专题07 函数与方程-2018-2019学年高一数学单元检测（必修1）

（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
不等式，则
解得或
不等式的解集
故选
3．函数在上有唯一零点，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
4．若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值 (　　)
A． 大于0 B． 小于0 C． 等于0 D． 不能确定
【答案】D
【解析】
若函数在(－2，2)内有一个零点，且该零点是变号零点，
则，否则，，因此，
故选:D．
5．已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下对应值表，则函数在区间上的零点至少有（选最佳结果）（ ）
1
2
3
4
5
6
124.4
33
-74
24.5
-36.8
-122.6
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】
依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，
∴根据根的存在性定理可知，在区间（2，3）和（3，4）及（4，5）内至少含有一个零点，
故函数在区间[1，6]上的零点至少有3个，
故选：B．
6．若函数的唯一零点同时在区间，，内，则下列命题中正确的是（ ）
A． 函数在区间内有零点 B． 函数在区间或内有零点
C． 函数在区间内无零点 D． 函数在区间内无零点
【答案】D
7．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4 D． 1.5
【答案】C
【解析】
由表格中数据可得，
由零点存在定理可得根在区间内，
又和精确到小数点后面一位
所以符合要求，故选C.
8．函数的零点所在的一个区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
9．已知函数在区间上的图象是连续的曲线，若在区间上是增函数，则(　　)
A． 在上一定有零点 B． 在上一定没有零点
C． 在上至少有一个零点 D． 在上至多有一个零点
【答案】D
【解析】
若，则在上有一个零点
若，则在上没有零点
故选
10．若关于x的方程的一个根在区间内，另一个根在区间内，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，
∵方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），
∴，∴，解得：﹣4＜m＜﹣2，
即实数m的取值范围是（﹣4，﹣2）；
故选：A．
11．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．函数（其中）零点的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】C
【解析】
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．方程的实数解的个数为__________．
【答案】2
【解析】
由下图可知与有两个交点，

∴有个解．
14．若函数则__________；使得方程有且仅有两解的实数的取值范围为__________．
【答案】 0. .
【解析】
由题意，函数，则，
要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，如图所示，
结合图象可知，要使的方程有且仅有两解，只需，
即实数的取值范围是.
15．函数的零点个数是________．
【答案】2
16．函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．
①当时，y的取值范围是______；
②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．
【答案】
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题10分) 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，求实数b的取值范围．
【答案】
【解析】
由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0所以b的取值范围是018．(本小题12分)已知函数．
（）求函数的零点．
（）求函数在区间上的最大值和最小值．
（）已知，求满足不等式的的取值范围．
【答案】（）和；（），；（）．
【解析】
（），
∴的零点为和．
（），
，
∴，
即，
∴，
∴或
19．(本小题12分)已知函数.
（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；
（2）讨论的零点个数.
【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析.
【解析】
解法一：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数.
（Ⅱ）因为
所以 ，
因为函数在上单调递增且值域为
所以， 在上单调递减且值域为
所以，当或时，函数无零点；
当时，函数有唯一零点.
解法二：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数.
证明如下:
依题意有函数定义域为R，
又
=
即.
所以，函数为奇函数.
20．(本小题12分)设函数，且，若的图象过点．
（1）求的值及的零点．
（2）求不等式的解集．
【答案】(1);.(2).
【解析】
（1）∵经过点，
即，
又∵，
∴，
∴时，
解得，零点为．
（2）∵
即，
∴，
∴，
∴，
∴不等式解集为．
21．(本小题12分)设函数（且）．
（）若，求函数的零点．
（）若， 在上的最大值与最小值互为相反数，求的值．
【答案】（1）；（2）.
（）∵，
∴函数在区间上单调递增，
∴， ，
∴由题意得，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(本小题12分)已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间和上各有一个零点，求的取值范围；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1);(2).
（Ⅱ）要使在区间上恒成立，需满足
或或
解得：无解或 或 无解 所以
所以的取值范围为：.