24.1.3 弧、弦、圆心角一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

24.1.3弧、弦、圆心角一点就通
【知识回顾】
1.圆的旋转不变性
圆是_________图形,而且圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形_____.
2.圆心角
___________的角叫做圆心角.
3.圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角中有_____量相等,那么它们所对应的其余各组量也_____.即:
(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_____,所对的弦也_____.
(2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_____,所对的弦也_____.
(3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角_____,所对的弧也_____.
【夯实基础】
1、下列图形中表示的角是圆心角的是( )
2、在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( )
A.=2 B.>2 C.<2 D.不能确定
3、已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是( )
A.∠AOB=∠A′O′B′ B.∠AOB>∠A′O′B′
C.∠AOB<∠A′O′B′ D.不能确定
4、一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .
5、如图,在☉O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于 °.
5题图 6题图 7题图
6、如图, A,B是半径为3的☉O上的两点,若∠AOB=120°,C是的中点,则四边形AOBC的周长等于 .
7、如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为 .
8、如图,已知OA,OB是☉O的半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点,求证:MC=NC.
9、如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
【提优特训】
1、如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为( )
①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1题图 2题图 3题图
2、A,B,C,D是☉O上四点,且=2,则弦AB与弦CD的关系是( )
A.AB >2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.不能确定
3、如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：
①＝＝；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.正确的有_____________
4、如图，A，B，C为圆O上的三等分点．
(1)求∠BOC的度数；
(2)若AB＝3，求圆O的半径长及S△ABC.
5、如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝BF＝CD.
6、如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一个动点,圆O的半径为1.
(1)找出当AP+BP能得到最小值时点P的位置.
(2)求出AP+BP的最小值.
【中考链接】
1.(厦门中考)如图,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B=( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
【参考答案】
【夯实基础答案】
1.A 2.A 3.D 4.90° 5. 40 6. 12 7. 60°
8.证明：连接OC.
∵C为的中点,∴=,
∴∠MOC=∠NOC.
又∵M,N分别是OA,OB的中点,
∴OM=OA,ON=OB,
∴OM=ON.
又∵OC=OC,
∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC.
【提优特训答案】
D 2. C 3.①②③．
4.解：(1)∵A，B，C为圆O上的三等分点，
∴＝＝.
∴∠BOC＝×360°＝120°.
(2)过点O作OD⊥AB于点D，
∵A，B，C为圆O上的三等分点，
∴AB＝AC＝BC＝3，
即△ABC是等边三角形．
∴∠BAO＝∠OBA＝30°.
则AD＝，故DO＝，OA＝，即圆O半径长为.
∴S△ABC＝3××DO·AB＝.
5.证明：连接AC，BD.
∵C，D是的三等分点，
∴＝＝.
∴AC＝CD＝DB.
又∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝∠AOB＝×90°＝30°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
在△AOC中，OA＝OC，
∴∠ACO＝＝＝75°.
∴∠AEC＝∠ACO.∴AE＝AC.
同理BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.
6.解：(1)过A作AA′⊥MN于E,连接BA′.
∴P位于A′B与MN的交点处.
(2)∵点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠AON=∠A′ON=60°,
∵点B是的中点,∴∠BON=30°,
∴∠BOA′=∠A′ON+∠BON=90°,
∵OB=OA′=1,
∴BA′=,即AP+BP最小值为.
【中考链接答案】
1.B