22.2 二次函数与一元二次方程同步练习

九上数学周周练 第22章 二次函数 22.2二次函数与一元二次方程　
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与坐标轴的交点个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
3．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（　　）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.06
0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）
x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
第2题图 第5题图 第6题图 第7题图
6．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
7．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．0＜x＜1 C． D．﹣1＜x＜2
8．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1
9．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A．a＜m＜n＜b B．m＜a＜b＜n C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
二．填空题（共10小题）
11．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为　 　．
12．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　 　．
13．已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　 　．
14．若二次函数y=ax2+4，当x分别取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值为　 　．
15．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是　 　．（只要求填写正确命题的序号）
16．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　 　．
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　 　．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　 　．
19．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是　 　．
20．若二次函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a（a≠1）的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　 　．
三．解答题（共6小题）
21．已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
22．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）该男生把铅球推出去多远？
23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
24．已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
26．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
　
九上数学周周练 第22章 二次函数 22.2二次函数与一元二次方程　
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与坐标轴的交点个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．
【解答】解：抛物线解析式y=﹣3x2﹣x+4，
令x=0，解得：y=4，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，得到﹣3x2﹣x+4=0，即3x2+x﹣4=0，
分解因式得：（3x+4）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣，x2=1，
∴抛物线与x轴的交点分别为（﹣，0），（1，0），
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．
　
2．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
【分析】关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．
【解答】解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
　
3．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（　　）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x=．
又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．
　
4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.06
0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】利用x=3.24，ax2+bx+c=0.02，而x=3.25，ax2+bx+c=0.03，则可判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x=3.24，ax2+bx+c=0.02，
x=3.25，ax2+bx+c=0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c=0，
即方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
　
5．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案．
【解答】解：由x2﹣x﹣2=0可得，x1=﹣1，x2=2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．
故选：C．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答．
　
6．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想求解是此类题目的特点．
　
7．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．0＜x＜1 C． D．﹣1＜x＜2
【分析】先根据抛物线与x轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称性即可进行解答．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），
∴其对称轴方程为：x==，
∵抛物线与y轴的交点为（0，2），
∴此点关于对称轴的对称点横坐标为：2×=1，
∵0＜x＜1时函数的图象的纵坐标大于2，
∴当y＞2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能利用数形结合求出抛物线的对称轴是解答此题的关键．
　
8．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1
【分析】首先根据a确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论．
【解答】解：∵a=1＞0，
∴开口向上，
∵抛物线的对称轴为：x=﹣=﹣=，
二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，
无法确定x1与x2的正负情况，
∴当n＜0时，x1＜m＜x2，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；
当n＞0时，m＜x1 或m＞x2，故B，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键．
　
9．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴
解得6≤c≤14，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．
　
10．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A．a＜m＜n＜b B．m＜a＜b＜n C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
【分析】依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．
【解答】解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）=0
转化为（x﹣a）（x﹣b）=2，
方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=2的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，关键是运用数形结合的数学思想，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
　
二．填空题（共10小题）
11．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为　8　．
【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．
　
12．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　x=﹣1　．
【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=．
　
13．已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　k≥﹣且k≠0　．
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7=0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．
【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，不仅要熟悉二次函数与x轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式．
　
14．若二次函数y=ax2+4，当x分别取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值为　4　．
【分析】先判断出二次函数y=ax2+4的对称轴为y轴，然后根据二次函数的对称性确定出x1+x2=0，然后代入函数解析式计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+4的对称轴为y轴，x分别取x1，x2时函数值相等，
∴x1+x2=0，
∴当x取x1+x2时，函数值y=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质并求出x1+x2=0是解题的关键．
　
15．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是　①③　．（只要求填写正确命题的序号）
【分析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣=﹣1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0）；由a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，根据结论判断即可．
【解答】解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；
﹣=﹣1，
∴b=2a，∴②错误；
根据图象关于对称轴x=﹣1对称，
与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；
∵b=2a＞0，
∴﹣b＜0，
∵a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
∴a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，
∴④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．
　
16．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　y=x2﹣2x﹣3　．
【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，
然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．
【解答】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A点坐标为（﹣1，0），
解方程组得或，
∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C（1，﹣4），
设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．
故答案为y=x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
　
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　0　．
【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．
　
18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　8　．
【分析】由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．
【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=2对称，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB=6﹣（﹣2）=8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．
　
19．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是　＜a＜﹣2　．
【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根
∴△=（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设f（x）=ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）=a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键．
　
20．若二次函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a（a≠1）的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　﹣1或2　．
【分析】直接利用抛物线与x轴只有一个交点?b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，
解得：a1=﹣1，a2=2，
故答案为：﹣1或2．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，记住△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
　
三．解答题（共6小题）
21．已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；
（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3
=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1，
所以顶点C的坐标是（2，﹣1），
当x＜2时，y随x的增大而减少；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）解方程x2﹣4x+3=0
得：x1=3，x2=1，
即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），
过C作CD⊥AB于D，
∵AB=2，CD=1，
∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
　
22．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）该男生把铅球推出去多远？
【分析】（1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（0，2）代入即可求解．
（2）由（1）求得的函数解析式，令y=0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
由于顶点坐标为（6，5），
∴y=a（x﹣6）2+5．
又A（0，2）在抛物线上，
∴2=62?a+5，
解得：a=﹣．
∴二次函数的解析式为y=﹣（x﹣6）2+5，
整理得：y=﹣x2+x+2．
（2）当y=0时，﹣x2+x+2=0．
x=6+2，x=6﹣2（不合题意，舍去）．
∴x=6+2≈13.75（米）．
答：该同学把铅球抛出13.75米．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是函数解析式的求法．
　
23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；
（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；
（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；
解得x1=2，x2=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．
　
24．已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
【分析】（1）因为二次函数y=x2﹣2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2﹣2ax+b，所以，把点A（1，1）代入方程求解即可；
（2）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数．
【解答】解：（1）∵点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b的图象上，
∴把A点代入y=x2﹣2ax+b中 得b=2a，
∴b=2a（3分）
（2）∵方程x2﹣2ax+b=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a2﹣4b=4a2﹣8a=0
解得a=0，或a=2，
当a=0时，函数解析式为y=x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0），
当a=2时，函数解析式为y=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（2，0），
故这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
　
25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2﹣2mx﹣2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x﹣10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式．
【解答】解：（1）当m=0时，该函数的零点为和；
（2）令y=0，得△=（﹣2m）2﹣4[﹣2（m+3）]=4（m+1）2+20＞0
∴无论m取何值，方程x2﹣2mx﹣2（m+3）=0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有x1+x2=2m，x1x2=﹣2（m+3）
由，
解得m=1．
∴函数的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
令y=0，解得x1=﹣2，x2=4
∴A（﹣2，0），B（4，0）
作点B关于直线y=x﹣10的对称点B′，连接AB′，
则AB’与直线y=x﹣10的交点就是满足条件的M点．
易求得直线y=x﹣10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，﹣10）．
连接CB′，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B′CD=∠BCD=45°
∴∠BCB′=90°
即B′（10，﹣6）
设直线AB′的解析式为y=kx+b，则，
解得：k=﹣，b=﹣1；
∴直线AB′的解析式为，
即AM的解析式为．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点方程有两个实数根的证明及动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
　
26．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
【分析】（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．
【解答】解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，
由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），
∴对称轴为直线x=﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），
令x=0，得y=﹣5a，
∴C点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．
S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC
=（DE+OA）?OE﹣DE?CE﹣OA?OC
=（2+5）?9a﹣×2×4a﹣×5×5a
=15a，
而S△ABC=AB?OC=×6×5a=15a，
∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1；
（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
设对称轴x=﹣2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，
∵a＞0，
∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法．