专题08 函数模型与应用-2018-2019学年高一数学单元检测（必修1）

（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．甲、乙、丙.丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（ ）
A． 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B． 丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C． 丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D． 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
【答案】A
【解析】由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域；故选A.
2. 甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，甲获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中
A．甲刚好盈亏平衡 B．甲盈利1元
C．甲盈利9元 D．甲亏本1.1元
【答案】B
3. 如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4.甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）
A．40万元 B．60万元 C．120万元 D．140万元
【答案】C
【解析】根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．
解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，
乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，
共获利40+80=120万，
故选：C
5. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为（ ）
A．3000元 B．3800元 C．3818元 D．5600元
【答案】B
6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据函数的图像知，选项D中函数的函数值随着自变量的变化增加的比较快，不符合题意.故选D.
7．某工厂从1976年的年产值200万元增加到40年后2016年的1000万元，假设每年产值增长率相同，则每年年产值增长率是（为很小的正数时，）
（A） 3% （B） 4% （C） 5% （D） 6%
【答案】B
【解析】设每年的年产值增长率是x，由题意可得：，
则
8．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
【答案】D
【解析】
试题分析：由表中数据可知函数值都是大于0，并且近似，函数是单调递增函数，而且函数增加的速度越来越快，符合指数函数的类型，近似于，选D.
9.李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为亩，圆周率按近似计算）
A. 步、步 B. 步、步 C. 步、步 D. 步、步
【答案】B
10. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0．4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0．5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0．7883元．下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有
参考数据：0．4883元/度2880度=1406．30元，
0．5383元/度(4800-2880)度+1406．30元=2439．84元．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B．
11. 某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（ ）
A．600元 B．50﹪ C．－1 D．＋1．
【答案】C
【解析】设这6年间平均每年的增长率是，则,解得=，即．
12.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系:,有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过;
③浮萍从蔓延到需要经过1．5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到、、所经过的时间
分别为、、，则．
其中正确的是 （ ）
A．①② B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②⑤
【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．
【答案】300
【解析】设计算机价格平均每年下降，由题意可得年后的价格约为 （元），故答案为.
14. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为元，每桶水的进价是元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.
请根据以上数据分析，这个经营部定价在 元/桶才能获得最大利润.
【答案】.
【解析】设每桶水的价格为元，公司日利润元，则：,∵，∴当时函数有最大值，因此，每桶水的价格为元，公司日利润最大．
15．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系为自然对数的底数，为常数)．若该食品在0 ℃时的保鲜时间是100小时，在15 ℃时的保鲜时间是10小时，则该食品在30 ℃时的保鲜时间是__________小时.
【答案】 1
16. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【解析】∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，
∴，
当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）某公司经过测算投资百万元，投资项目与产生的经济效益之间满足：，投资项目产生的经济效益之间满足：．
（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？
（2）投资边际效应函数，当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？
【答案】（1）投资项目4百万，投资项目6百万，（2）投资项目350万元，投资项目550万元．
【解析】
试题分析：（1）根据题意，建立收益函数关系式：投资项目x百万，投资项目10-x百万，则，根据二次函数最值求法得投资项目4百万，投资项目6百万，收益总额最大．（2）由题意得不等式：，解得，因此投资项目350万元，投资项目550万元．
试题解析：解：（1），即投资项目4百万，投资项目6百万，收益总额最大．
（2），解得，投资项目350万元，同理可得，应投资项目550万元．
18. （本小题满分12分）某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品
（百台），其总成本为万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：
（Ⅰ）要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时盈利最大？
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）600.
试题解析：
解：依题意得，设利润函数为，则，
所以 2分
（Ⅰ）要使工厂有盈利，则有f（x)＞0，因为
f（x)＞0?， 4分
??
?或， 6分
即. 7分
所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． 8分
（Ⅱ）当时，
故当x＝6时，f（x)有最大值4.5. 10分
而当x＞7时，.
所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． 12分
19. （本小题满分12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
【答案】（1）P＝；（2）5850．
【解析】
试题分析：（1）由题意单价P是关于x的分段函数。（2）先写出利润关于订购量x的分段函数再计算x=450时的利润.
20．（本小题满分12分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气的含药量（毫克）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米空气的含药量降到0．25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到进教室？
【答案】（1）（2）至少需要经过0.6小时后，学生才能回到进教室
故
（2）显然，设，
得
，
故从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到进教室。
21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）
【答案】（1）；
（2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为（2分）
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
．（4分）
即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）
22. （本小题满分12分）大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件，为获得更大的利润，现将饰品售价调整为（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月饰品销售为（件），月利润为（元）.
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
（3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？
【答案】（1）；（2）当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）销售价格控制在55元到70元之间才能使每月利润不少于6000元．
【解析】
试题分析：（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
试题解析：（1）由题意可得，．
（3）由题意，如图，令，
即，，
解得：，，，
，
故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．