21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步拓展（含答案）

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
基础闯关全练
拓展训练
1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值是(　　)
A.15　　　B.12　　　C.6　　　D.3
2.(2017河北模拟)设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,那么m的值为(　　)
A.2　　　B.-3　　　C.3　　　D.-2
3.一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1,x2,若x1+x2=1,则方程的两根为　　　　.?
4.若一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x1、x2,则1x1+1x2=　　　　.?
能力提升全练
拓展训练
1.(2017天津南开模拟)甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,乙把常数项看错了,解得两根为2和2,则原方程是(　　)
A.x2+4x-15=0　　B.x2-4x-15=0
C.x2+4x+15=0　　D.x2-4x+15=0
2.(2016河南商丘二模)如果关于x的一元二次方程x2-4|a|x+4a2-1=0的一个根是5,则方程的另一个根是(　　)
A.1　　　B.5　　　C.7　　　D.3或7
3.(2017广东广州从化模拟)已知α、β是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足1α+1β=1,则m的值是(　　)
A.3　　　B.-1　　　C.3或-1　　　D.-3或1
4.(2016山东潍坊三模)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两实数根x1,x2,且满足5x1+2x2=2,则m-2=　　　　.?
5.(2016江西模拟)已知α,β是关于x的一元二次方程2x2-mx-3=0的两个实根,则满足不等式α2β+αβ2-αβ≥0的系数m的取值范围是　　　　.?
6.(2017内蒙古包头东河二模)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是　　　　.?
7.设关于x的方程x2-2x-m+1=0的两个实数根分别为α,β,若|α|+|β|=6,则实数m的值是　　　　.?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2017江苏无锡宜兴期中,11,★☆☆)已知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1,则方程bx2+cx+a=0的两根为(　　)
A.-13和1　　　B.12和1　　　C.13和-1　　　D.-12和-1
2.(2018四川内江资中期中,12,★★☆)已知a、b是关于x的一元二次方程x2-x-k2+2k-2=0的两个实数根,直线y=ax+b一定经过的象限是(　　)
A.第一、二象限　　B.第二、三象限
C.第三、四象限　　D.第一、四象限
3.(2016湖南娄底新化期末,18,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1,x2,且1x1+1x2=23,则a的值为　　　　.?
4.(2016辽宁辽河油田二模,15,★★☆)已知m、n是关于x的一元二次方程x2-2ax+a2+a-2=0的两实根,那么m+n的最大值是　　　　.?
五年中考全练
拓展训练
1.(2017内蒙古呼和浩特中考,5,★★☆)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　)
A.2　　　B.0　　　C.1　　　D.2或0
2.(2017四川内江中考,24,★★☆)设α、β是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则β3α+α3β=　　　　.?
核心素养全练
拓展训练
1.(2017浙江宁波海曙自主招生)设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1<1A.a<-211　　　B.2725　　　D.-2112.若实数a≠b,且a,b分别满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式b-1a-1+a-1b-1的值为(　　)
A.-20　　B.2
C.2或-20　　D.2或20
3.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x2,则x1(x2+x1)+x22的最小值为　　　　.?
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
基础闯关全练
拓展训练
答案　C　∵x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,∴x1+x2=3,x1x2=32,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×32=6.
2.答案　C　∵x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,∴x1+x2=4,x1x2=m,
∵x1+x2-x1x2=1,∴4-m=1,∴m=3.此时Δ=(-4)2-4×1×3=4>0,符合题意.故选C.
3.答案　-1和2
解析　根据题意得x1+x2=-m=1,∴m=-1,∴原方程可化为x2-x-2=0.因式分解得(x+1)(x-2)=0,于是得x+1=0或x-2=0,解得x1=-1,x2=2.
4.答案　-1
解析　∵一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x1、x2,
∴x1+x2=1,x1x2=-1,
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=1-1=-1.
能力提升全练
拓展训练
1.答案　B　设原方程为x2+bx+c=0.∵甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,∴-3×5=c,即c=-15,∵乙把常数项看错了,解得两根为2和2,∴2+2=-b,即b=-4,∴原方程为x2-4x-15=0.故选B.
2.答案　D　设方程的另一个根为m,由根与系数的关系可得5+m=4|a|,即|a|=5+m4①,将x=m代入方程并整理得5m=4a2-1②,把①代入②得5m=4×(5+m)216-1,整理得m2-10m+21=0,解得m=3或m=7,故选D.
3.答案　A　∵α、β是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,∴α+β=2m+3,αβ=m2,又1α+1β=1,∴1α+1β=α+βaβ=2m+3m2=1,解得m=-1或m=3,经检验,m=-1或m=3均为原分式方程的解.∵α、β是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+3)]2-4m2=12m+9>0,∴m>-34,∴m=3.故选A.
4.答案　1144
解析　∵x1+x2=4,∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2,∴x1=-2,把x1=-2代入x2-4x+m=0得(-2)2-4×(-2)+m=0,解得m=-12,此时Δ=(-4)2-4×1×m=16+48=64>0,∴m-2=1144.
5.答案　m≤2
解析　Δ=(-m)2-4×2×(-3)=m2+24>0.由根与系数的关系可得α+β=m2,αβ=-32.∵α2β+αβ2-αβ≥0,即α2β+αβ2-αβ=αβ(α+β-1)=-32m2-1≥0,∴m≤2.故填m≤2.
6.答案　36
解析　当3为等腰三角形的腰长时,将x=3代入原方程得9-12×3+k=0,解得k=27,此时原方程为x2-12x+27=0,即(x-3)(x-9)=0,解得x1=3,x2=9,∵3+3=6<9,∴3不能为等腰三角形的腰长;当3为等腰三角形的底边长时,方程x2-12x+k=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-12)2-4k=144-4k=0,解得k=36,此时x1=x2=122=6,∵3、6、6可以围成等腰三角形,∴k=36.
7.答案　9
解析　Δ=(-2)2-4×1×(-m+1)=4+4m-4=4m≥0,∴m≥0.由根与系数的关系可得α+β=2,αβ=-m+1,∵|α|+|β|=6,∴α,β为异号,即αβ<0,由α+β=2得α2+β2=4-2αβ,由|α|+|β|=6得α2+β2=36-2|αβ|,∴4-2αβ=36-2|αβ|=36+2αβ,∴αβ=-8,∴-m+1=-8,∴m=9.∵9≥0,∴实数m的值是9.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案　B　∵-ba=-3+1=-2,ca=-3×1=-3,∴b=2a,c=-3a,∴bx2+cx+a=0可化为2x2-3x+1=0,∵2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)=0,∴bx2+cx+a=0的两根为1和12,故选B.
2.答案　D　∵a、b是关于x的一元二次方程x2-x-k2+2k-2=0的两个实数根,∴a+b=1,ab=-k2+2k-2.∵-k2+2k-2=-(k-1)2-1<0,∴a、b异号.当a>0,b<0时,直线y=ax+b经过第一、三、四象限;当a<0,b>0时,直线y=ax+b经过第一、二、四象限.综上可知:直线y=ax+b一定经过的象限是第一、四象限.故选D.
3.答案　3
解析　∵关于x的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1,x2,∴x1+x2=-2,x1x2=-a,∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=-2-a=23,∴a=3.经检验符合题意,故填3.
4.答案　4
解析　根据题意得Δ=4a2-4(a2+a-2)≥0,解得a≤2,因为m+n=2a,所以m+n≤4,所以m+n的最大值为4.
五年中考全练
拓展训练
1.答案　B　由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,∴-(a2-2a)=0,解得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0.
2.答案　47
解析　方程(x+1)(x-4)=-5可化为x2-3x+1=0,∵α、β是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,∴α+β=3,αβ=1,∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=7,α4+β4=(α2+β2)2-2α2·β2=47,∴β3α+α3β=α4+β4αβ=47.
核心素养全练
拓展训练
1.答案　D　∵方程有两个不相等的实数根,∴a≠0且Δ>0,由(a+2)2-4a×9a=-35a2+4a+4=-(7a+2)(5a-2)>0,解得-270,那么(x1-1)(x2-1)<0,∴x1x2-(x1+x2)+1<0,即9+a+2a+1<0,解得-2112.答案　A　∵a,b分别满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,∴a,b是方程x2-8x+5=0的两根,∴a+b=8,ab=5,∴b-1a-1+a-1b-1=(b-1)2+(a-1)2(a-1)(b-1)=(a+b)2-2ab-2(a+b)+2ab-(a+b)+1=82-2×5-2×8+25-8+1=-20.故选A.
3.答案　54
解析　∵关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x2,∴(2m)2-4(m2+3m-2)≥0,
∴m≤23.由根与系数的关系知x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,
∴x1(x2+x1)+x22=(x1+x2)2-x1x2=4m2-(m2+3m-2)=3m-122+54,当m=12时,x1(x2+x1)+x22取得最小值,为54.