专题07 函数与方程-2018-2019学年高一数学单元巩固练习（必修1）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数 的零点所在的区间为（　　）
A． （﹣1，0） B． （1，2） C． （0，1） D． （2，3）
【答案】B
2．函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵的定义域为，
∴．
又函数和在上单调递增，
∴在上单调递增．
又，，
由零点存在性定理知函数在上有唯一零点．
故选．
3．函数的零点所在的大致区间为( )
A． B． C． D．
【答案】B
4．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在区间上有解，转化为存在一个使得，设，即是的最大值，的最大值，当时取得，故选D
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A． {1,3} B． {－3，－1,1,3}
C． {2－，1,3} D． {－2－，1,3}
【答案】D
令，当时，，解得，当时，，解得
∴函数的零点的集合为.
故选：D．
6．若函数有三个不同零点，则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当时，易知函数恒大于0，故没有零点；
当时，将零点看作与的交点，作出两函数的简图：
当时必有一个交点，所以当时需要有两个交点，
假设时两函数至多有一个交点，则恒成立，分离参数：恒成立，
设，则，由导函数性质，当时函数单调递减，
当时函数单调递增，所以，所以，
由于函数需要有两个交点，所以.
故选A.
7．若函数的零点为，若,则的值满足（ ）
A． B． C． D． 的符号不确定
【答案】B
8．设函数，给出下列四个命题：
①当时，是奇函数；
②当，时，方程只有一个实数根；
③函数可能是上的偶函数；
④方程最多有两个实根.
其中正确的命题是（ ）
A． ①② B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
【答案】A
③若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误
④当，时，方程有三个实根：，
因此，方程最多有两个实根错误
综上所述，正确的命题有①②
故选
9．已知函数，则方程在内方程的根的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】D
【解析】
画出函数图象，如图，
10．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】
由得，在同一坐标系中作出的图象和直线，如图，可知它们有两个交点，即有两个零点．
故选B．
11．设函数，，若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
易知f(x)是增函数，g（x）在上也是增函数，
由于，，所以0又，，所以1所以，，据此可知g(a)<0本题选择B选项.
12．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
由图可得：当时，满足条件；由时与相切得： 0时，满足条件；故，故选：D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数的零点个数为________．
【答案】2
14．已知函数，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．
【答案】3
【解析】
由已知当x≤0时f（x）=﹣x2+bx+c，
由待定系数得：解得c=﹣2，b=﹣4；
故f（x）=，令f（x）+x=0，
分别解之得x1=2，x2=﹣1，x3=﹣2，即函数共有3个零点．
故答案为：3．
15．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】
作出函数的图象，、
如图所示，
因为有三个零点，所以，解得，
即实数的取值范围是．
16．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】 (1,4)
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题10分）已知，，．
（1）求的定义域和解析式；
（2）试讨论方程根的个数．
【答案】（1），；（2）当或时，方程有一个实数根；当时，方程有两个实数根；当时方程没有实数根.

（2）
①当时，直线与函数图象有且仅有一个公共点；
②当时，直线与函数图象有两个公共点；
③当时，直线与函数图象没有一个公共点
由此可得：当时，方程有且仅有一个实数根；
当时，方程有且仅有两个实数根；
当时，方程有0个实数根．
18．（本小题12分）已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
【答案】
【解析】
设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别
在区间（﹣1，0）和（1，2）内，
则 ，可得 ．
解得，
∴m 的取值范围为 ．
19．（本小题12分）已知二次函数的最小值为3，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若偶函数（其中），那么，在区间上是否存在零点？请说明理由．
【答案】（1）（2）存在.
20．（本小题12分）已知函数, .
(1)若函数恰有两个不相同的零点，求实数的值;
(2)记为函数的所有零点之和，当时，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由得，函数有两不同的零点等价于函数的图像与直线有两不同的交点，在同一坐标系中，作函数和直线的图像。
如图所示：
由图可知，当且仅当时，直线与函数的图像有两不同的交点，
即函数 有两不同的零点，实数
（另解：可分段讨论得出实数的值）
21．（本小题12分）对于函数,若存在实数,使=成立,则称为的不动点.
（1）当时,求的不动点；
（2）若对于任意实数,函数恒有两个不相同的不动点,求的取值范围
【答案】（1）和2；（2）（0,2）.
【解析】
⑴由题义
整理得,解方程得
即的不动点为-1和2．
⑵由=得
如此方程有两解,则有△=
把看作是关于的二次函数,则有
解得即为所求．
22．（本小题12分）如图所示，定义域为上的函数是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程有三个不同解，求的取值范围；
（3）若，求x的取值集合.
【答案】（1）.;（2）;（3）.
②当时，函数是二次函数，设其解析式为，
∵点在函数图象上，
∴
解得
综上.
（3）当时，由得
解得 ；
当时，由得，
整理得
解得或（舍去）
综上得满足的的取值集合是.