论．
解：△BDE是等边三角形，
理由： ∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，
∴∠B=∠BED=∠BDE，
∴△BDE是等边三角形.
11．12．
【解析】结合图形，利用等腰三角形的判定，可所求出BC的长度．
解：∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD，
∵∠EAC=∠C，
∴AE=CE．
∵AD+DE+DE=12，
∴BC=BD+DE+EC=12．
12．（1）△ABC是等腰三角形，∠B＝40°；（2）见解析.
【解析】分析：(1)、根据Rt△ADE的内角和得出∠DAC=70°，根据平行线的性质得出∠C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．
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课件24张PPT。等腰三角形的判定数学湘教版 八年级上新知导入2、等腰三角形都有哪些性质呢？(1)从边看：等腰三角形两边相等（定义）；等腰三角形两底角相等（性质定理）；(2)从角看：(3)从重要线段看： 等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角的平分线互相重合（三线合一）； 等腰三角形是有两边相等的三角形.1、什么是等腰三角形？(4)从特殊图形看：等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60°。(5)从对称性看： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；等边三角形有三条对称轴.新知导入2、等腰三角形都有哪些性质呢？新知讲解测量后我发现AB 与AC 相等.3cm3cm 探究：我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？ 请用格尺量一量它们的长度，你发现了什么！ 如何证明AB=AC呢？事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得∠ADB=∠ADC.沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC 重合，射线AB与射线AC 重合.从而点B 与点C 重合，于是AB=AC.新知讲解新知讲解等腰三角形的判定有两个角相等的三角形是等腰三角形
(简称“等角对等边”).∵∠C＝∠B，
∴AB= AC . 几何语言：在△ABC中，例1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC.
求证：△ADE为等腰三角形.证明 : ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.又∵DE//BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴ ∠ADE=∠AED.∴ △ADE为等腰三角形.新知讲解 练习1：已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠DBC= ，又∵ △ABC是等腰三角形，∴ ∠DBC =∠ECB，∴ △OBC是等腰三角形.∴ ∠ABC =∠ACB，∠ECB= 新知讲解新知讲解 思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°．
求证：△ABC是等边三角形．证明： ∵∠C=∠B =60°，
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．新知讲解等边三角形的判定1三个角都是60°的三角形是等边三角形.∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形．几何语言：在△ABC中，新知讲解练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °∵∠ACE=60°，∴ ∠BCD=∠E=60°，∴ ∠ACD =∠DCB，∴ ∠ACD=∠DCB=60°，∵ AE∥DC，∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.新知讲解 思考2：一个等腰三角形的一个内角满足什么条件才是等边三角形呢？已知：在△ABC 中，AB =AC且∠A =60°．
求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB =AC，
∴∠B =∠C ，
∵∠A =60°，
∴∠B =∠C =60°，
∴∠A =∠B =∠C，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．新知讲解等边三角形的判定2有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形∵AB =AC，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．几何语言：在△ABC中，∠B =60°，∠C =60°，新知讲解有一个角等于60 °的三角形是等边三角形吗？不一定，如例2：已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE. 求证：△ADE是等边三角形.证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形（ ）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形新知讲解新知讲解练习3：已知：如图，AB=BC, ∠CDE= 120°, DF∥BA，且DF平分∠CDE，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=BC，
∴ △ABC是等腰三角形，
∵∠CDE=120°，且DF平分∠CDE，
∴∠CDF= =60°
又∵DF∥BA,
∴∠ABC= ∠FDC=60°
∴△ABC是等边三角形.课堂练习 1．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝6 cm，则AB＝________．6 cm课堂练习证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
∵DE//BC，
∴∠B=∠ADE，∠C =∠AED．
∴∠A=∠ADE =∠AED．
∴△ADE 是等边三角形． 2.如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC, 分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形. 如图， △ ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作FE//BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,求证：EO=FO.证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF ∥BC,∴ ∠2=∠5，∠3=∠6,∴ ∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.拓展提高1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？等腰三角形的判定、等边三角形的判定.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？课堂总结定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边）。
推论1：三个角相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形板书设计
课题：2.3.2等腰三角形的判定??
教师板演区?
学生展示区1.等腰三角形的判定：
等角对等边。
2.推论1：三个角相等的三角形是等边三角形。
3.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
基础作业
教材第66页习题2.3A组第4、5、6、7题
能力作业
教材第67页习题2.3B组第10题作业布置
