二次函数与反比例函数
单元测试卷
本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?﹣1?????????????????????????????????????????C.?7?????????????????????????????????????????D.?﹣6
2.函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（?? ）
A. B. C. D.
3.在同一直角坐标系中，函数y= 和y=kx﹣3的图象大致是（?? ）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
4.已知二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（?? ）
A.?m≤5???????????????????????????????????B.?m≥2???????????????????????????????????C.?m＜5???????????????????????????????????D.?m＞2
5.将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（?? ）
A.?y= （x﹣8）2+5????? B.?y= （x﹣4）2+5?????
C.?y= （x﹣8）2+3????? D.?y= （x﹣4）2+3
6.若函数 是关于x的二次函数，则m的取值为（?? ）
A.±1? B.1 C.－1? D.任何实数
7.如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y= （k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（?? ）
A.?（﹣1，﹣2）????????????????????B.?（﹣1，2）????????????????????C.?（1，﹣2）????????????????????D.?（﹣2，﹣1）
8.如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿 向点以 以 的速度移动，动点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动.若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是（?? ）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（?? ）
A.ac＞0 B.b2﹣4ac＜0 C.对称轴是直线x=2.5 D.b＞0
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2 ， y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1 ， 则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和 其中正确结论的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.二次函数 ?的图象经过原点，则a的值为________ ．
12.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t﹣1.5t2 ． 飞机着陆后滑行________秒才能停下来．
13.如图，直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为________．
14.如图，已知等边△OA1B1 ， 顶点A1在双曲线y= （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2 ， 过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2 ， 得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3 ， 过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3 ， 得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为________．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）已知二次函数 ，当 时有最大值，且此函数的图象经过点 ，求此二次函数的关系式，并指出当 为何值时， 随 的增大而增大．
16.（8分）抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)?
17.（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
18.（8分）给定关于 的二次函数 ， 学生甲：当 时，抛物线与 轴只有一个交点，因此当抛物线与 轴只有一个交点时， 的值为3； 学生乙：如果抛物线在 轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限； 请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.
19.（10分）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）
20.（10分）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当 时，写出自变量 的取值范围．
21.（12分）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC= ． ①求抛物线的解析式； ②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．
22.（12分）某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润=销售额﹣费用）
23.（14分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．
二次函数与反比例函数
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?﹣1?????????????????????????????????????????C.?7?????????????????????????????????????????D.?﹣6
解：二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1．
故答案为：B
2.函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（?? ）
A. B. C. D.
解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数， 故答案为：D．
3.在同一直角坐标系中，函数y= 和y=kx﹣3的图象大致是（?? ）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
解：由函数 可得过点（0，-3），则可排除A与D， 则正确的答案为B或D，由B和D的图象中，函数 的图象是向左倾斜的， 则k<0， 则此时函数 的图象在第二、四象限， ∴B符合题意． 故答案为:B．
4.已知二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（?? ）
A.?m≤5???????????????????????????????????B.?m≥2???????????????????????????????????C.?m＜5???????????????????????????????????D.?m＞2
解：∵二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图象与x轴有交点， ∴△=(-1) 2-4×1×( ?m-1)≥0， 解得：m≤5， 故答案为：A．
5.将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（?? ）
A.?y= （x﹣8）2+5????? B.?y= （x﹣4）2+5?????
C.?y= （x﹣8）2+3????? D.?y= （x﹣4）2+3
解：y= x2﹣6x+21 = （x2﹣12x）+21 = [（x﹣6）2﹣36]+21 = （x﹣6）2+3， 故y= （x﹣6）2+3，向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3． 故答案为：D．
6.若函数 是关于x的二次函数，则m的取值为（?? ）
A.±1? B.1 C.－1? D.任何实数
解：由题意得 , m=-1, 故答案为：C.
如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y= （k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（?? ）
A.?（﹣1，﹣2）????????????????????B.?（﹣1，2）????????????????????C.?（1，﹣2）????????????????????D.?（﹣2，﹣1）
解：∵直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y= （k2≠0）的图象交于M，N两点，∴M，N两点关于原点对称， ∵点M的坐标是（1，2）， ∴点N的坐标是（-1，-2）． 故答案为：A．
8.如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿 向点以 以 的速度移动，动点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动.若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是（?? ）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t， 则△PBQ的面积S= PB?BQ= （3-t）×2t=-t2+3t， 故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下． 故答案为：C．
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（?? ）
A.ac＞0 B.b2﹣4ac＜0 C.对称轴是直线x=2.5 D.b＞0
解：A、∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交在正半轴上， ∴c＞0， ∴ac＜0，故不符合题意； B、∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0，故不符合题意； C、∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（-1，0）和（4，0）， ∴对称轴是直线x=1.5，故不符合题意； D、∵a＜0，抛物线对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号， ∴b＞0，故符合题意． 故答案为：D．
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2 ， y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1 ， 则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和 其中正确结论的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
解：由A（-1,0）和B（3，0）可得 二次函数 ，对称轴为直线 ， ①由二次函数图象是开口向上， ∴ ， ∴当 ，二次函数有最小值，即最小值 ，故①正确； ②当 时，则当 时， 有最小值，为 ；当 时， 有最大值，为 ，则 ，故②错误； ③点C（4，y1）关于对称轴直线x=1的对称点为C'（-2，y1）， 若 时，由图象可得 ，故③错误； ④二次函数 ， 则 ， 则一元二次方程 转化为 ， ∵ ， ∴原方程整理得 ， 解得 ， 故④正确； 则正确的是①④，有2个． 故答案为:B．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.二次函数 ?的图象经过原点，则a的值为________ ．
解：∵二次函数 的图象经过原点， ∴ ?，解得： . 故答案为：-1
12.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t﹣1.5t2 ． 飞机着陆后滑行________秒才能停下来．
解：由题意， s=60t-1.5t2 =-1.5t2+60t =-1.5（t2-40t+400-400） =-1.5（t-20）2+600， 即当t=20秒时，飞机才能停下来
故答案为：20
13.如图，直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为________．
解：设A（a， ），B（b， ），则C（a， ）． 将y=x+m代入y= ，得x+m= ， 整理，得x2+mx﹣3=0， 则a+b=﹣m，ab=﹣3， ∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12． ∵S△ABC= AC?BC = （ ﹣ ）（a﹣b） = ? ?（a﹣b） = （a﹣b）2 = （m2+12） = m2+6， ∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6． 故答案为：6．
14.如图，已知等边△OA1B1 ， 顶点A1在双曲线y= （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2 ， 过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2 ， 得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3 ， 过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3 ， 得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为________．
解：如图，作A2C⊥x轴于点C， 设B1C=a，则A2C= a， OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a， a）． ∵点A2在双曲线y= （x＞0）上， ∴（2+a）? a= ， 解得a= ﹣1，或a=﹣ ﹣1（舍去）， ∴OB2=OB1+2B1C=2+2 ﹣2=2 ， ∴点B2的坐标为（2 ，0）； 作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D= b， OD=OB2+B2D=2 +b，A2（2 +b， b）．??????????????? ∵点A3在双曲线y= （x＞0）上， ∴（2 +b）? b= ， 解得b=﹣ + ，或b=﹣ ﹣ （舍去）， ∴OB3=OB2+2B2D=2 ﹣2 +2 =2 ， ∴点B3的坐标为（2 ，0）； 同理可得点B4的坐标为（2 ，0）即（4，0）； …， ∴点Bn的坐标为（2 ，0）， ∴点B6的坐标为（2 ，0）． 故答案为：（2 ，0）．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）已知二次函数 ，当 时有最大值，且此函数的图象经过点 ，求此二次函数的关系式，并指出当 为何值时， 随 的增大而增大．
解：根据题意得y=a（x﹣2）2 ， 把（1，﹣3）代入得a=﹣3， 所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2 ， 因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大
16.（8分）抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)?
解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4）， 设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4 把点（3，0）代入解析式，得： 4a+4，即a=-1 所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4 故答案是y=-x2+2x+3
17.（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴ ．
解得 .
∴反比例函数解析式：y= ，
∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．
在△BDP和△BDP′中， ，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）． ∴ ，
解得：
．
∴一次函数的表达式为y= x+3．
18.（8分）给定关于 的二次函数 ， 学生甲：当 时，抛物线与 轴只有一个交点，因此当抛物线与 轴只有一个交点时， 的值为3； 学生乙：如果抛物线在 轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限； 请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.
解：甲的观点是错误的. 理由如下：当抛物线 与 轴只有一个交点时 ? 即： 解得 或 即 或 时抛物线 与 轴只有一个交点 乙的观点是正确的 理由如下：当抛物线在 轴上方时， 由上可得 ?即： ?∴ 而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点 顶点的横坐标为 ，且抛物线在 轴上方， 即抛物线的最低点在第二象限
19.（10分）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）
解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410﹣10（x﹣100）=1410﹣10x， 由题意得，y=（x﹣80）（1410﹣10x） =﹣10x2+2210x﹣112800， 当y=8580时，﹣10x2+2210x﹣112800=8580， 整理，得：x2﹣221x+12138=0， 解得：x=102或x=119， ∵当x=102时，销量为1410﹣1020=390， 当x=119时，销量为1410﹣1190=220， ∴若要达到8580元的利润，且薄利多销， ∴此时的定价应为102元； 小杰：y=﹣10x2+2210x﹣112800=﹣10（x﹣ ）2+ ， ∵价格取整数，即x为整数， ∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300， 答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元
20.（10分）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当 时，写出自变量 的取值范围．
（1）解：如图，过点A作AD⊥OC于点D. ????? 又∵AC=AO. ????? ∴CD=DO. ????? ∴S△ADO=S△ACO=6. ????? ∴k=-12. （2）解：由图像可知：χ＜-2或0＜χ＜2.
21.（12分）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC= ． ①求抛物线的解析式； ②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．
解：①令x=0则y=﹣ x2+bx+c=c， ∴C（0，c）， ∵tan∠BAC= ， ∴A（﹣2c，0）， ∠ACB=90°， ∴∠BCO=∠BAC， ∴OB= OC= c， ∴B（ c，0）， 把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c得，
， 解得：
， 求抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+ 2； ②y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x+ ）2+ ， ∴P（﹣ ， ）， 令﹣ x2﹣ x+ 2=0，解得：x1=﹣1，x2= ， ∴A（﹣4，0），B（ 1，0） 连接AP，PC，CB，PO，则四边形APCB的面积
=S△AOP+S△POC+S△COB
= ×4× + × 2× + ×1×2
=
22.（12分）某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润=销售额﹣费用）
解：设年产量为t吨，费用为y（万元），每吨销售价为z（万元），则0≤t≤1000， 由图（1）可求得y=10t， 由图（2）求得z=﹣ t+30． 设毛利润为w（万元）， 则w=tz﹣y=t（﹣ t+30）﹣10t=﹣ t2+20t． ∴﹣ t2+20t=7500， ∴t2﹣2000t+750000=0， 解得t1=500，t2=1500（不合题意，舍去）． 故年产量是500吨时，当年可获得7500万元毛利润．
23.（14分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．
（1）解：当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，则A（﹣3，0），B（1，0）；当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3）； （2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣1， 设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1）， ∵点P与点Q关于直线=﹣1对称， ∴点Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3）， ∴PQ=﹣2﹣x﹣x=﹣2﹣2x， ∴矩形PMNQ的周长=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）=﹣2x2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10， 当x=﹣2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（﹣2，0）， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ， ∴直线AC的解析式为y=3x+3， 当x=﹣2时，y=x+3=1， ∴E（﹣2，1）， ∴△AEM的面积= ×（﹣2+3）×1= ； （3）解：当x=﹣2时，Q（0，3），即点C与点Q重合， 当x=﹣1时，y=﹣x2﹣2x+3=4，则D（﹣1，4）， ∴DQ= = ， ∴FG=2 DQ=2 × =4， 设F（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3）， ∴GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t， ∴t2+3t=4，解得t1=﹣4，t2=1， ∴F点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
