授课类型 C圆中的等腰三角形运用 C圆中的动点 C圆中的位置关系的判定
教学内容 主讲人：乔老师
1 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2， 则该半圆的半径为（ ）． A． cm B． 9 cm C． cm D． cm 2 正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（ ） A． B． C． D． 3 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为 A． B． C． D． 一、同步知识梳理 圆中的半径：同圆或等圆中的半径相等；在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等； 垂径定理：如果圆的一条直径垂直与一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条线所对的弧； 等腰三角形性质：等腰三角形两腰相等，两底角相等，三线合一； 等腰三角形相似的判定：①底角相等的两个等腰三角形相似；②等角相等的两个等腰三角形相似；③腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似； 直线与圆的位置关系的判定：如果圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，那么：
直线l与圆O相交＜＝＞d 直线l与圆O相切＜＝＞d=r
直线l与圆O相离＜＝＞d>r 圆与圆的位置关系的判定：两圆的半径分别用r,R来表示。
当d>R+r 时，相离。
当d=R+r 时，外切
当|R-r| 当d=|R-r|时，内切，
当0≤d<|R-r| 时，内含。相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.) 等腰三角形的分类讨论：①可表示型：两两相等列等式；②不可表示型：1、有固定角：三线合一用固定角的三角比；2、没有固定角：角的转化或形似的转化；专题精讲例：已知：梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，垂足为C，AB=10，，⊙O1以AB为直径，⊙O2以CD为直径，线段O1 O2与⊙O1交于点M，与⊙O2交于点N（如图1），设AD=x. 当⊙O1与⊙O2相切时，求x的值； 当O2在⊙O1上时，请判断AB与⊙O2的位置关系，并说明理由； 联结AM，线段AM与⊙O2交于点E，分别联结NE、O2E，若△EMN与△ENO2相似，求x的值。 三、课堂达标检测检测题：如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点，设，．（1） 求长；（2） 求 关于 的函数解析式，并写出定义域；（3） 当 ⊥时，求 的长．?A
E
O
D
C
B
?四、学法提炼1、专题特点：圆中的等腰三角形的运用； 2、解题方法：利用圆中的等腰三角形构造相似解决问题； 3、注意事项：圆中条件缺乏时善于考虑半径相等构造的等腰。 专题精讲 例：已知AB是⊙的直径，弦⊥，垂足为，，，点在⊙上，射线与射线相交于点，设，．（1）求⊙的半径； （2）如图，当点在上时，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果，求的长． 二、课堂达标检测检测题： 已知是⊙的直径，点是⊙上的一个动点（不与点、重合），联结，以直线为对称轴翻折，将点的对称点记为，射线交半圆于点，联结.（1）如图8，求证：∥；（2）如图9，当点与点重合时，求证：； （3）过点作射线的垂线，垂足为，联结交于.当，时，求 的值. 三、学法提炼1、专题特点：圆中的动点问题； 2、解题方法：垂径定理构造直角相似； 3、注意事项：对于圆中的不确定点要注意分类讨论。 专题精讲例：如图，在△中，∠=90°，，，点为的中点，动点从 点出发，延射线方向以2的速度运动，以点为圆心，长为半径作圆. 设点运动的时 间为秒． （1）当时，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；（2）当△是等腰三角形时，求的值； （3）已知⊙为的外接圆，若⊙与⊙相切，求的值. 二、课堂达标检测 如图1，已知的半径长为3，点是上一定点，点为上不同于点的动点． （1）当时，求的长； （2）如果过点、，且点在直线上（如图2），设，，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在与相内切，同时与相外切，且，试求的半径的长．三、学法提炼1、专题特点：圆中的位置关系； 2、解题方法：直线与圆、圆与圆的位置关系的判定； 3、注意事项：对圆中的不确定关系要分类讨论。 学法升华知识收获等腰三角形的分类讨论； 动点的分类讨论； 垂径定理的运用； 等腰三角形的相似。二、 方法总结1、与弦有关，垂径定理必要用，直角三角形与锐角三角比常联系； 2、圆中半径等，等腰三角形很易得，性质相似要考虑；三、 技巧提炼圆的综合：①与弦有关考虑垂径定理构造直角三角形；②条件缺乏时半径相等要相等得等腰；③分类讨论不可忘。课后作业1、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若=，求∠F的度数； （2）设写出与之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长． 2、在中，，，，⊙的半径长为1，⊙交边 于点，点是边上的动点．（1）如图8，将⊙绕点旋转得到⊙，请判断⊙与直线的位置关系； （2）如图9，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （3）如图10，点是边上的动点，如果以为半径的⊙和以为半径的⊙外切，设，，求关于的函数关系式及定义域． 3、已知点、、是半径长为2的半圆上的三个点，其中点是弧的中点（如图13），联结、，点、分别在弦、上，且满足，联结、．（1）求证：；（2）联结，当时，求的度数；（3）若，当点在弦上运动时，四边形的面积是否变化？若变 化，请简述理由；若不变化，请求出四边形的面积． 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，，设⊙P的半径为，线段OC的长为． （1）求AB的长； （2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径． 已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=。点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）。（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围； 如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90?，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=，BD=． 求关于的函数解析式，并写出它的定义域； 如果⊙与⊙O相交于点A、C，且⊙与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙的半径； 是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由． 已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1P O2= 120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。如图1，求∠AM B的度数； 当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AM B的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AM B的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AM B的度数同于（1）中结论； 当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。 如图，⊙的半径，点是线段延长线上的任意一点，⊙与⊙内切于点，过点作交⊙于，联结、，交⊙于． （1） 若设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3分） （2） 将⊙沿弦翻折得到⊙，当时，试判断⊙与直线的位置关系； （4分） （3） 将⊙绕着点旋转得到⊙，如果⊙与⊙内切，求的值． （7分） 已知：⊙O的直径AB=8，⊙B 与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为，OE的长为，如图7，当点E在线段OC上时，求关于的函数解析式，并写出定义域；当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 的长度（不必写过程）； 如果不能，请简要说明理由． 已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，联结． （1）若，求弦的长． （2）若点在上时，设，，求与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值． 如图，已知∠MON两边分别为OM、ON， sin∠O=且OA=5，点D为线段OA上的动点(不与O 重合)，以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′． 若⊙A′与直线OA相切，求x的值； 若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．
x
y
O
1
1
B
A
A
B
C
D
O1
O2
M
N
图1
备用图
A
O
B
A
F
E
D
H
B
C
O
A
O
备用图
P
A
C
（O1）B
O
图9
P
A
B
C
O1
O
图8
P
B
P
C
A
O
Q
第25题
B
O
A
C
P
图9
B
O
A
C
P
图8
图10
O
N
B
A
C
O
备用图
B
O
A
D
E
图13
C
O
备用图
B
A
C
O
P
（第24题图）
备用图
A
B
C
M
A
B
C
M
O
E
图（1）
B
D
C
A
O
（第25题图）
图2
P
O1
O2
Q
P
O1
O2
图1
A
B
M
Q
P
O1
O2
Q
备用图
D
C
B
A
M
E
O
A
O
B
C
D
E
F
16
上海四大名校中考总复习通用教材卷13点和圆、直线和圆、圆和圆、正多边形(A)——p1
1、 填空（每小题3分，共48分）
1． 圆心的坐标是（3，4），半径是5，那么坐标原点在————————（填圆内或圆上或圆外）.
2． 已知⊙O的半径是5，圆心O到一条直线的距离是4，那么这条直线和圆的公共点的个数是———————— .
3． 如果⊙O和⊙Oˊ的半径分别为4cm和3cm，OOˊ=15cm,那么⊙O和⊙Oˊ的位置关系是———————— .
4． ⊙O的一条弦长为8，弦心距为3，则⊙O的直径长为———————— .
5． 如果⊙O和⊙Oˊ相交，两圆的半径分别是3和5，那么OOˊ长的范围是———————— .
6． 如果⊙O和⊙O1相切，⊙O的半径是3，圆心距OO1=5，则⊙O1的半径等于———————— .
7． 已知AB是⊙O的直径，CD是弦，EC⊥CD，FD⊥CD，E、F在AB上，OG⊥CD，G为垂足，已知EC=3，FD=5，则OG=———————— .
8． 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么△ABC的内切圆的半径=———————— .
9． 过⊙O外一点P，向⊙O作切线PA、PB，A、B为切点，如果⊙O的半径是4cm，PO=8cm,那么△PAB是————————三角形.
10.已知P是⊙O外一点，如果⊙O的半径为3，PO=5，那么点P到圆O的切线长为———————— .
11.正八边形的中心角等于————————度 .
12.如果正六边形边长为a，那么面积等于———————— .
13.已知两等圆半径为5cm，公共弦长为6cm，则圆心距为————————cm .
14.若⊙O的直径为，则⊙O的内接正方形的边长为———————— .
15.半径分别为1、2、3的三圆两两外切，那么以三个圆心为顶点构成的三角形的形状是———————— .
16.同圆的内接正三角形和外切正三角形的边长的比是———————— .
二． 选择题（每小题3分，共18分）
17．到三角形各边距离相等的点是这个三角形的 （ ）
（A）外心； （B）内心； （C）重心； （D）垂心.
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，如果以点C为圆心，画圆与AB相切，那么圆C的半径是 （ ）
（A）2.4； （B） 3.6； （C） 4.8； （D） 5.
19．如果两个圆有且只有一条公切线，那么这两个圆的位置关系是 （ ）
（A）外切； （B）相交； （C）内切； （D）内含.
20．两圆半径的比为5∶2，当两圆外切时圆心距为7，此时外公切线长为 （ ）
（A）4； （B）2； （C）7； （D）.
21．下列命题中，正确的是 （ ）
（A）垂直于半径的直线是这圆的切线； （B）平分弦的直径垂直于弦；
（C）任何两个圆必有两条外公切线； （D）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
22．已知△ABC的周长是24，内切圆半径是1.5，那么这个三角形的面积是 （ ）
（A）24； （B）20； （C）18； （D）16.
三．简答题（23、24题每题11分，第25题12分，共34分）
23如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=5，AB=12，圆心O在AB上，⊙O过点A，且与BC相切于D，求⊙O的半径.
24如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，CD切⊙O于点C，AE⊥CD，D为垂足，BC的延长线交AE于点E；求证：△ABE是等腰三角形.
25.如图，⊙O1和⊙O2的半径都是2，相交于点A和B，⊙O1过点O2，⊙O2过点O1，
（1） 求证：四边形AO1BO2是菱形；
（2） 求菱形AO1BO2的面积.
卷13A参考答案：
1、圆上； 2、2个； 3、外离； 4、10； 5、217、B 18、C 19、C 20、A 21、D 22、C 23、 24、连接O、C，
证∠B=∠E 25、（1）证O1A=O1B=O2B=O2A （2）2
专项练习—圆出题人：乔老师 姓名：—————
1 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，
则该半圆的半径为（ ）．
A． cm B 9 cm C． cm D． cm
2 正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，
B为切点．则B点的坐标为
A． B． C． D．
4已知：梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，垂足为C，AB=10，，⊙O1以AB为直径，⊙O2以CD为直径，线段O1 O2与⊙O1交于点M，与⊙O2交于点N（如图1），设AD=x.
当⊙O1与⊙O2相切时，求x的值；
当O2在⊙O1上时，请判断AB与⊙O2的位置关系，并说明理由；
5联结AM，线段AM与⊙O2交于点E，分别联结NE、O2E，若△EMN与△ENO2相似，求x的值。
6：如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，
与⊙相交于点，设，．
（1） 求长；
（2） 求 关于 的函数解析式，并写出定义域；
（3） 当 ⊥时，求 的长．
7已知AB是⊙的直径，弦⊥，垂足为，，，点在⊙上，射线与射线相交于点，设，．
（1）求⊙的半径；
（2）如图，当点在上时，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果，求的长．
8 已知是⊙的直径，点是⊙上的一个动点（不与点、重合），联结，以直线为对称轴翻折，将点的对称点记为，射线交半圆于点，联结.
（1）如图8，求证：∥；
（2）如图9，当点与点重合时，求证：；
（3）过点作射线的垂线，垂足为，联结交于.当，时，求的值.
9如图，在△中，∠=90°，，，点为的中点，动点从点出发，延射线方向以2的速度运动，以点为圆心，长为半径作圆. 设点运动的时间为秒．
（1）当时，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
（2）当△是等腰三角形时，求的值；
（3）已知⊙为的外接圆，若⊙与⊙相切，求的值.
10，已知的半径长为3，点是上一定点，点为上不同于点的动点．
（1）当时，求的长；
（2）如果过点、，且点在直线上（如图2），设，，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在与相内切，同时与相外切，且，试求的半径的长．
11、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．
（1）若=，求∠F的度数；
（2）设写出与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．
12、在中，，，，⊙的半径长为1，⊙交边 于点，点是边上的动点．
（1）如图8，将⊙绕点旋转得到⊙，请判断⊙与直线的位置关系；
（2）如图9，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长；
（3）如图10，点是边上的动点，如果以为半径的⊙和以为半径的
⊙外切，设，，求关于的函数关系式及定义域．
13、已知点、、是半径长为2的半圆上的三个点，其中点是弧的中点（如图13），联结、，点、分别在弦、上，且满足，联结、．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求的度数；
（3）若，当点在弦上运动时，四边形的面积是否变化？若变
化，请简述理由；若不变化，请求出四边形的面积．
14已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，，设⊙P的半径为，线段OC的长为．
（1）求AB的长；
（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．
15已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=。点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）。
（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；
（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；
（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；
如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90?，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=，BD=．
求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
如果⊙与⊙O相交于点A、C，且⊙与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙的半径；
是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1P O2= 120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。
如图1，求∠AM B的度数；
当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AM B的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AM B的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AM B的度数同于（1）中结论；
当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。
如图，⊙的半径，点是线段延长线上的任意一点，⊙与⊙内切于点，过点作交⊙于，联结、，交⊙于．
（1） 若设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3分）
（2） 将⊙沿弦翻折得到⊙，当时，试判断⊙与直线的位置关系； （4分）
（3） 将⊙绕着点旋转得到⊙，如果⊙与⊙内切，求的值． （7分）
已知：⊙O的直径AB=8，⊙B
与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为，OE的长为，
如图7，当点E在线段OC上时，求关于的函数解析式，并写出定义域；
当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；
设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 的长度（不必写过程）；
如果不能，请简要说明理由．
已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，联结．
（1）若，求弦的长．
（2）若点在上时，设，，求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值．
一、选择题(每小题3分，共9分)
1．以已知点O为圆心作圆，可以作( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．如图J24?1?1，在⊙O中，弦的条数是( )
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
图J24?1?1 图J24?1?2 图J24?1?3
3．如图J24?1?2，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则∠AOB为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．
5．如图J24?1?3，OE，OF分别为⊙O的弦AB，CD的弦心距，如果OE＝OF，那么______(只需写一个正确的结论)．
三、解答题(共8分)
6．如图J24?1?4，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于点D，OD＝5 cm，求BC的长．
图J24?1?4
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．如图J24?1?5，AB是⊙O的直径，＝，∠BOD＝60°，则∠AOC＝( )
A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
2．如图J24?1?6，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是( )
A．32° B．60° C．68° D．64°
图J24?1?5 图J24?1?6 图J24?1?7 图J24?1?8
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．如图J24?1?7，CD⊥AB于点E，若∠B＝60°，则∠A＝________.
4．如图J24?1?8，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则与的弧长的大小关系是______________．
三、解答题(共11分)
5．如图J24?1?9，已知AB＝AC，∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求∠APB的度数．
图J24?1?9
基础知识反馈卡·24.2.1
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共9分)
1．已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在( )
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．都有可能答案
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，点D是AB边的中点，以点C为圆心，4 cm长为半径作圆，则点A，B，C，D四点中在圆内的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．⊙O的半径r＝5 cm，圆心到直线l的距离OM＝4 cm，在直线l上有一点P，且PM＝3 cm，则点P( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．可能在⊙O上或在⊙O内
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在________．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm.
三、解答题(共8分)
6．通过文明城市的评选，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图J24?2?1所示，A，B，C 为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见， 要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．
图J24?2?1
基础知识反馈卡·24.2.2
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．如图J24?2?2，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝6，OP＝8，则⊙O的半径是( )
A．4 B．2 C．5 D．10
2．如图J24?2?3，PA，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OP＝4，OA＝2，那么∠AOB＝( )
A．90° B．100° C．110° D．120°
图J24?2?2 图J24?2?3 图J24?2?4 图J24?2?5
二、填空题(每小题4分，共12分)
3．已知⊙O的直径为10 cm，圆心O到直线l的距离分别是：①3 cm；②5 cm；③7 cm.那么直线l和⊙O的位置关系是：①________；②________；③________.
4．如图J24?2?4，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝________.
5．如图J24?2?5，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______.
三、解答题(共7分)
6．如图J24?2?6所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠A的度数．
图J24?2?6
基础知识反馈卡·24.3
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．一正多边形外角为90°，则它的边心距与半径之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D．1∶3
2．如图J24?3?1，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( )
图J24?3?1
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
二、填空题(每小题4分，共12分)
3．正12边形的每个中心角等于________．
4．正六边形的边长为10 cm，它的边心距等于________cm.
5．从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________ cm.
三、解答题(共7分)
6．如图J24?3?2，要把一个边长为a的正三角形剪成一个最大的正六边形，要剪去怎样的三个三角形？剪成的正六边形的边长是多少？它的面积与原来三角形面积的比是多少？
图J24?3?2
基础知识反馈卡·24.4.1
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共9分)
1．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于( )
A．24π cm B．12π cm C．10π cm D．5π cm
2．已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角是为( )
A．200° B．160° C．120° D．80°
3．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为( )
A.π B.π＋10 C.π D.π＋10
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．如图J24?4?1，已知正方形ABCD的边长为12 cm，E为CD边上一点，DE＝5 cm.以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为________cm.
图J24?4?1 图J24?4?2
5．如图J24?4?2，在两个同心圆中，两圆半径分别为2,1，∠AOB＝120°，则阴影部分面积是____________．
三、解答题(共8分)
6．如图J24?4?3，在正方形ABCD中，CD边的长为1，点E为AD的中点，以E为圆心、1为半径作圆，分别交AB，CD于M，N两点，与BC切于点P，求图中阴影部分的面积．
图J24?4?3
基础知识反馈卡·24.4.2
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．已知一个扇形的半径为60 cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A．12.5 cm B．25 cm C．50 cm D．75 cm
2．如图J24?4?4小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为( )
A．150° B．180° C．216° D．270°
图J24?4?4 图J24?4?5 图J24?4?6
二、填空题(每小题4分，共12分)
3．如图J24?4?5，小刚制作了一个高12 cm，底面直径为10 cm的圆锥，这个圆锥的侧面积是________cm2.
4．如图J24?4?6，Rt△ABC分别绕直角边AB，BC旋转一周，旋转后得到的两个圆锥的母线长分别为____________．
5．圆锥母线为8 cm，底面半径为5 cm，则其侧面展开图的圆心角大小为______．
三、解答题(共7分)
6．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图为半圆，求：
(1)圆锥的母线与底面半径之比；
(2)圆锥的全面积．
基础知识反馈卡·24.1.1
1．D 2.C 3.C 4.无数 一
5．AB＝CD或＝
6．BC＝10 cm
基础知识反馈卡·24.1.2
1．C 2.D 3.30° 4.相等
5．(1)证明：由圆周角定理，得
∠ABC＝∠APC＝60°.
又AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：∵∠ACB＝60°，
∠ACB＋∠APB＝180°，
∴∠APB＝180°－60°＝120°.
基础知识反馈卡·24.2.1
1．C 2.B 3.B
4．三角形内 斜边上 三角形外
5．6.5
6．解：图略．作法：连接AB，AC，分别作这两条线段的垂直平分线，两直线的交点为垃圾桶的位置．
基础知识反馈卡·24.2.2
1．B 2.D 3.相交 相切 相离 4．40° 5.50° 60° 70°
6．解：∵EB，EC是⊙O的两条切线，∴EB＝EC.∴∠ECB＝∠EBC.
又∠E＝46°，而∠E＋∠EBC＋∠ECB＝180°，∠ECB＝67°.
又∠DCF＋∠ECB＋∠DCB＝180°，
∴∠BCD＝180°－67°－32°＝81°.
又∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°－81°＝99°.
基础知识反馈卡·24.3
1．B 2.C 3.30° 4.5 5.10
6．解：三个小三角形是等边三角形且边长为a，正六边形的边长为a，正六边形的面积为a2，原正三角形的面积为a2，它们的面积比为2∶3.
基础知识反馈卡·24.4.1
1．C 2.B 3.B 4.π(也可写成6.5π) 5.2π
6．解：在Rt△EAM和Rt△EDN中，∵AE＝DE，EM＝EN，
∴Rt△EAM≌Rt△EDN.
∴∠AEM＝∠DEN.
连接EP，∵AE＝AD＝，CD＝EP＝EM＝1，∴AE＝EM.
∴∠AME＝30°.
∴∠AEM ＝60°，AM＝＝.∴∠MEN＝180－2×60°＝60°.
∴S阴影＝＝.
基础知识反馈卡·24.4.2 1．B 2.C 3.65π 4.2,2 5.225°6
解：(1)2πr＝×2πl，∴l＝2r，l∶r＝2∶1.
(2)∵l2－r2＝h2，∴3r2＝(3 )2.∴r＝3 cm，l＝6 cm.S全＝πrl＋πr2＝27π(cm2)．
教育教师备课手册
教师姓名 学生姓名 填写时间 2017.11.XX
学科 数学 年级 初三 上课时间 10:00-12:00 课时计划 12小时
教学目标 教学内容 中考复习 圆综合
个性化学习问题解决 基础知识回顾，典型例题分析
教学重点、难点
教 学 过 程 圆与中考中考要求及命题趋势 1、理解圆的基本概念与性质。2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定 。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2018年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。应试对策圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。就是说几何所有的东西都是通的，你学后面的就自然牵扯到前面的，前面的忘掉了，简单的东西忘掉了，后面要用就不会用了，所以几何前面学到的知识、常用知识，后面随时都在用。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。圆这一章，特别是有关圆的性质这两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。掌握之后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。都是哪些思路呢？我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。 第一讲 圆的有关性质【回顾与思考】 〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质〖大纲要求〗正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个 圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题； 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。〖考查重点与常见题型〗判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ） (A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦 (C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。 【例题经典】 有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．圆心角、弧、弦和垂径定理的应用如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F， 且AE=BF，请你找出与的数量关系，并给予证明． 【点评】该题是一道变式题，主要考查圆心角、弧和垂径定理的综合应用.圆周角定理的应用例3、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是 ( )A、60° B、45° C、30° D、15°例4 已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R． （1）求证：AB·AC=AD·AE；（2）求证：AB·AC·BC=4RS． 【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形． （2）利用（1）的结论和三角形的面积公式． 第二讲 与圆有关的位置关系 (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)【回顾与思考】 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系 知识点： 直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理大纲要求：1．掌握直线和圆的位置关系的性质和判定； 2．掌握判定直线和圆相切的三种方法并能应用它们解决有关问题：（1）直线和圆有唯一公共点；(2)d=R；(3)切线的判定定理 (应用判定定理是满足一是过半径外端，二是与这半径垂直的二个条件才可判定是圆的切线） 3．掌握圆的切线性质并能综合运用切线判定定理和性质定理解决有关问题：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）圆心到切线距离等于半径；（3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；(6)切线长定理；(7) 弦切角定理及其推论。 4，掌握三角形外切圆及圆外切四边形的性质及应用； 5．注意：(1)当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的，在写条件时应说明直线和圆相切于哪一点，辅助线是作出过确定的半径；当证明直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径；即为“连半径证垂直得切线”；若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为:“作垂直证半径得切线”。(2) 见到切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。考查重点与常用题型： 1．判断基求概念，基本定理等的证误。在中考题中常以选择填空的形式考查形式对基本概念基求定理的正确理解，如：已知命题：(1)三点确定一个圆；(2)垂直于半径的直线是圆的切线；(3)对角线垂直且相等的四边形是正万形；(4)正多边形都是中心对称图形；(5)对角线相等的梯形是等腰梯形，其中错误的命题有 ( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 2．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。 3．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。 【例题经典】 直线与圆位置关系的判定 例1 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O有交点，则下列结论中正确的是（ ） A．d=r B．d≤r C．d≥r D．d>r 【分析】此题解题关键是明白直线与圆的交点个数同直线与圆位置关系的联系，进而判断d与r的关系． （2）已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=_____时，AB与⊙O相切． 【分析】此题关键是求出圆心C到直线AB的距离d．也就是求出Rt△ABC斜边上的高，常用方法是面积相等法．第三讲 圆的切线的性质和判定 (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?) 【回顾与思考】 现实情境【例题经典】 关于三角形内切圆的问题例1（2006年宜昌市）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心， 若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ） A．130° B．100° C．50° D．65° 【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．圆的切线性质的应用 例2已知：如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连结AC． （1）求证：△ABC∽△POA；（2）若AB=2，PA=，求BC的长．（结果保留根号）圆的切线的判定 例3（2005年宁夏自治区）已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目．解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．第四讲 圆与圆的位置关系 知识点：圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线大纲要求： 1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系; 2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r之间的关系; 3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质; 4．注意 (1)圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；(2)在解题中把两个圆中有关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；(3)涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。公共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；(4)涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决有关两圆公切线等问题。考查重点与常甩题型： 1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的 形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是 ( ) (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切 2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。 【例题经典】 两圆位置关系的识别 例2 已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 （2）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．内切 D．相交 （3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，圆心距O1O2=3，则这两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 （4）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（ ） A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对 【分析】此例中4个题所考查的知识点都是：两圆的位置关系的判定．解决问题的关键是弄清圆心距、两圆半径与两圆位置关系之间的联系．例3 （如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA=3时，求AP的长． 【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等． 第五讲 圆的有关计算 【回顾与思考】知识点：正多边形和圆、正多边形的有关计算、等分圆周、圆周长、弧长、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积、面积变换大纲要求： 1．了解用量角器等分圆周的方法，会用直尺和圆规画圆内接正方形和正多边形； 2． 掌握正多边形的定义和有关概念、判定和性质； 3． 熟练地将正多边形的边长、半径、边心距和中心角有关计算转变为解直角三角形问题来解诀； 4．熟练地运用圆周长、弧长公式、圆的扇形弓形面积公式进行有关计算； 5．明确图形构成，灵活运用、转化思想，提高解决综合图形面积的计算能力； 6．注意（1)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，反之也成立；(2) 证多边形是轴对称图形，且正n边形有n条对称轴；(3)正多边形不一起是中心对称图形，有奇数条边的正多边形没有对称中心，有偶数条边的正多边形有对称中心就是它的中心；(4)解诀正多边形问题经常需要作出它的外接圆，可转化成解直角三角形问题。 考查重点与常见题型 求解线段的长及线段的比，角的大小，三角函数的值及阴影部分的面积等。此类问题问题在近三年的中考题中也是多见，求线段的长及比，角的大小等多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。求阴影部分的面积除考查了扇形等图形面积的求法，还重点考查学生灵活应用知识的能力，求阴影部分的面积多半用两种方法解决:一种是将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积的和或差；一种是恰当地引辅助线，将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积。【例题经典】有关弧长公式的应用 (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)例1 如图，Rt△ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求 HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" 的长度． 【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．有关阴影部分面积的求法 例2 如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ） A．-1 B．-2 C．-1 D．-2 【分析】有关此类不规则图形的面积问题，一般采用“割补法”化为几个已学过的规则图形求解．求曲面上最短距离 例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（ ） A．2 B．4 C．4 D．5 【分析】在曲面上不好研究最短距离问题，可以通过展开图把曲面问题转化成平面问题，利用“两点之间，线段最短”来解决问题．
课 堂 练 习 中考试题演练例1 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E，已测得sin∠DOE=. (1)求半径OD； (2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多 长时间才能将水排干？ 例2 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，已知OE=1cm，DF=4cm. (1)求⊙O的半径； (2)求切线CD的长. 解： 例3 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N. 求证：MN是⊙O的切线. 证明 点评：要证明某线是切线，通常的证法是“连半径，证垂直”，本题就是典型的一题.例4 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC延长线交于点F. (1)求证：BD=BF； (2)若BC=6，AD=4，求⊙O的面积. 例5 已知：如图，四边形ABCD内接于圆，DP∥CA交BA延长线于P.求证：AD·DC=PA·CB. 分析：要证明AD·DC=PA·CB，即证明，只要证明△ADP∽△CBD，所以先连结BD. 证明： 点评：证明这类题目的通常思路是，将乘积式AD·DC=PA·CB化为比例式，再根据比例式设法证明两个有关的三角形相似.例6 已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O直径，CF⊥AD于E，交AB于F.求证：AC2=AF·AB. 分析：要证明AC2=AF·AB，即证明，只要证明△ACF∽△ABC. 证明： 例7 如图，△ABC内接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长. 解： 例8 已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE. 求证：(1)∠BAE=∠CEF； (2)CE2=BD·EF. 证明：. 例9. 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5． （1）若，求CD的长． （2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）．【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD的长就转化为求DE的长．第（2）小题求扇形OAC的面积其关键是求∠AOD的度数，从而转化为求∠AOD的大小． 【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法． 例10. 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 ： 3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q. （1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q 点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝45°，作BE⊥PC于点E， CP＝PE＋EC. 由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【说明】本题从点P在半圆AB上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt△ACB∽Rt△PCQ）往往是解题的关键． 例5. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． 【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．【解】（ 总结：
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