24.1.4 圆周角一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

24.1.4圆周角一点就通
【知识回顾】
1.圆周角
顶点在_____,并且两边都与圆_____的角.
2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的_____.
3.圆周角定理的推论
(1)同弧或等弧所对的圆周角_____.
(2)在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也_____.
4.圆内接四边形
(1)定义:如果一个多边形的所有_____都在同一个圆上,这个多边形叫做圆_____多边形.这个圆叫做这个多边形的_____圆.
(2)性质:圆内接四边形的_________.
【夯实基础】
1、下列图形中的角是圆周角的是( )
2、如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是( )
A．150° B．140° C．130° D．120°

2题图 3题图 4题图 5题图
3、如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
A．60° B．45° C．35° D．30°
4、图中圆心角∠AOB=30°,弦CA∥OB,延长CO与圆交于点D,则∠BOD= .
5、如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC上的一点,则∠BPC= .
6、已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为__________．
7、如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为_________．
8、如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长； (2)求BD的长．
9、如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F,点F不与点A重合.
(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?
(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由.
10、如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
【提优特训】
1、如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是( )
A．24° B．42° C．48° D．12°

1题图 2题图 3题图 4题图
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )
A．45° B．50° C．55° D．60°
3、如图,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为( )
A. 135° B.122.5° C.115.5° D.112.5°
4、如图,AD,AC分别为☉O的直径和弦,∠CAD=30°,B是AC上一点,BO⊥AD,垂足为O,BO=5cm,则CD等于 cm.
5、若BC＝2，点P是上一动点(异于点A，B)，求PA＋PB的最大值_________．
6、如图,☉O的直径AB的长为6,弦AC的长为2,∠ACB的平分线交☉O于点D,求四边形ADBC的面积.
7、如图，点A，B，C，D在同一个圆上，且C点为一动点(点C不在上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.
(1)求证：BD是该圆的直径；
(2)连接CD，求证：AC＝BC＋CD.
【中考链接】
1、(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( )
A. cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
2、(青海中考)如图,在☉O中直径CD垂直弦AB,垂足为E,若∠AOD=52°,则∠DCB= .
3、(东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为_______．
4、(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为__________(写出一个即可)．
5、(温州中考)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与☉O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:∠B=∠D.
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
【参考答案】
【夯实基础答案】
B 2.A 3. D 4. 30° 5. 45° 6. 30°或150°
7. (0，2)
8.解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∴在Rt△ABC中，
BC＝＝＝5.
(2)∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
∴∠BAD＝∠ABD＝45°.
∴AD＝BD.
设BD＝AD＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2.
∴x2＋x2＝102.解得x＝5.
∴BD＝5.
9.解：(1)AB=AC.连接AD,∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DC=BD,∴AB=AC.
(2)△ABC是锐角三角形.
由(1)知,∠B=∠C<90°,连接BF,则∠AFB=90°,
∴∠A<90°,∴△ABC是锐角三角形.
【提优特训答案】
A 2. B 3.D 4. 5
5.最大值为4.(提示：要使PA＋PB最大，则PC为直径，作直径BG，连接CG.∴∠G＝∠BAC＝60°，∠BCG＝90°.∵BC＝2，∴BG＝4.
)
6.解：∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,
∴BC===4.
∵∠ACB的平分线交☉O于点D,
∴∠DCA=∠BCD,∴=,∴AD=BD,
∴在Rt△ABD中,AD=BD=AB=3,
∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD
=AC·BC+AD·BD
=×2×4+×(3)2=9+4.
7.证明：(1)∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°.
∵∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝90°.
∴BD是该圆的直径．
(2)在CD的延长线上截取DE＝BC，连接EA，
∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.
∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.
在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE(SAS)．
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD.
∴∠BAD＝∠CAE＝90°.
∵＝，∴∠ACD＝∠ABD＝45°.
∴△CAE是等腰直角三角形．
∴AC＝CE.
∴AC＝DE＋CD＝BC＋CD.
【中考链接答案】
B 2. 26°3. 8cm 4. 80° (50°≤∠BPD≤100°)
解：(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D.
(2)设BC=x,则AC=x-2.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴(x-2)2+x2=16,
解得x1=1+,x2=1-(舍去),
∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E,
∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+.