【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§3.2《用频率估计概率》（原题卷）
一.选择题：（每小题5分 共25分）
1.下列试验能用编号为“l～6”卡片(均匀)搅匀作为替代试验的有( )
①抛掷四面体 ②抛掷两枚硬币 ③抛掷一枚骰子
④在“黑桃5一黑桃10'中任抽一张牌 ⑤转四等分的圆转盘
A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个
2. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )
A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个
3. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是( )
A. 0.96 B. 0.95 C. 0.94 D. 0.90
4.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）
A. 口袋中装入10个小球，其中只有两个红球
B. 装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球
C. 装入红球5个，白球13个，黑球2个D. 装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个
5.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B. 在“石头.剪刀.布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D. 抛一枚硬币，出现反面的概率
二.填空题：（每小题5分 共25分）
6.当试验的结果有很多并且各种结果发生的可能性相同时，我们可以用________的方式得出概率．
7.一个口袋中装有大小完全一样的红.黄.绿三种颜色的玻璃球108个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为25%，摸到黄球的频率为45%，摸到绿球的频率为30%，则可估计口袋中有红球____个，有黄球_____个，有绿球_____个．
8.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色不同外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是____________．
9.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2．
10.如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为______．
三.解答题（共50分）
11.甲乙两同学投掷一枚骰子，用字母p ，q分别表示两人各投掷一次的点数．
(1)求满足关于x的x2 + px + q =0方程有实数解的概率．
(2)求(1)中方程有两个相同实数解的概率．
12.小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
13.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球实验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是几次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数s
150
200
500
900
1000
1200
摸到白球的频数n
51
64
156
275
303
361
摸到白球的频率
0.34
0.32
0.312
0.306
0303
0.301
（1）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 ；假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 （精确到0.1）．
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）解决了上面的问题后请你从统计与概率方面谈一条启示．
14.学校门口经常有小贩搞摸奖活动，某小贩在一只黑色的 口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红色1只，黄色2只，绿色10只，其余为白球，搅拌均匀后，每2元摸1球，奖品的情况标注在球上(如图)：
(1)如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？
(2)如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？
15.理论上讲，两个随机正整数互质的概率为P=．请你和你班上的同学合作，每人随机写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到n对正整数，找出其中互质的对数m，计算两个随机正整数互质的概率，利用上面的等式估算的近似值．
【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§3.2《用频率估计概率》（解析卷）
一.选择题：（每小题5分 共25分）
1.下列试验能用编号为“l～6”卡片(均匀)搅匀作为替代试验的有( )
①抛掷四面体 ②抛掷两枚硬币 ③抛掷一枚骰子
④在“黑桃5一黑桃10'中任抽一张牌 ⑤转四等分的圆转盘
A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个
【答案】B
【解析】①因为是四面体,只有四个数,所以不行,②因为硬币只有两面,所以不行,③因为一枚骰子是六面,所以可以,④因为黑桃5-黑桃10共有6张,并且除数字以外,其他都一样,所以可以, ⑤因为不是六等分,所以不可以,故正确选B.
2. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )
A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个
【答案】A
【解析】试题分析：先算出盒子中黑球所占百分比，则，即共有20个球，则白球有个20÷100=20％，则4÷20％=20，即共有20个球，则白球有20-4=16个．故选B．
考点：模拟实验．
3. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批
粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的
粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的
频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是( )
A. 0.96 B. 0.95 C. 0.94 D. 0.90
【答案】B
解：=（96+282+382+570+948+1912+2850）÷（100+300+400+600+1000+2000+3000）≈0.95，
当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．
故选B．
4.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）
A. 口袋中装入10个小球，其中只有两个红球
B. 装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球
C. 装入红球5个，白球13个，黑球2个
D. 装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个
【答案】C
【解析】试题分析：A.摸到红球的概率为＝；
B.摸到红球的概率为＝；
C.摸到红球的概率为＝；
D.摸到红球的概率为＝．
故选C．
5.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B. 在“石头.剪刀.布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D. 抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】B
【解析】试题解析：A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B.在“石头.剪刀.布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D.抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选B．
二.填空题：（每小题5分 共25分）
6.当试验的结果有很多并且各种结果发生的可能性相同时，我们可以用________的方式得出概率．
【答案】P(A)=
【解析】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率故答案为
7.一个口袋中装有大小完全一样的红.黄.绿三种颜色的玻璃球108个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为25%，摸到黄球的频率为45%，摸到绿球的频率为30%，则可估计口袋中有红球____个，有黄球_____个，有绿球_____个．
【答案】 (1). 27， (2). 49， (3). 32
【解析】试题解析：∵摸到红球.黄球.绿球的频率分别为25%，45%和30%，
∴估计口袋中红球的个数=108×25%=27（个），
黄球的个数=108×45%=49（个）．
绿球的个数=108×30%=32（个）．
8.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色不同外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是____________．
【答案】m＋n＝8
【解析】根据概率公式，摸出白球的概率，
摸出不是白球的概率，
由于二者相同，故有=，
整理得m+n=8.
故答案为：m+n=8.
9.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2．
【答案】1
【解析】试题分析：由题意可知，正方形的面积为4，再由小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，即可求得不规则区域的面积约是4×0.25=1.
10.如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为______．
【答案】0.600
【解析】观察图象可知，该射手击中靶心的频率维持在0.600左右，所以该射手击中靶心的概率的估计值为0.600.
三.解答题（共50分）
11.甲乙两同学投掷一枚骰子，用字母p ，q分别表示两人各投掷一次的点数．
(1)求满足关于x的x2 + px + q =0方程有实数解的概率．
(2)求(1)中方程有两个相同实数解的概率．
【答案】（1）； （2）．
【解析】解：两人投掷骰子共有36种等可能情况.
（1）其中方程有实数解共有19种情况，故其概率为。
（2）方程有相等实数解共有2种情况，故其概率为。
12.小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
【答案】见解析
【解析】(1)因为,,
所以小刚得分:,小明得分:,
因为,所以游戏对双方不公平.
(2)修改方法不唯一,可以添加适当的分值进行调节.
列表得：
红
白
蓝
红
(红，红)
(红，白)
(红，蓝)
黄
(黄，红)
(黄，白)
(黄，蓝)
蓝
(蓝，红)
(蓝，白)
(蓝，蓝)
P(配色紫色)=,p(配不成紫色)=
因为2/9 ≠所以游戏对双方不公平．
修改规则的方法不唯一，只要合理即可．
(如可改为：若配成紫色时小刚得7分，否则小明得2分)
13.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球实验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是几次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数s
150
200
500
900
1000
1200
摸到白球的频数n
51
64
156
275
303
361
摸到白球的频率
0.34
0.32
0.312
0.306
0303
0.301
（1）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 ；假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 （精确到0.1）．
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）解决了上面的问题后请你从统计与概率方面谈一条启示．
【答案】（1）0.3；0.7（2）估计口袋中红球有70只；（3）用概率可以估计未知物体的数目
【解析】试题分析：（1）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.3左右，而摸到红球的概率为1﹣0.3=0.7；
（2）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
（3）言之有理即可．
试题解析：解：（1）0.3，1﹣0.3=0.7；
（2）估算口袋中红球有x只，由题意得0.7=，解之得x=70，∴估计口袋中红球有70只；
（3）用概率可以估计未知物体的数目．（或者试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值）
（只要能从概率方面说的合理即可）
14.学校门口经常有小贩搞摸奖活动，某小贩在一只黑色的 口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红色1只，黄色2只，绿色10只，其余为白球，搅拌均匀后，每2元摸1球，奖品的情况标注在球上(如图)：
(1)如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？
(2)如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：概率的求法：概率=所求情况数与所有情况数的比.
（1）∵白球的个数为50－1－2－10="37"
∴摸不到奖的概率是；
（2）获得10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球
∴获得10元奖品的概率是：=.
15.理论上讲，两个随机正整数互质的概率为P=．请你和你班上的同学合作，每人随机写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到n对正整数，找出其中互质的对数m，计算两个随机正整数互质的概率，利用上面的等式估算的近似值．
【答案】2.7328
【解析】试题分析：依题意与同学合作，每人随机写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到n对正整数，找出其中互质的对数m，依据P＝计算出正整数互质的频率去估计概率，然后代入P＝即可估算出π的近似值．
试题解析：解：本题答案不唯一．随实际情况而变．
比如11，2；5，6；53，7；10，8；99，4这五组数，
可知10和8不互质，其余四组都互质，
互质的概率为，
又∵两个随机正整数互质的概率为P=，
∴=，
可估算出π的近似值为=2.7328．
