2018--2019学年九年级数学上册第四章图形的相似全章复习与巩固知识讲解及例题演练（新版）北师大版（含解析）

《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
要点二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　
要点诠释：　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
要点四、黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点五、射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴；
；
（射影定理）；
（等积）．
【典型例题】
类型一、相似三角形
1. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【答案与解析】
∵AC=a，BC=b，
∴AB=，
①当△ABC∽△BDC时，
,
即.
②当△ABC∽△CDB时，
，
即.
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，
再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且
相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.
【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.
举一反三
【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.
【答案】
（1）证明： A与C关于直线MN对称，
∴ACMN，∴∠COM=90°，
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B ，
又∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA ，
（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10 ，∴OC=5，
△COM∽△CBA，
∴，
∴OM=.
类型二、相似三角形的综合应用
3. 已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD?CE=CD?DE．
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=BD，
∵OE=OB，
∴OE=BD，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD?CE=CD?DE．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．
4. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90?，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD是AC的中线，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；
（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

【答案与解析】解： 设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x＜1，BC =，AD = 1－x．
在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2．
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴ ， 即 ，从而 ，
∴ ，0＜x＜1，
（1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x =，得 ．
（2）若BD是∠ABC的角平分线，则 ，得 ，解得 ，
∴ ．
（3）.
若，则有 3x2－10x + 6 = 0，解得 ∈（0，1），
∴ ，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题．
举一反三：
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8﹣CD）2，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD=．
∴，，
∴ .
5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．
【答案与解析】
（1）∵是等边三角形
∴
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴梯形是等腰梯形．
（2）在等边中，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ∴ ，
∴ ，
∴.
【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.
举一反三
【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动．设BD=x, CE=y.
(l）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．
【答案】
解：(l）在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300,
∴∠ABC＝∠ACB=750,
∴∠ABD＝∠ACE=1050,
∵∠DAE=1050，
∴∠DAB+∠CAE=105°-30°=750,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,
∴∠CAE＝∠ADB，
∴△ADB∽△EAC.
∴，即.
(2）当α、β满足关系式时，函数关系式成立.
理由如下：要使，即成立，须且只须△ADB∽△EAC.
由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC.
又∠ADB+∠BAD=∠ABC=,
∠EAC+∠BAD=β-α,
所以只=β-α，须即.
类型三、黄金分割
6. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案与解析】
设正方形ABCD的边长为2， E为BC的中点，∴BE=1∴AE=，又B′E=BE=1，∴AB′=AE-B′E=-1，∵AB″=AB′=-1
∴AB″：AB=(-1):2∴点B″是线段AB的黄金分割点．
【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．
举一反三【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．
【答案】
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，∴△ADB、△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．