2.1.5__第2课时__点到直线的距离公式

第2课时 点到直线的距离公式
仓库
铁路
点到直线的距离
l
问题探究一
平行四边形的面积公式是什么？
如图　如何计算平行四边形ABCD的面积？
什么量可以先求出来？
底乘以高
由两点间的距离公式可求得
只要知道ＡＢ边上的高，即点Ｄ（或点Ｃ）到直线ＡＢ的距离，就能求出四边形的面积．
如何计算点Ｄ(２，４)到直线AB:5x+4y-7=0的距离呢？
过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，则点Ｄ到直线ＡＢ的距离就是线段ＤＥ的长．
方法一：通过求点Ｅ的坐标，用两点间的距离公式求ＤＥ．
１．由ＤＥ⊥ＡＢ，可知ＤＥ所在直线的斜率为：
２．求出ＤＥ的方程即4x-5y+12=0.
3.由ＡＢ和ＤＥ所在直线的方程
4．用两点间的距离公式，求出点Ｄ到ＡＢ的距离
方法一的不足：运算量较大．
下面我们通过构造三角形，利用面积关系求出点Ｄ到ＡＢ的距离．
一般地，对于直线
公式的推导过程
PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知
公式的推导过程
由此我们得到，
的距离
点到直线的距离公式
点 到直线
点到直线的距离公式
注： ?在使用该公式 前，须将直线方程化为一般式．　　
? A=0或B=0，此公式也成立，
但当A=0或B=0时一般不用此
公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
②如图，直线3x=2平行于y轴，
用公式验证，结果怎样？
求下列点到直线的距离：
(1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y
练习
例2: 用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.
解：在△ABC中，AB=AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE ⊥ AC于E，CF ⊥AB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.
设A(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB方
程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P(x0,0),
使x0>a,
则点P到直线AB，AC的距离分别为
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
两平行线间的距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
?直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
P
Q
思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为
对应相同的形式。
（两平行线间
的距离公式）
求下列两条平行直线的距离：
(1) 3x-2y-1=0,3x-2y+6=0
(2) x+2y=0,2x+4y-7=0
练习
反馈练习：
（ ）
（ ）
D
B
（ ）
（ ）
D
A
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理
为对应相等的形式。
不是拥有幸福的人才幸福，而是知道幸福的人才幸福。幸福不在于享受了多少，而在于感受了多少。