21.1 一元二次方程（2）
学习目标：
1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它解决一些具体问题．
2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．
重点：判定一个数是否是方程的根；
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
【课前预习】（阅读教材,完成课前预习）
1：知识准备
一元二次方程的一般形式:____________________________
2：探究新知
问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得_________________．整理得___________________．
1)下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的________的值。
3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？
4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1.你能想出下列方程的根吗？
(1) x2 -36 = 0 (2) 4x2＝9
2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1) x2－25＝0 (2)3 x2 ＝1 (3)9 x2－16＝0
例3.关于x的一元二次方程(a－1) x2＋x＋a 2－1＝0的一个根为0，求a的值
随堂训练
1.用以前所学知识求出下列方程的根：
（1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2
2. 下列各未知数的值是方程3x2+ x－2 = 0的解的是（ ）
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2
3.确定方程x2－8x+7.5= 0的解的范围____________
4.已知方程3x2－9x+m= 0的一个根是1，则m的值是______
5.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？
6. 已知m是方程的一个根，则代数式________。
7.若x＝1是关于x的一元二次方程a x2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，求代数式2009(a＋b＋c)的值
归纳小结：
1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。
2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________
拓广探索：
1.如果x=2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？
2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程⑴
学习目标：
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
新知引入
问题(1)：古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设竿长为x尺，那么这个门的宽为_______尺，高为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：____________________________．①
问题(2) ：建造一个面积为20平方米，长比宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是多少？
如果假设花坛的宽为x米，则长为 米，根据题意，得_____________．整理、化简，得：____________． ②
问题(3)：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是 ________，宽是___ __，根据题意，
得： ____ ______ 整理，得：____ ____ ________③．
问题(4) 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为___________
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_____________场。列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ④
新知探究
请口答下面问题：
（1）方程①②③④中未知数的个数各是多少？____________________
（2）它们最高次数分别是几次？____________________
方程①②③④的共同特点是： 这些方程的两边都是__________只含有__________未知数（一元），并且未知数的最高次数是__________的方程.
1.一元二次方程:_____________________________________________
2. 一元二次方程的一般形式:____________________________
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，__________是二次项系数；bx是__________,________是一次项系数；__________是常数项。
（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数是一个重要条件，不能漏掉。）
探究知识点一
例1 下列方程：
(1) (2) (3) (4)
⑸2x2－2x(x＋7)＝0 ⑹(x＋2)2＝x＋2 ⑺3x2＝8 ⑻2(x－1）＝3y
其中是一元 二次方程的是 。
探究知识点二
例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
例3求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可． 证明：
随堂练习：
1将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：
⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
⑴一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
⑵把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________．
5．关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
21.2.1 直接开平方法解一元二次方程
教学目标
学习目标：
初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥ 0)的方程(重点)：
理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；(难点)
能根据具体问题的实际意义检验结果的合理。 回顾旧知
一元二次方程概念应把握哪些条件？什么叫做一元二次方程的根？
填空：
⑴x2－8x＋______＝(x－______)2；
⑵9x2＋12x＋_____＝(3x＋_____)2；
⑶x2＋px＋_____＝(x＋______)2．
引入新知
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
计算：用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2
（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=72
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得x＝ 或 。
【新知探究】
例1、用直接开平方法解下列方程：
（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11
例2、市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
解：设每年人均住房面积增长率为x．则一年后人均住房面积就应该是_____________；二年后人均住房面积就应该是_________________；根据题意得：
【课堂练习】：
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）(x+5)2=25 （2）x2-4x+4=52 （3）9x2+6x+1=4
（4）x2-8=0 （5）36x2-1=0 （6） (x+6)2-9=0
（7）3(x-1)2-6=0 （8）(4x－1)2＝32
归纳小结
应用直接开平方法解形如 ，那么可得 达到降次转化之目的．
21.2.2配方法解一元二次方程（1）
教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
导学过程
1.解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
2.填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。：
（1）x2+6x+______=（x+______）2； （2）x2－12x＋ ＝(x－ )2
（3）a2＋2ab＋ ＝(a＋ )2 ． （4）a2－2ab＋ ＝(a－ )2
⑸、x2-x+_____=（x-_____）2 ⑹、4x2+4x+_____=（2x+______）2
问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？
1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
2、通过配方将原方程变为(mx＋n)2＝p的形式方法。
3、用配方法解一元二次方程的一般步骤：
⑴将方程化成一般形式并把 化成1；(方程两边都除以二次项系数)
⑵移项，使方程左边只含有 项和 项，右边为 项。
⑶配方，方程两边都加上 的平方。
⑷原方程变为(mx＋n)2＝p的形式。
⑸如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
4、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做 法。
新知应用
探究知识点一
例1用配方法解下列方程：
⑴x2＋6x－16＝0； ⑵x2－3x＋1＝0.
解：⑴移项，得x2＋6x＝____. ⑵移项，得x2－3x＝－1.
方程左边配方，得 方程左边配方，得
x2＋2·x· 3＋____2＝16＋____， x2－3x＋( )2＝－1＋____，
即 (______)2＝____. 即 _____________________
所以 x＋3＝____. 所以 ___________________
原方程的解是：x1＝_____，x2＝_____. 原方程的解是：x1＝________x2＝_______
探究知识点二
例2、用配方法解下列关于x的方程
⑴、3x2－6x＋4＝0 ⑵、2x2＋1＝3x
总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课堂练习】：
1.填空：
（1）x2+10x+______=（x+______）2；（2）x2-12x+_____=（x-_____）2
（3）x2+5x+_____=（x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2
2．用配方法解下列关于x的方程
（1） x2-16x+70=0． （2）x2+2x-35=0 （3）2x2-4x-1=0
（4）x2-8x+7=0 （5）x2+4x+1=0 （6）x2+6x+15=0
21.2.3用公式法解一元二次方程
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0） 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导．
导学过程
1、用配方法解下列方程
（1）x2-4x－5=0 （2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1=； x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：因为a≠0，方程两边都除以a，得：
_____________________＝0.
移项，得x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－，
即 (____________) 2＝___________
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
①、b2-4ac＞0，则＞0，直接开平方，得： 即x=
∴x1= ，x2=
②、b2-4ac=0，则=0此时方程的根为 即一元二次程
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 的实根。
③、b2-4ac＜0，则＜0，此时（x+）2 ＜0，而x取任何实数都不能使（x+）2 ＜0，
因此方程 实数根。
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根。
（2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。
（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b2-4ac
例1、 用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
【随堂练习】
1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？
2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。
3、利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x2-3x-=0 （2）x2-4x+4=0 （3）x2-x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x
4、用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0 （5）x2+x-6=0 （6）x2-x-=0
21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）
学习目标：
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
4.通过一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重点、难点
重点：列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题
难点：发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系
探 究：
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；
2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程 ，
解得
即平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元．
依题意，得
解得：x1≈ ，x2≈ 。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。
②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，
列方程：
解得：
答：两种药品成本的年平均下降率 ．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
【课堂活动】
例1：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
例2：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200，2003年平均每公顷产8460，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
归纳小结
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中________ 关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的_________；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
2.增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。
例3、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
随堂练习：
2013年一月份上海发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是( )．
A．100(1+x)2=250 B．100(1+x)+100(1+x)2=250 C．100(1－x)2=250 D．100(1+x)2
一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为( )．
A．(1+25%)(1+70%)a元 B．70%(1+25%)a元 C．(1+25%)(1－70%)a元 D．(1+25%+70%)a元
某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%，则d可用p表示为( )．
A． B．p C． D．
21.3.2 实际问题与一元二次方程（2）
学习目标：
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重点、难点
重点：列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题
难点：发现特殊图形问题中的等量关系
探 究：问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析：封面的长宽之比是27∶21= ，中央的长方形的长宽之比也应是 ，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和 ，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是 .
想一想，怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试。
【课堂活动】典型例题，初步应用
例1．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
例2．如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144，求马路的宽.
例3．如图，要设计一幅宽20、长30的图案，其中有两横两竖的彩条（图中阴影部分），横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1）
例4．用一根长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为.
⑴求此长方形的宽是多少？
⑵能围成一个面积为101的长方形吗？如能，说明围法。
⑵若设围成一个长方形的面积为（），长方形的宽为 ，求与x的函数关系式，并求出当x为何值时，的值最大？最大面积为多少？
§21.2.4一元二次方程解法(因式分解法)
学习目标
会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
新知引导
将下列各题因式分解：
am＋bm＋cm＝ ；a2－b2＝ ；a2±2ab＋b2＝
因式分解的方法：
解下列方程．
⑴2x2＋x＝0(用配方法) ⑵3x2＋6x＝0(用公式法)
新知要点
⑴对于一元二次方程，先因式分解使方程化为______________________________的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。
⑵如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
新知运用
例1 说出下列方程的根：
(1) (2)
例2 用因式分解法解下列方程：
⑴x2－4x＝0 ⑵4x2－49＝0 ⑶ 5x2－10x＋20＝0
例3 我们知道x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，那么x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0，请你用上面的方法解下列方程．
⑴x2－3x－4＝0 ⑵x2－7x＋6＝0 ⑶x2＋4x－5＝0
21.2.5解一元二次方程
学习目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
重点、难点
重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程
难点：选择合适的方法解一元二次方程
一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式
直接开平方法 平方根的定义 或
配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程
公式法 配方法 所有的一元二次方程
因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、配方法或公式法、分解因式法
二、用适当的方法解下列方程：
1. 2.
3、X（x-2）+X-2=0 4.
5、5x2-2X- =x2-2X+ 6.
§21.4一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
一元二次方程的两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系，
对根与系数的关系这一性质的应用
新知引导
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
方程 x1 x2 x1＋x2 x1 x2
⑴x2 ＋ 2x ＝ 0
⑵x2 ＋ 3x －4＝ 0
⑶x2 －5x ＋ 6＝ 0
尝试探索，发现规律：
完成上表猜想一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？请与小组中的同学交流你的看法，并总结你们的观点。
新知要点
推导验证：设x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．
，(b2－4ac≥0)
x1＋x2＝ x1.x2＝
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．(一元二次方程两根和与两根积与系数的关系)
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么
x1＋x2＝_____________
x1.x2＝_______
注意：一元二次方程的根与系数的关系的应用有两大前提，一、它是____________方程即条件为__________________；二、方程必须__________________即条件为____________。
新知运用
例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积
①x2 ＋ 3x －1＝ 0 ② x2 ＋ 6x ＋2＝ 0 ③ 3x2 －4x＋1＝ 0 ④
例2已知方程的一个根为1，不解方程求方程的另一个根及m的值
例3设方程x2＋3x＋1＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值：
⑴x12＋x22 ⑵
⑶(x1－3)(x2－3) ⑷(x1－x2)2
⑸｜x1－x2｜
复习检测一 一元二次方程复习课复习（1）
下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A． B．
C． D．
已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是( )
A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是( )
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )
A． x2+2x－4=0 B． x2－4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D．x2+4x－5=0
某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为 ，化为一般形式为 。
7.咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为 ，此方程适宜用 解。
8.已知m和n是方程2x2－5x－3=0的两根，则 。
9.已知x是一元二次方程x2+2x－8＝0的根，求代数式 ÷(x＋2－)的值．
10关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2．
⑴求m的取值范围；
⑵若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.
一元二次方程复习课复习⑵
学习目标
构造一元二次方程解决简单的实际问题 (重难点)
复习要点
①增长率问题：公式“基数×(1＋增长率)n＝结果”(其中n是增长的期数即增长次数)
②降低率问题：公式“基数×(1－降低率)n＝结果”(其中n是降低的期数即降低次数)
注意：0＜降低率＜1，增长率不为负，如果为负则为“降低”。
③修路面积问题：平移法
④盒子类问题：底面的长＝原长－2x，底面的宽＝原宽－2x。
⑤涨价问题：
⑥降价问题：
复习运用
例1菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。
⑴求平均每次下调的百分率；
⑵小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
例2如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
例3某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，且上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
⑴渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
⑵如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
复习检测二一元二次方程复习课复习⑵
某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产 个，增长率是 。
中国农业银行定期一年方式储蓄的年利率为1.98%,某人按定期一年方式存入1000元,存满一年,则利息（无税利息）是 元,若利息税率为20%,则税金是 元，则税后利息(即实得利息)是 元.存满一年连本带利(税后利息)的钱数是 元.(精确到分)
已知长方形ABCD，AB=20m，BC=15m，四周外围环绕着宽度相等的小路，小路的面积为246m2，求小路的宽度。
两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2，求大小两个正方形的边长。
某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
某商店从从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350－10a）件。物价局规定商品的利润不能超过进价的20%，商店计划赚400元，则每件的售价为多少元？
