专题07力的合成与分解重、难点通关学案新人教版必修1

专题07 力的合成与分解
重难点1 力的合成
一、力的合成
1．合力与分力
当一个物体受到几个力的共同作用时，我们常常可以求出这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做分力．
2．力的合成
（1）定义：求几个力的合力的过程叫做力的合成．
（2）平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向．
如图所示，F表示F1与F2的合力．
二、共点力
1．定义：如果几个力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力．
2．力的合成的平行四边形定则，只适用于共点力．
[知识深化]　合力与分力的关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大．
（1）两分力同向（θ＝0°）时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向．
（2）两分力反向（θ＝180°）时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同．
（3）合力的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
合力可以大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力．
三、合力的计算方法
1．作图法（如图所示）
―→―→―→用量角器量F与F1（或F2）的夹角
2．计算法
（1）两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向．
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的同向．
（2）两分力不共线时：
可以根据平行四边形定则作出力的示意图，然后由几何关系求解对角线，其长度即为合力大小．以下为两种特殊情况：
①相互垂直的两个力的合成（即α＝90°）：F＝，F与F1的夹角的正切值tan β＝，如图所示．
②两个等大的力的合成：平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可解得F合＝2Fcos，如图所示．
若α＝120°，则合力大小等于分力大小（如图所示）．
【典例精析】
【例1】杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图所示．挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
【参考答案】5.2×104 N　方向竖直向下
方法二：计算法（如图乙所示）
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC.考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N.
【总结提升】
1．作图法求合力时，各个力的图示必须采用同一标度，并且所选力的标度的比例要适当．
2．平行四边形定则是矢量运算的通用法则，适用于任何矢量的运算．
【例2】如图所示，表示五个共点力的有向线段恰分别构成正六边形的两条邻边和三条对角线．已知F1＝10 N，这五个共点力的合力大小为
A．0 B．30 N C．60 N D．90 N
【参考答案】C
【精准解析】先把F1、F4合成，则F14＝F3，再把F2、F5合成，则F25＝F3，由几何关系可知F3＝2F1＝20 N，所以F合＝3F3＝60 N.
【总结提升】
多力合成的方法
1．多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则．具体做法是先任选两个分力求出它们的合力，用求得的结果再与第三个分力求合力，直到将所有分力的合力求完．
2．求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
（1）将共线的分力合成（方向相同或相反）；
（2）将相互垂直的分力合成．
（3）两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们的夹角的角平分线方向．
1．（合力大小与夹角的关系）关于两个大小不变的共点力F1、F2与其合力F的关系，下列说法中正确的是
A．F大小随F1、F2间夹角的增大而增大
B．F大小随F1、F2间夹角的增大而减小
C．F大小一定小于F1、F2中最大者
D．F大小不能小于F1、F2中最小者
【答案】B
2．（合力大小范围）两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝8 N，它们的合力大小不可能等于
A．9 N B．25 N C．8 N D．21 N
【答案】B
【解析】F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7 N≤F≤23 N，不在此范围的是25 N，应选择B项．
3．（多个力的合成）如图所示，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是
【答案】C
4．（简单的共点力的平衡问题）（多选）如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则
A．两绳对日光灯拉力的合力大小为G B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小分别为G和G D．两绳的拉力大小分别为和
【答案】AC
5．（两个力的合成）物体只受两个力F1和F2的作用，F1＝30 N，方向水平向左，F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F.
【答案】50 N，方向与F1的夹角成53°斜向左下方
【解析】解法一　作图法
设定每单位长度表示10 N，则分别取3个单位长度、4个单位长度，
自O点引两条有向线段OF1和OF2分别表示力F1、F2.以OF1和OF2为两个邻边作平行四边形如图甲所示，则对角线OF就是所求的合力F.量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10 N＝50 N．用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，方向斜向左下方．
解法二　计算法
实际上是先运用数学知识，再回到物理情景中．在如图乙所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1间的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50 N，tan θ＝＝，θ为53°，合力F与F1的夹角为53°，方向斜向左下方．
重难点2 力的分解
一、力的分解
1．定义：已知一个力求它的分力的过程．
2．分解原则：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则．
3．分解依据：如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小和方向不同的分力．
二、矢量相加的法则
1．矢量：既有大小，又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量．
2．标量：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量．
3．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法（如图所示）．三角形定则与平行四边形定则在本质上是一样的．
[知识深化]
力的分解一般是按照力的效果进行分解或按照限制条件的分解或正交分解。
一、按力的效果分解的基本步骤
1．根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
2．根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
3．利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
二、有限制条件的力的分解
1．已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解（如图所示）．
2．已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解（如图所示）．
3．已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
（1）当Fsin θ（2）当F2＝Fsin θ时，有唯一解（如图乙）．
（3）当F2（4）当F2＞F时，有唯一解（如图丁）．
力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形，若能，即有解；若不能则无解．
三、正交分解法
1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．
2．正交分解法求合力的步骤：
（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
（2）正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋….
（4）求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
【典例精析】
【例1】如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，小球所受重力均为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则球1对挡板的压力F1＝________，对斜面压力F2＝________；球2对挡板压力F3＝______，对斜面压力F4＝________.
【参考答案】Gtan θ　　Gsin θ　Gcos θ
【精准解析】球1所受的重力有两个作用效果．第一，使小球欲沿水平方向推开挡板；第二，使小球压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此得两个分力的大小分别为
F1＝Gtan θ，F2＝.
球2所受重力G有两个作用效果．第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球压紧斜面．因此力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ.
【总结提升】
确定力的实际作用效果的技巧
若物体受三个力并处于平衡状态，确定其中一个力的实际作用效果时，可先作出物体所受的三个力的示意图，其中一个力的实际作用效果的方向一定与其余两个力的合力反向．
【例2】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
【参考答案】38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
【精准解析】本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．
如图甲，建立直角坐标系，
把各个力分解到这两个坐标轴上，
并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
【总结提升】
1．坐标轴的选取原则：坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
（1）使尽量多的力处在坐标轴上．
（2）尽量使某一轴上各分力的合力为零．
2．正交分解法的适用情况：适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．
1．（按效果分解力）为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，其主要目的是
A．减小过桥车辆受到的摩擦力 B．减小过桥车辆的重力
C．减小过桥车辆对引桥面的压力 D．减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力
【答案】D
2．（力的最小值问题）如图所示，力F作用于物体的O点．现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为
A．F1＝Fsin α B．F1＝Ftan α
C．F1＝F D．F1【答案】A
【解析】利用矢量图形法．根据力的三角形定则，作F1、F与合力F合的示意图，如图所示．在F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′线上滑动，由图可知，当F1与OO′即F合垂直时，F1有最小值，其值为F1＝Fsin α.
3．（力的正交分解法）（多选）如图所示，放在水平面上的物体A用轻绳通过光滑定滑轮连接另一物体B并静止，这时A受到水平面的支持力为FN，摩擦力为Ff，若把A水平向右移动一些后，A仍静止，则
A．FN将增大 B．Ff将增大
C．轻绳拉力将减小 D．物体A所受合力将增大
【答案】AB
4．（按力的效果分解力）人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把木桩劈开．如图15所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于
A．FN＝ B．FN＝ C．FN＝ D．FN＝
【答案】C