Attitude determines altitude
参数方程练习题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
10．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．直线的斜率为______________________。
14．参数方程的普通方程为__________________。
15．直线的极坐标方程为____________________。
16．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。
三、解答题：
17．已知点是圆上的动点，
求的取值范围；
18．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。
19．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
20．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。
21．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。
（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。
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二项式定理例题讲解
分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理
做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种方法。 做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列 组合
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。
排列数 组合数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Pnm 从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm
选排列数 全排列数
二项式定理
二项展开式的性质 (1)项数：n+1项 (2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。 (3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和
例1．试求：
（1）(x3－)5的展开式中x5的系数；
（2）(2x2－)6的展开式中的常数项；
（4）在的展开式中，系数为有理数的项的个数．
解：（1）Tr＋1＝
依题意15－5r＝5，解得r＝2
故(－2)2＝40为所求x5的系数
（2）Tr＋1＝(2x2)6－ r＝(－1)r·26－ r·
依题意12－3r＝0，解得r＝4
故·22＝60为所求的常数项．
（4）Tr＋1＝,
要使x的系数为有理数，指数50－与都必须是整数，
因此r应是6的倍数，即r＝6k（k∈Z），
又0≤6k≤100，解得0≤k≤16（k∈Z）
∴x的系数为有理数的项共有17项．
评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．
例2．试求：
（1）(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；
解：（1）∵ (x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…
∴ (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179
∴ 所求展开式中的常数项是-＝－20
评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．
例3．（1）已知(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；
（2）已知(ax＋1)7（a≠0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值；
(3)已知(2x＋)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值．
解：（1）依题意，即＝7n
由于n∈N，整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8
(2) 依题意
由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±
（3）依题意T5＝＝1120，
整理得x4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得
lg2x＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1
∴x＝1或x＝
评述 (a＋b)n的展开式及其通项公式是a，b，n，r，Tr＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．
例4．（1）若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于 ；
（2）1＋2＝ ．
解（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝()4，
令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋a4＝，
由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)( a0－a1＋a2－a3＋a4)
＝[]4＝1
（2）在(1＋x)10＝中，
令x＝2，得1＋2
评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a＋b)n＝为恒等式．
二项式定理练习题
1．在的展开式中，的系数为 （ ）
A． B． C． D．
2． 已知， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于 （ ）
A．4 B．9 C．10 D．11
3．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．5310被8除的余数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 （ ）
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
6．二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．在的展开式中的系数为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是
（ ）
A．330 B．462 C．680 D．790
10．的展开式中，的系数为 （ ）
A．－40 B．10 C．40 D．45
11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的 （ ）
A．第2项 B．第11项 C．第20项 D．第24项
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
13．展开式中的系数是 .
14．若，则的值为__________.
15．若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是?????? ? .
16．对于二项式(1-x)，有下列四个命题：
①展开式中T= －Cx；
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题满分74分.
17．（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
求n的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
18．（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．
19．（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
21. （12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
22．（14分）规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
(1) 求的值；
(2) 设x>０，当x为何值时，取得最小值？
(3) 组合数的两个性质；
①. ②.
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
线性规划练习
1. “截距”型考题
在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
1.【2012年高考·广东卷 理5】已知变量满足约束条件，则的最大值为( )
2. (2012年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为
A．20 B．35 C．45 D．55
3.(2012年高考·全国大纲卷 理13) 若满足约束条件，则的最小值为 。
4.【2012年高考·陕西卷 理14】 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ．
5.【2012年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
6. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
7. (2012年高考·安徽卷 理11) 若满足约束条件：；则的取值范围为.
8．(2012年高考·山东卷 理5)的约束条件，则目标函数z=3x－y的取值范围是
A． [，6] B．[，－1] C．[－1，6] D．[－6，]
9．(2012年高考·新课标卷 理14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 .
2 . “距离”型考题
10.【2010年高考·福建卷 理8】 设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A. B.4 C. D.2
11.( 2012年高考·北京卷 理2) 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
A B C D
3. “斜率”型考题
12.【2008年高考·福建卷 理8】 若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）
A.(0,1) B. C.(1,+) D.
13.（2012年高考·江苏卷 14）已知正数满足：则的取值范围是 ．
4. “平面区域的面积”型考题
14.【2012年高考·重庆卷 理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为
A B C D
15.（2007年高考·江苏卷 理10）在平面直角坐标系，已知平面区域
且，则平面区域的面积为 （ ）
A． B． C． D．
16.（2008年高考·安徽卷 理15） 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 .
17.（2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
（A） （B） （C） （D） 高
18.（2008年高考·浙江卷 理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于__________.
5. “求约束条件中的参数”型考题
规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
19.（2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. －5 B. 1 C. 2 D. 3
20.【2012年高考·福建卷 理9】若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
21.（2008年高考·山东卷 理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）
A．[1，3] B．[2，] C．[2，9] D．[，9]
22.（2010年高考·北京卷 理7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是
A (1，3] B [2，3] C (1，2] D [ 3， ]
23.（2007年高考·浙江卷 理17）设为实数，若{}，则的取值范围是___________.
24.（2010年高考·浙江卷 理7） 若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）
A B C 1 D 2
6. “求目标函数中的参数”型考题
规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.
25.（2009年高考·陕西卷 理11）若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）
A．（，2） B．（，2） C． D．
26.（2011年高考·湖南卷 理7）设m>1，在约束条件目标函数z=x+my的最大值小于2，
则m的取值范围为
A． B． C．（1，3） D．
7. 其它型考题
27. （2009年高考·山东卷 理12） 设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
28. （2010年高考·安徽卷 理13）设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为________.
线性规划问题 答案解析
1. “截距”型考题
在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
1、选 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中 画出可行域，结合图形和z的几何意义易得
2、选D； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，的最大值为55，故选D.
3、答案：
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大，当目标函数过点时最小为.]
4、答案2； 【解析】当x > 0时，，，
∴曲线在点处的切线为，则根据题意可画出可行域D如右图：
目标函数， ∴当，时，z取得最大值2
5、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元， 则目标函数为
. 线性约束条件为?
即 作出不等式组表示的可行域,
易求得点. 平移直线，可知当直线，经过点，
即时 z取得最大值，且（万元）. 故选B.
点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 ，画可行域如图所示，
目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=
这是随Z变化的一族平行直线，解方程组 ， ，即A（4,4）
7、答案； 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中，画出可行域，结合图形和t的几何意义易得
8、选A； 【解析】 作出可行域和直线：，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即. ∴应选A.
9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形内及边界，其中，则
2 . “距离”型考题
10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。
评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.
11、选D；【解析】题目中表示的区域为正方形，如图所示，而动点M可
以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，
因此 ，故选D.
3. “斜率”型考题
12、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知，，选C.
评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1.
13、答案；【解析】条件可化为：.
设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围.
作出（）所在平面区域（如图），求出的切线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小，须.
∴的最小值在处，为. 此时，点在上之间. 当（）对应点时， ，∴的最大值在处，最大值为7. ∴的取值范围为， 即的取值范围是
4. “平面区域的面积”型考题
14、选；【解析】由对称性：围成的面积与围成的面积相等，得：所表示的平面图形的面积为围成的面积既
15、选B；【解析】令，则，代入集合A，易得，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为×2×1＝1，∴选B.
评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.
16、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，
其中： .
当从－2连续变化到1时，动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知，其面积为：.
评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线在从－2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键.
17、选A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的交点为D，
则由知，∴， ∴，选A.
18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有成立，只须平面区域顶点的坐标都满足不等式，易得所以所形成的平面区域的面积等于1.
评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.
5. “求约束条件中的参数”型考题
19、选D；【解析】 作出不等式组所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；∴|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入得a=3，故选D.
点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解.
20、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。
评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.
21、选C；【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中，使函数的图象过区域,由图易知，只须区域M的顶点不位于函数图象的同侧，即不等式(a＞0，a≠1)恒成立，即
评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.
22、选A；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点.
23、答案；【解析】 如图10，直线，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线应位于直线与轴之间（包括直线及轴），即，所以的取值范围是.
评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置、轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.
24、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用的最大值为9，确定区域的边界．
【规范解答】选C．令，则，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距．当z最大值为9时， 过点A，因此过点A，
所以．
6. “求目标函数中的参数”型考题
25、选B；【解析】如图，阴影部分△ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，，，
法一：，目标函数对应直线，直线的斜率为，在y轴上的截距为. ∵目标函数恰好在点(1，0)处取得最小值，
∴直线落在的直线x＋y =1按逆时针方向旋转到直线2x－y =2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得－1<<2，解得－4<<2，选B.
法二：根据题意，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则有且，解之得a的取值范围是（，2 ），答案选B.
评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要抓住可行域的顶点就是取到最值的点.
26、选A；【解析】在平面直角坐标系中作出直线，再作出直线y (m>1)，由图可知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值，由已知可解m.
7. 其它型考题
27、选A；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中，显然，当直线过点时，目标函数取得最大值12，即，
=，选A.
评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数的等式；求的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本不等式解答.
28、答案4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，由图易知，目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立.所以的最小值为4.
综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.
y=kx+
O
C
y
D
x
A
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线性规划练习
1. “截距”型考题
在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
1.【2016年高考上海卷 理5】已知变量满足约束条件，则的最大值为( )
2. (2015年高考·江苏卷 理8)设变量满足，则的最大值为
A．20 B．35 C．45 D．55
3.(2016年高考·全国大纲卷 理13) 若满足约束条件，则的最小值为 。
4.【2014年高考·陕西卷 理14】 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ．
5.【2016年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
6. (2016年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
7. (2014年高考·安徽卷 理11) 若满足约束条件：；则的取值范围为.
8．(2015年高考·山东卷 理5)的约束条件，则目标函数z=3x－y的取值范围是
A． [，6] B．[，－1] C．[－1，6] D．[－6，]
9．(2016年高考·新课标卷 理14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 .
2 . “距离”型考题
10.【2015年高考·福建卷 理8】 设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A. B.4 C. D.2
11.( 2014年高考·北京卷 理2) 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
A B C D
3. “斜率”型考题
12.【2014年高考·福建卷 理8】 若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）
A.(0,1) B. C.(1,+) D.
13.（2015年高考·江苏卷 14）已知正数满足：则的取值范围是 ．
4. “平面区域的面积”型考题 案例X2+Y2>4的图形画出来
14.【2015年高考·重庆卷 理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为
A B C D
15.（2016年高考·江苏卷 理10）在平面直角坐标系，已知平面区域
且，则平面区域的面积为 （ ）
A． B． C． D．
16.（2008年高考·安徽卷 理15） 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 .
17.（2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
（A） （B） （C） （D） 高
18.（2008年高考·浙江卷 理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于__________.
5. “求约束条件中的参数”型考题
规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
19.（2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. －5 B. 1 C. 2 D. 3
20.【2012年高考·福建卷 理9】若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
21.（2008年高考·山东卷 理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）
A．[1，3] B．[2，] C．[2，9] D．[，9]
22.（2010年高考·北京卷 理7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是
A (1，3] B [2，3] C (1，2] D [ 3， ]
23.（2007年高考·浙江卷 理17）设为实数，若{}，则的取值范围是___________.
24.（2010年高考·浙江卷 理7） 若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）
A B C 1 D 2
6. “求目标函数中的参数”型考题
规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.
25.（2009年高考·陕西卷 理11）若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）
A．（，2） B．（，2） C． D．
26.（2011年高考·湖南卷 理7）设m>1，在约束条件目标函数z=x+my的最大值小于2，
则m的取值范围为
A． B． C．（1，3） D．
7. 其它型考题
27. （2009年高考·山东卷 理12） 设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
28. （2010年高考·安徽卷 理13）设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为________.
线性规划问题 答案解析
1. “截距”型考题
在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
1、选 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中 画出可行域，结合图形和z的几何意义易得
2、选D； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，的最大值为55，故选D.
3、答案：
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大，当目标函数过点时最小为.]
4、答案2； 【解析】当x > 0时，，，
∴曲线在点处的切线为，则根据题意可画出可行域D如右图：
目标函数， ∴当，时，z取得最大值2
5、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元， 则目标函数为
. 线性约束条件为?
即 作出不等式组表示的可行域,
易求得点. 平移直线，可知当直线，经过点，
即时 z取得最大值，且（万元）. 故选B.
点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 ，画可行域如图所示，
目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=
这是随Z变化的一族平行直线，解方程组 ， ，即A（4,4）
7、答案； 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中，画出可行域，结合图形和t的几何意义易得
8、选A； 【解析】 作出可行域和直线：，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即. ∴应选A.
9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形内及边界，其中，则
2 . “距离”型考题
10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。
评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.
11、选D；【解析】题目中表示的区域为正方形，如图所示，而动点M可
以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，
因此 ，故选D.
3. “斜率”型考题
12、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知，，选C.
评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1.
13、答案；【解析】条件可化为：.
设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围.
作出（）所在平面区域（如图），求出的切线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小，须.
∴的最小值在处，为. 此时，点在上之间. 当（）对应点时， ，∴的最大值在处，最大值为7. ∴的取值范围为， 即的取值范围是
4. “平面区域的面积”型考题
14、选；【解析】由对称性：围成的面积与围成的面积相等，得：所表示的平面图形的面积为围成的面积既
15、选B；【解析】令，则，代入集合A，易得，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为×2×1＝1，∴选B.
评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.
16、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，
其中： .
当从－2连续变化到1时，动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知，其面积为：.
评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线在从－2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键.
17、选A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的交点为D，
则由知，∴， ∴，选A.
18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有成立，只须平面区域顶点的坐标都满足不等式，易得所以所形成的平面区域的面积等于1.
评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.
5. “求约束条件中的参数”型考题
19、选D；【解析】 作出不等式组所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；∴|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入得a=3，故选D.
点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解.
20、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。
评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.
21、选C；【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中，使函数的图象过区域,由图易知，只须区域M的顶点不位于函数图象的同侧，即不等式(a＞0，a≠1)恒成立，即
评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.
22、选A；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点.
23、答案；【解析】 如图10，直线，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线应位于直线与轴之间（包括直线及轴），即，所以的取值范围是.
评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置、轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.
24、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用的最大值为9，确定区域的边界．
【规范解答】选C．令，则，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距．当z最大值为9时， 过点A，因此过点A，
所以．
6. “求目标函数中的参数”型考题
25、选B；【解析】如图，阴影部分△ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，，，
法一：，目标函数对应直线，直线的斜率为，在y轴上的截距为. ∵目标函数恰好在点(1，0)处取得最小值，
∴直线落在的直线x＋y =1按逆时针方向旋转到直线2x－y =2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得－1<<2，解得－4<<2，选B.
法二：根据题意，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则有且，解之得a的取值范围是（，2 ），答案选B.
评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要抓住可行域的顶点就是取到最值的点.
26、选A；【解析】在平面直角坐标系中作出直线，再作出直线y (m>1)，由图可知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值，由已知可解m.
7. 其它型考题
27、选A；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中，显然，当直线过点时，目标函数取得最大值12，即，
=，选A.
评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数的等式；求的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本不等式解答.
28、答案4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，由图易知，目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立.所以的最小值为4.
综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.
A
x
D
y
C
O
y=kx+
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排列数、组合数及二项式定理整理
1、排列数公式
==.(，∈N*，且)．
2、排列恒等式
(1);(2);(3); (4);
(5).(6) .
3、组合数公式
===(∈N*，，且).
4、组合数的两个性质
(1)= ; (2) +=.
5、排列数与组合数的关系
.
6、二项式定理：
【注】：
1．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。
2．注意关键点：
①项数：展开式中总共有项。
②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。
3．常用的结论：
令
令
4．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···
②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，
从而得到：
为，设第项系数最大，应有，从而解
7、组合数公式的应用:
公式1 +++……+=
此公式可由下面方法推得
从个不同元素中取出个不同元素的组合数为先将其分为个元素中不含其中一个元素的和含元素的两类而这两类的组合数分别为与即得=+，依此再将组合数分为两类可得=+，不断将组合数上标为的项进行如此分类即得公式1。
公式2 .+.+.+……+= 此公式可由下面方法推得。
从放在一个盒中的m个不同黑球与n个不同白球中任取出k的球的方法种数为，将取出的k个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个….k个共k+1类，取法种数分别为.，.，.，……，即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。
例1 =1×2+2×3+3×4+….. +n×(n+1) 求
解：1×2+2×3+3×4+….. +n×(n+1)= 2(+++…+)
∴=2=
例2 求=12+22+32+……+n2
解：∵= ∴2=n2+n
∴2（+++…+）=+
∴2=+ 得=+
整理得=
例3求=13+23+33+……+n3
解：∵= ∴6=n3+3n2+2n
6（+++…+）=+3+2
∴6=+3+2 解出并整理得
= 用类似的方法可求出an=n4，an=n5，…的和。
例4 一盒内有大小相同的黑球M个，白球N个，从中任取m个球（m≤M，m≤N），求含有白球的个数ξ的数学期望。
解：由题意ξ的所有可能取值为0，1，2，….，m。分布列为：
ξ 0 1 2 …… m-1 m
p ……
∴Eξ=（+2+…+（m-1）+m）
Eξ=（++…++）
Eξ=（++…++）(∵=)
∴Eξ===（此为超几何分布的数学期望）
二项式定理的应用：
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解：与已知的有一些差距，
练：
解：设，则
题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？
解：由条件知，即，，解得，由
，由题意，
则含有的项是第项,系数为。
练：求展开式中的系数？
解：，令,则
故的系数为。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
解：，令，得.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式展开式中的有理项？
解：，令,()得，
所以当时，，，
当时，，。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若展开式中偶数项系数和为，求.
解：设展开式中各项系数依次设为
,则有①，,则有②
将①-②得：
有题意得，，。
练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。
解：，，解得
所以中间两个项分别为，，
题型六：最大系数，最大项；
例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。
练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。
练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于
例：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
解：由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有
例：在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，
故此答案为第4项，和第5项。
练：在的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为
题型七：含有三项变两项；
例：求当的展开式中的一次项的系数？
解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为
它的系数为。
解法②：
故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.
练：求式子的常数项？
解：，设第项为常数项，则，得,, .
题型八：两个二项式相乘；
例：
解：
.
练：
解：
.
练：
解：
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
解：
题型十：赋值法；
例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若
,则等于多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？
解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.
例：
解：
练：
解：
题型十一：整除性；
例：（02潍坊模拟）求证：能被7整除。
证明：
=
=
=49P+（）
又
=（7+1）
=
=7Q（Q）
能被7整除。
例：证明：能被64整除
证：
由于各项均能被64整除
题型十二：利用二项式定理求近似值
例15．求的近似值，使误差小于；
分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。
解：==
，
且第3项以后的绝对值都小于，
从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
==
小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。
作业：1、求的展开式；
解：原式==
=
=
=
2、计算；
解：原式=
3、（03全国）展开式中的系数是 ；
解：==
令则，从而可以得到的系数为：
，填
4、（02全国）的展开式中，项的系数是 ；
解：在展开式中，的来源有：
第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；
第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为
的系数应为：填。
5、（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ；
解：
上述式子展开后常数项只有一项，即
6、（00京改编）求（的展开式的中间项；
解：展开式的中间项为
即：。
当为奇数时，的展开式的中间项是和；
当为偶数时，的展开式的中间项是。
7、（00京改编）求的展开式中有理项共有 项；
解：
当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
8、（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
解：
要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为
9、求展开式中系数最大的项；
解：记第项系数为，设第项系数最大，则有
又，那么有
即
解得，系数最大的项为第3项和第4项。
（99全国）若，
则的值为 ；
解：
令，有，
令，有
故原式=
==
（04天津）若，
则 ；
解：，
令，有
令，有
故原式==
11设，
则 ；
解：
==0
