24.1.2 垂直于弦的直径一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

24.1.2垂直于直径的弦一点就通
【知识回顾】
1.圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条_______的直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
(1)内容:垂直于弦的直径_____弦,并且_____弦所对的两条弧.
(2)推论:平分弦(不是_____)的直径_________,并且_____弦所对的两条弧.
【夯实基础】
1、下列说法正确的是( )
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
2、如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝( )
A．5 B．7 C．9 D．11
2题图 3题图 4题图 5题图
3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是( )
A．CM＝DM B.＝ C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
4、如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于( )
A．8 B．10 C．12 D．16
5、如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为________．
6、如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为 米．
6题图 7题图 8题图
7、如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为_____cm.
8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。
【提优特训】
1、如图是一个小孩荡秋千的示意图,秋千链子OB的长度为2m,当秋千向两边摆动时,摆角∠BOD恰好为60°,且两边的摆动角度相同,则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是( )
A.(2-)m B.m C.(2-)m D.m
1题图 4题图 5题图
2、下列说法正确的是( )
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
3、已知⊙O的半径OA＝10 cm，弦AB＝16 cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为( )
A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
4、如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA长为 cm.
5、如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为 .
6、一弓形弦长为4cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为________.
7、CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=10㎝，CE=2㎝，则AB的长为______。
8、如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点；
(2)若AB＝8，求CD的长．
9、如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由.
【中考链接】
1、(温州中考)如图,在☉O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( )
A. B. C. D.
2、(襄阳中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为 m.
3、(泸州中考)已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm
【参考答案】
【夯实基础答案】
1.B 2.A 3.D 4.D 5. 4 6. 0.5 7. 2
8.解：建立如图所示坐标系
则OA=OB=OD=325mm，AC=300mm
在RT△ACO中，
由勾股定理有
OA2=OC2+AC2
解得
OC=125
则
CD=OD-OC=200mm
所以油的最大深度为200mm
【提优特训答案】
1.A 2. D 3. B 4. 5 5. (6,0) 6. 5cm 7.8
9.如图,MEFN为货船的顶部,货船沿中心OC前进最有利,连接OA,ON,设CD交MN于H.
∵AB=7.2,CD=2.4,EF=3,且D为AB,EF的中点,
∴OD⊥AB,OC⊥MN.
设OA=R,则OD=OC-CD=R-2.4,
AD=AB=3.6,
在Rt△OAD中,有OA2=AD2+OD2,
即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9,
在Rt△ONH中,OH===3.6,
∴FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m),
∵2.1 m>2 m,∴货船可以顺利通过这座桥.
【中考链接答案】
B 2. 0.2
3. C
提示：①如图1所示,分别连接AC和AO,
∵AB⊥CD,∴AM=AB=4 cm,
在Rt△AOM中,OM===3(cm),
CM=OC+OM=5+3=8(cm),在Rt△AMC中,
AC===4(cm),
②如图2所示,
由①可知OM=3cm, CM=OC-OM=5-3=2(cm),
在Rt△AMC中,AC===2(cm).
由①②得,AC的长为2cm或4cm.
【易错提醒】利用垂径定理和勾股定理求弦长时,要注意弦在圆上的位置,要多画图尝试,不要漏掉一种情况.