1.5 利用三角形全等测距离同步练习
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文档简介
5 利用三角形全等测距离
新知识记：
1.如图,山脚下有A,B两点,要测出A,B两点的距离的具体方案如下:
在地上取一个可以直接到达A,B点的点O,连接AO并延长到点C,使 ，连接BO并延长到点D,使 ,再连接 ,则AB= 。
2.利用三角形全等测距离,是利用了全等三角形 。
典例精析：
知识点 利用三角形全等测距离
【典例】如图,要在湖的两岸A,B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A,B两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计测量方案：
(1)画出测量图案。
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)。
(3)计算AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)。
【自主解答】
学霸提醒：
用全等三角形的判定定理解决实际问题的思路
1.把实际问题转化为数学问题,构造两个三角形,结合图形和题意写出已知、求证。
2.通过证明两个三角形全等,得到两条线段或两个角相等,解决问题。
【变式训练】(2018·自贡富顺月考)如图所示,在某市郊的空旷平地上有一个较大的土丘,请你应用所学的知识设计一种方案,计算出不能达到的A,B两点的距离.(只要求说明设计方案和这种方案设计的根据,并画出草图,不要求数据计算)。
达标训练：
知识点 利用三角形全等测距离
1.下列选项中,不是依据三角形全等知识解决问题的是（ ）
A.利用尺规作图,作一个角等于已知角
B.工人师傅用角尺平分任意角
C.利用卡钳测量内槽的宽
D.用放大镜观察蚂蚁的触角
2.如图,有一池塘,要测池塘两端A，B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和点B的点C,连接AC并延长至点D,使CD=CA,连接BC并延长至点E,使CE=CB,连接ED.若量出DE=58米,则A,B间的距离为（ ）
A.29米 B.58米 C.60米 D.116米
3.如图所示,赵刚站在楼顶B处看一烟囱,当看到烟囱顶A时,视线与水平方向成的角是45°,当看到烟囱底部D时,视线与水平方向成的角也是45°,如果楼高15米,那么烟囱大约高 米。
4.如图所示,施工队在沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边点E同时施工,从AC上取一点B,取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55o,要使点A,C,E成一直线,那么开挖点E离点B的距离如何求得?请你设计出解决方案。
5.如图,王强在河的一边,要测河面的一只船B与对岸码头A的距离,他的做法如下：
①在岸边确定一点C,使点C与点A,B在同一直线上;
②在AC的垂直方向画线段CD,取其中点O;
③画DF⊥CD,使点F,O,A在同一直线上;
④在线段DF上找一点E,使点E与点O,B共线。
他说测出线段EF的长就是船B与码头A的距离。他这样做有道理吗?为什么?
纠错园
某校初二(1)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A,B的距离,设计出如下方案:
如图,先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为A,B的距离。
阅读后回答下列问题:方案中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是 。
若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案是否成立?
解:方案中作BF⊥AB,印D⊥BF的的是使对角∠ABD=∠BDE=90°，由ASA说明△ABC≌△EDC，所以DE=AB,
若仪满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案不能成立。
【错因】 。
考题变式：
已知:如图,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再从点C观测,在BA延长线上找一点B',使∠ACB’=∠ACB,这时只要量出AB’的长,就知道AB的长,对吗?为什么?
母题变式:
【变式一】如图,A,B两建筑物位于河的两岸,为了测量它们之间的距离,可以沿河岸作一条直线MN,且使MN⊥AB于点B,在BN上截取BC=CD,过点D作DE⊥MN,使点A,C,E在同一直线上,则DE的长就是A,B两建筑物之间的距离,请说明理由。
【变式二】如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到A,B两点之间的距离,你能说明其中的道理吗?
【变式三】如图,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过点D作DE∥AB使点E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之
间的距离,请你说明道理。
参考答案及解析
新知识记
1. AO=CO BO= DO DC DO
2.对应边相等
典例精析
【典例】【自主解答】(1)如图
(2)在地面上找到可A以直接到达A,B的一点O,在AO的延长线上取一点C,使OC=OA,在BO的延D长线上取一点D,使OD=OB,连接CD,这时测出CD的长为a,则AB的长就是a。
(3)理由:由测量方案可得OC=OA,OD=OB,又因为∠COD=∠AOB,所以△COD≌△AOB
所以CD=AB=a,即测出CD的长为a,则AB的长就是a。
【变式训练】解:在地面上找个能同时到达A,B两点的点O,分别在AO，BO的延长线上取点C,D使 CO=AO,DO=BO,连接CD,只需量出CD的长度即为A,B两点的距离根据:在△AOB与△COD中, AO=CO
∠AOB=∠COD B0=DO，所以△AOB≌△COD,所以AB=CD，量出CD的长度即为A,B两点的距离
达标训练：
知识点 1.D 2.B 3.30
4.解:方案设计如图,延长BD到点F 使BD=DF=500米，过F作FG⊥ED的延长线于点G.因为∠ABD=145°所以∠CBD=35°。在△BED和△FGD中,∠EBD=∠F,BD=DF,∠EDB=∠GDF(对顶角相等),所以△BED≌△FGD(ASA),所以BE=FG(全等三角形的对应边相等)所以要求BE的长度可以测量GF的长度。
5.解:有道理
因为DF⊥CD,AC⊥CD,所以∠C=∠D=90°,因为点O为CD中点,所以CO=DO,在△ACO和△FDO中,∠C=∠D,CO=DO,∠AOC=∠DOF,所以△ACO≌△FDO(ASA),所以AO=FO,∠A∠F,在△ABO和△FEO中,∠A=∠F AO=FO,∠AOB=∠FOE,所以△ABO≌△FEO(ASA)所以EF=AB。
【纠错园】
方案中只要有条件BC=CD和∠ABC=∠EDC就可得到全等三角形,利用全等三角形的对应边相等,可得到AB=DE,所以方案仍然成立。
考题变式：
解:对。 理由如下:因为AC⊥AB,所以∠CAB=∠CAB′=90°,在△ABC和△AB’C中,因为∠ACB′=∠ACB,AC=AC,∠CAB=∠CAB′,所以△ABC≌△AB′C(ASA),所以AB′=AB.
【母题变式】
[变式一]解:因为AB⊥MN,所以∠ABC=90°,同理∠EDC=90°,所以∠ABC=∠EDC,
在△ABC和△EDC中,∠ABC= ∠EDC,BC=CD,∠BCA=∠DCE,所以△ACB≌△ECD(ASA),所以AB=DE.
[变式二]解:能
理由如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠ACD=90°,在△ACD和△ACB中, AC=AC,∠ACD=∠ACB,
DC=BC,所以△ACD≌△ACB(SAS)所以AB=AD
[变式三]解:如图,因为DE∥AB所以∠A=∠E,在△ABC和△EDC中,∠A=∠E ∠ACB=∠ECD,BC=CD,
所以△ABC≌△EDC(AAS),所以DE=AB,
即DE的长就是A,B之间的距离
新知识记：
1.如图,山脚下有A,B两点,要测出A,B两点的距离的具体方案如下:
在地上取一个可以直接到达A,B点的点O,连接AO并延长到点C,使 ，连接BO并延长到点D,使 ,再连接 ,则AB= 。
2.利用三角形全等测距离,是利用了全等三角形 。
典例精析：
知识点 利用三角形全等测距离
【典例】如图,要在湖的两岸A,B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A,B两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计测量方案：
(1)画出测量图案。
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)。
(3)计算AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)。
【自主解答】
学霸提醒：
用全等三角形的判定定理解决实际问题的思路
1.把实际问题转化为数学问题,构造两个三角形,结合图形和题意写出已知、求证。
2.通过证明两个三角形全等,得到两条线段或两个角相等,解决问题。
【变式训练】(2018·自贡富顺月考)如图所示,在某市郊的空旷平地上有一个较大的土丘,请你应用所学的知识设计一种方案,计算出不能达到的A,B两点的距离.(只要求说明设计方案和这种方案设计的根据,并画出草图,不要求数据计算)。
达标训练：
知识点 利用三角形全等测距离
1.下列选项中,不是依据三角形全等知识解决问题的是（ ）
A.利用尺规作图,作一个角等于已知角
B.工人师傅用角尺平分任意角
C.利用卡钳测量内槽的宽
D.用放大镜观察蚂蚁的触角
2.如图,有一池塘,要测池塘两端A，B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和点B的点C,连接AC并延长至点D,使CD=CA,连接BC并延长至点E,使CE=CB,连接ED.若量出DE=58米,则A,B间的距离为（ ）
A.29米 B.58米 C.60米 D.116米
3.如图所示,赵刚站在楼顶B处看一烟囱,当看到烟囱顶A时,视线与水平方向成的角是45°,当看到烟囱底部D时,视线与水平方向成的角也是45°,如果楼高15米,那么烟囱大约高 米。
4.如图所示,施工队在沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边点E同时施工,从AC上取一点B,取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55o,要使点A,C,E成一直线,那么开挖点E离点B的距离如何求得?请你设计出解决方案。
5.如图,王强在河的一边,要测河面的一只船B与对岸码头A的距离,他的做法如下：
①在岸边确定一点C,使点C与点A,B在同一直线上;
②在AC的垂直方向画线段CD,取其中点O;
③画DF⊥CD,使点F,O,A在同一直线上;
④在线段DF上找一点E,使点E与点O,B共线。
他说测出线段EF的长就是船B与码头A的距离。他这样做有道理吗?为什么?
纠错园
某校初二(1)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A,B的距离,设计出如下方案:
如图,先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为A,B的距离。
阅读后回答下列问题:方案中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是 。
若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案是否成立?
解:方案中作BF⊥AB,印D⊥BF的的是使对角∠ABD=∠BDE=90°，由ASA说明△ABC≌△EDC，所以DE=AB,
若仪满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案不能成立。
【错因】 。
考题变式：
已知:如图,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再从点C观测,在BA延长线上找一点B',使∠ACB’=∠ACB,这时只要量出AB’的长,就知道AB的长,对吗?为什么?
母题变式:
【变式一】如图,A,B两建筑物位于河的两岸,为了测量它们之间的距离,可以沿河岸作一条直线MN,且使MN⊥AB于点B,在BN上截取BC=CD,过点D作DE⊥MN,使点A,C,E在同一直线上,则DE的长就是A,B两建筑物之间的距离,请说明理由。
【变式二】如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到A,B两点之间的距离,你能说明其中的道理吗?
【变式三】如图,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过点D作DE∥AB使点E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之
间的距离,请你说明道理。
参考答案及解析
新知识记
1. AO=CO BO= DO DC DO
2.对应边相等
典例精析
【典例】【自主解答】(1)如图
(2)在地面上找到可A以直接到达A,B的一点O,在AO的延长线上取一点C,使OC=OA,在BO的延D长线上取一点D,使OD=OB,连接CD,这时测出CD的长为a,则AB的长就是a。
(3)理由:由测量方案可得OC=OA,OD=OB,又因为∠COD=∠AOB,所以△COD≌△AOB
所以CD=AB=a,即测出CD的长为a,则AB的长就是a。
【变式训练】解:在地面上找个能同时到达A,B两点的点O,分别在AO，BO的延长线上取点C,D使 CO=AO,DO=BO,连接CD,只需量出CD的长度即为A,B两点的距离根据:在△AOB与△COD中, AO=CO
∠AOB=∠COD B0=DO，所以△AOB≌△COD,所以AB=CD，量出CD的长度即为A,B两点的距离
达标训练：
知识点 1.D 2.B 3.30
4.解:方案设计如图,延长BD到点F 使BD=DF=500米，过F作FG⊥ED的延长线于点G.因为∠ABD=145°所以∠CBD=35°。在△BED和△FGD中,∠EBD=∠F,BD=DF,∠EDB=∠GDF(对顶角相等),所以△BED≌△FGD(ASA),所以BE=FG(全等三角形的对应边相等)所以要求BE的长度可以测量GF的长度。
5.解:有道理
因为DF⊥CD,AC⊥CD,所以∠C=∠D=90°,因为点O为CD中点,所以CO=DO,在△ACO和△FDO中,∠C=∠D,CO=DO,∠AOC=∠DOF,所以△ACO≌△FDO(ASA),所以AO=FO,∠A∠F,在△ABO和△FEO中,∠A=∠F AO=FO,∠AOB=∠FOE,所以△ABO≌△FEO(ASA)所以EF=AB。
【纠错园】
方案中只要有条件BC=CD和∠ABC=∠EDC就可得到全等三角形,利用全等三角形的对应边相等,可得到AB=DE,所以方案仍然成立。
考题变式：
解:对。 理由如下:因为AC⊥AB,所以∠CAB=∠CAB′=90°,在△ABC和△AB’C中,因为∠ACB′=∠ACB,AC=AC,∠CAB=∠CAB′,所以△ABC≌△AB′C(ASA),所以AB′=AB.
【母题变式】
[变式一]解:因为AB⊥MN,所以∠ABC=90°,同理∠EDC=90°,所以∠ABC=∠EDC,
在△ABC和△EDC中,∠ABC= ∠EDC,BC=CD,∠BCA=∠DCE,所以△ACB≌△ECD(ASA),所以AB=DE.
[变式二]解:能
理由如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠ACD=90°,在△ACD和△ACB中, AC=AC,∠ACD=∠ACB,
DC=BC,所以△ACD≌△ACB(SAS)所以AB=AD
[变式三]解:如图,因为DE∥AB所以∠A=∠E,在△ABC和△EDC中,∠A=∠E ∠ACB=∠ECD,BC=CD,
所以△ABC≌△EDC(AAS),所以DE=AB,
即DE的长就是A,B之间的距离