第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
基础导练
1．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
5．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.计算：．
7．先化简，再求值． 其中a＝tan60°－2sin30°．
能力提升
8．AC是的直径，PA，PB是的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．求（1）的半径； （2）的值．
9．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处?（结果精确到个位．参考数据：）
参考答案
C 2．D 3．A 4．A 5．C
6．
7．原式，
当时，原式．
8．解：（1）连接．设交于．
是的切线．
，，．
，．．
在和中，．
，即的半径为．
（2）在中，．
．
9．解：因为
作于，
在中，
∴
在中，
∴
∴
∴（分钟）
答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
基础导练
1．如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．
2．九（3）班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：
（1）在放风筝的点处安置测倾器，测得风筝的仰角；
（2）根据手中剩余线的长度出风筝线的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度米．
根据测量数据，计算出风筝的高度约为 米．（精确到0.1米，）
3. 如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
4．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
5.如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60o，则这条钢缆在电
线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
6．计算：=______．
7．计算：＝ .
8．计算：＝
能力提升
9．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =?．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
10．如图所示，．两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：）
参考答案
1． 2．16.1 3．3.5 4． 5． 6．
7．6 8．4
9．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，
∴ED ==12．
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE?=?=，
∴OD =13（m）．
（2）OE==．
∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．
10．解：过点作，是垂足，
则，，
，，
，
，
，
，
答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
课件23张PPT。第二十八章 锐角三角函数九年级数学人教版·下册28.1 锐角三角函数授课人：XXXX一、新课引入
二、新课讲解
问题 :为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？二、新课讲解
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的边
等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，
也就是说，需要准备70m长的水管．二、新课讲解
在上面的问题中，如果出水口的高度为50m， 那么需要准备多长的水管？结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .ABC50m35mB 'C 'AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100(m)二、新课讲解
二、新课讲解
二、新课讲解
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即 注意：
“sinA”是一个完整的符号，
不要误解成“sin×A”. 正弦的表示：
sinA 、sin39 °、sinβ（省去角的符号）sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号） 二、新课讲解
二、新课讲解
二、新课讲解
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A
的邻边与斜边的比叫做锐角∠A的余弦，记
作cosA，即 锐角A的对边与邻边的比叫做锐
角∠A的正切，记作tanA，即 二、新课讲解
例2二、新课讲解
二、新课讲解
二、新课讲解
用计算器求锐角三角函数的值.例3 求 的值.二、新课讲解
二、新课讲解
三、归纳小结
四、强化训练
1.判断对错:√×√××四、强化训练
3.在Rt△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝______
4．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC的长是_______
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大 100倍，则sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定C四、强化训练
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求∠A的四个三角函数．解:如图所示,在Rt△ABC中,
因此五、布置作业
课本P68练习、习题28.1本课结束课件14张PPT。第二十八章 锐角三角函数九年级数学人教版·下册28.2.1 解直角三角形授课人：XXXX一、新课引入
根据以上条件,你能求出塔身中心线与垂直中心线的夹角吗？ 如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.探讨比萨斜塔倾斜角的问题． 5.254.5一、新课引入
一个直角三角形有几个元素？(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:sinA＝cosA＝tanA＝有三条边和三个角，其中有一个角为直角锐角三角函数它们之间有何关系？一、新课引入
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。1二、新课讲解
在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?
知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?思考与探索二、新课讲解
在Rt△ABC中,（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这三个角的其他元素吗？
A你发现了什么BC∠B AC BC∠A ∠B AB一角一边两边两角 （3）根据∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元 素吗?不能二、新课讲解
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形解直角三角形的依据二、新课讲解
?二、新课讲解
三、归纳小结
四、强化训练
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角
C、已知两边 D、已知两角
2、Rt△ABC中， ∠C=90°,若sinA= ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．D8四、强化训练
3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别为
∠A 、∠B、 ∠C的对边.根据已知条件，
解直角三角形.(1)c=8，∠A =60°；(4)a=1， ∠B=30°.五、布置作业
课本P76练习本课结束课件16张PPT。第二十八章 锐角三角函数九年级数学人教版·下册28.2.2 解直角三角形应用举例授课人：XXXX一、新课引入
二、新课讲解
二、新课讲解
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远距离P点约2051km.二、新课讲解
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？仰角水平线俯角二、新课讲解
在Rt△ABC中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°二、新课讲解
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.30°60°二、新课讲解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海里）解析：首先根据题意得出∠APC=90°-65°=25°，再利用解直角三角形求出即可.解：如图，在Rt△APC中，∠APC=90°-65°=25°∴PC=PA?cos∠APC≈80×0.91=72.505在Rt△BPC中，∠B=34°答：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里．二、新课讲解
例4 如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m）●●解析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角α的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长.二、新课讲解
解：用α 表示坡角的大小，由题意可得
因此α ≈26.57° 在Rt△ABC中, ∠B =90°, ∠A = 26.57°, AC =240 ,
因此 BC = 240 ×sin26.57° ≈107.3（m）
答：这座山坡的坡角约为26.57°,小刚上升了约107.3 m．二、新课讲解
例5 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角三、归纳小结
四、强化训练
1、如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=______米.
2、如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100四、强化训练
解：依题意可知，在Rt?ADC中所以树高为：20.49+1.72=22.21五、布置作业
课本P77练习、习题28.2本课结束第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
基础导练
1． （ ）
A． B． C． D．
2． 直角三角形两锐角的正切函数的积为 （ ）
A．2 B．1 C． D．
在△ABC中,∠C=90°，AC=2，BC=1，那么cosB= （ ）
A． B． C． D．
能力提升
4．在△ABC中，CD⊥AB于D．则sin∠ACD=_______．
5．在△ABC中，∠C=90°，设AC=b．若b等于斜边中线的，则△ABC的最小角的正弦=________，较大锐角的正切=______．
6． 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA是方程5x2-14x+8=0的一个根,求sinA,tanA．
7、等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底边的夹角的正弦值为，求该直角三角形的面积．
（1）求边长为8，一内角为120°的菱形的面积．
（2）在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，AB=2，求AC的长．
参考答案
1．C 2．B 3．C 4． 5．
6．解：∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一个根
则5sin2A-14sinA+8=0
∴sinA=，sinA=2（舍去）
∴tanA=．
7． 8．（1）32 （2）2
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
基础导练
如图，由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基出地平面20米（即BC为20米）塔身AB的高为 （ ）
A.60米 B.40米 C. 40米 D. 20米
2.如图，一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行，稍后到达B点,这时仰角为45°，1分钟后，飞机到达A点，仰角30°，则飞机从B到A的速度约为 （ ）
A.1461米/分 B.1462米/分 C.1463米/分 D.1464米/分
3. 如图所示，河对岸有水塔CD，今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD约为 （ ）
A.25.3m B.26.3m C.27.3m D.28.3m
4. 如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°，再从B的正上方40米高层上A处测得C的仰角是45°，那么旗杆顶点C离地CD的高度是 （ ）
A.40+米 B.50+米 C. 60+米 D. 70+米
第4题图 第5题图
5. 如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角60°，竖直下降10米至D，测得A点俯角45°，那么峭壁的高是_____________米(精确到0.1米).
能力提升
6. 两山脚B、C相距1500米，在距山脚B500米处A点，测得山BD、CE的山顶D、E仰角分别为45°，30°，求两山的高(精确到1米).
7. 如图：山顶上有高为h的塔BC，从塔顶B测得地面上一点A的俯角是a，从塔底C测得A的俯角为b，求山高H.
参考答案
1. C 2. D 3. C 4. C
5.23.7
6. 500米,577米
7. 解：∵DA=(h+H)ctga,
DA=Hctgb
则Hctgb=hctga+Hctga
即H(ctgb-ctga)=hctga
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
基础导练
1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了500m，那么这山的高度是（ ）
A.230m B.240m C.250m D.260m
2. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数为（ ）
A.15° B.75° C.105° D.45°
为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米，在C点测得A点的仰角为30°，在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°，那么AB的高是（ ）
A.m B. m C.m D.m
.
第3题图 第4题图
4. 如图，一船向正北航行，看见正东有两个相距10海里的灯塔，船航行1小时后，B灯塔在船的东南方向，A灯塔在船的南偏东22°30′，则船的速度（精确到0.1海里/时，tan22°30′=0.4142）是（ ）
A.14.1海里/时 B.15.1海里/时 C.16.1海里/时 D.17.1海里/时
5. 一只船向正东航行，上午7时在灯塔A的正北C处，上午9时到达塔的北偏东60°B处，已知船的速度为每小时20千米，那么AB的距离是（ ）
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
6. 一只船向东航行，上午9点到一座灯塔的西南68海里处，上午11点到达这座灯塔的正南，这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)
能力提升
7. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶，上午10时在A处见灯塔P在正东，1小时后行至B处,观察灯塔P的方向是北60°东．求正午12时船行驶至C处距灯塔P的距离．(答案可带根号)
8. 如图：东西方向的海岸线上有A、B两码头，相距100 千米，由码头A测得海上船K在北偏东30°，由码头B测得船K在北偏西15°，求船K距海岸线AB的距离（已知tan75°=）．
参考答案
1. C 2. B 3. C 4. D 5. D
6.
7．海里
8．千米
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
基础导练
1．测得某坡面垂直高度为2m，水平宽度为4m，则坡度为（ ）
A. B. C. 2:1 D.1:2
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=，则a= ，c= ．
3、已知在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=，则底角∠B= ．
4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1∶，BE为3米，基面AD宽2米，求路基的高AE，基底的宽BC及坡角B的度数．（答案可带根号）
5．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝36°，∠NBC＝72°，那么从B处到灯塔C的距离是多少海里．
6．如图，王聪同学拿一把∠ACB＝30°的小型直角三角尺ABC目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A顺着30°角的邻边AC的方向确定河对岸岸边的一棵树M．然后，沿30°角的对边AB的方向前进到点B′，顺着斜边的方向看见M，并测得＝100 m，那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到1m)
能力提升
7．海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？
8．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点 A，以A为圆心、500 m为半径的圆形区域为居民区．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东 75°．已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
参考答案
1．D 2．10 20 3．30°
4．解：∵，
∴AE=3（米）．
∴BC=（2+6）（米）．
∴∠B=30°．
5．40海里．
6．河宽约173 m．
7．渔船没有触礁的危险．
8．输水路线不会穿过居民区．提示：过点A作MN的垂线，垂足为C，求AC．
