动量和能量综合训练
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动量和能量综合训练
1、如图1所示，在光滑的水平面上，静放着一个质量为M=980g的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20g的子弹以300m/s的水平速度沿木块的轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同共速度运动。已知木块沿子弹运动方向的厚度为L=10cm，子弹射入的深度为d=6cm。设木块对子弹的阻力保持不变。
（1）求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所增加的内能；
（2）若子弹以400m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块时，则它能否穿透该木块？
2、一个人站在静止于光滑平直轨道的平板车上，人和车的总质量为M=80kg，现在让此人双手各握一个质量均为m=10kg的铅球，以两种方式顺首轨道方向水平投出铅球：第一次是一个一个地投；第二次是两个一起投。设每次投掷时铅球相对车的速度相同，求前后两次投掷铅球后小车获得的速度之比。
3、如图2所示，两木块A、B由轻弹簧连接，起初静止于光滑水平面上。某时刻一粒子弹以水平速度v0射入木块A并留在其中，子弹打入木块的过程持续时间极短，可不考虑此过程中木块A的位移。已知木块A的质量为（M—m），木块B的质量为M，子弹的质量为m，弹簧原长为L0，劲度系数为k，弹簧的弹性势能与形变量的对应关系为。如果此后运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，且木块A、B不会发生直接碰撞。试求：
（1）当弹簧压缩到最短时，木块B的速度大小；
（2）运动中弹簧出的最大长度。
4、质量为M的小车静止在光滑的水平布。小车上表面是一个光滑的曲面，末端上水平的，如图所示，小车被挡板P挡住，质量为m的物体从距地面高度为H处自由落下，然后沿光滑曲面继续下滑，物体的落地点与小车右端距离为S0，若撤去挡板P，物体仍从原处自由落下，求物体落地点与小车右端的距离是多少？
5、如图所示，悬挂在竖直平面内的木质小球（可以看作质点）质量为M，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V0射入小球中而未射出，要使子弹射入小球后，小球能在竖直平面内运动，且悬线始终不发生松驰，求子弹的初速度V0的大小应满足的条件（阻力不计，悬点足够小）。
6、如图所示，A、B之间为一峡谷，相距为d。C为固定在悬崖上的一根横梁，一质量为M的箩筐D通过两根长度都为L的轻绳挂在横梁上，当箩筐静止时，它正好处在峡谷A、B的正中央，且和峡谷两边的平地差不多在同一水平面上，筐的大小与d相比可忽略不计。现有一人位于峡谷一边A处，他想到对面B处，在他身边有很多质量差不多均为m的石块，于是他不断把石块以水平速度v0抛入箩筐并留在箩筐中，使筐运动。当箩筐摆到A处他跨入筐中，当箩筐摆到B处时，再跨出筐到达B处。设此人每次只向筐中扔一个石块，当石块击中筐时，筐恰好都位于峡谷的正中央且筐的运动方向与v0同向，石块落入筐中后随即与筐一起运动，试求：
（1）第一块石块刚落入筐中时石块与筐的共同速度v1；
（2）此人需向筐中仍入的石块数N。
7、有一内表面光滑的金属盒，底面长L=1.2m，质量为m1=0.5kg，放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ=1/8，在盒内最右端放一个半径为r=0.1m的光滑金属球，质量为m2=0.5kg。现在盒最左端给盒施加一个水平冲量I =1.5N·s，如图所示（盒壁厚度，球与盒发生碰撞的时间和能量损失不计）。g=10m/s2,求：
（1）金属盒能在地面上运动多远？
（2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间多长？
8、n个相同的木块，每块的质量都是m，放置在倾角为θ的斜面上，相邻两木块间的距离为L，最下端的木块距斜面底端也是L，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，如图所示。在开始时刻，第一块木块以初速度v0沿斜面下滑，其余所有的木块都静止。由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞，在每次发生碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第n个木块到达斜面底端时，刚好停在底端。求：
（1）第一次碰撞前第一个木块的动能Ek1；
（2）第一次碰撞时系统损失的机械能△E1与Ek1的比值；
（3）在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能△E。
答案
1、（1）设子弹的初速度为v0，射入木块后两者的共同速度为v，以子弹和木块为系统，由动量守恒定律，有： v=
此过程系统所增加的内能为：
（2）设子弹以的速度刚好能够射穿材料相同、厚度为的另一木块。则对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律有：
此过程系统所损耗的机械能为：
由功能关系有：
故： 于是： 所以能射穿此木块。
2、设每次投掷时铅球相对车的速度为u，前一种方式投出一个球后，车速为，由动量守恒定律得：
投出第二个球后，车速为，由动量守恒定律得：
后一种方式投出球后，车速为，由动量守恒定律得：
故前后两次投掷铅球后小车获得的速度之比为：
3、（1）子弹打入木块以及木块运动的整个过程中，子弹和两木块组成的系统动量守恒，当弹簧压缩到最短时，A、B的速度相等，设为，则：
（2）子弹打入木块A的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，设二者的共同速度为，则：
，
当弹簧达到最大长度时两木块速度相等，由动量守恒定律得：
从子弹射入木块A到两者具有共同速度以后的运动过程中，系统机械能守恒，故：
弹簧的最大长度为：
4、设小车被挡板挡住时，物体离开小车的水平速度为，从抛出点到落地点时间为，抛出点到落地点的高度为，则机械能守恒有： （1）
由平抛运动规律有： （2）
撤去挡板后，物体离开小车时车速大小为，物体速为，则由机械能守恒有：
（3）
由动量守恒有： （4）
由平抛运动规律有： （h不变，t不变） （5）
由（1）（3）（4）得：
由（2）式有，将、、代入（5）式得：
5、子弹射入小球前后，由动量守恒定律得： （1）
子弹射入小球后，小球上摆的高时小球的运动符合题意，设小球上摆的高度正好为，由机械能守恒得： （2）
由（1）（2）式得：
故，当时，小球在竖直平面内运动，绳不会松驰。
子弹射入小球后，若小球恰好能摆到2L的高度，则小球在竖直平面内做圆运动。设小球到达畅通高点时的速度为，则有： （3）
由机械能守恒得： （4）
由（1）（3）（4）得：
故当时，小球在竖直平面内做圆周运动，绳也不会松驰。
6、（1）设第一块石块扔入箩筐后，筐开始运动的速度为，由动量守恒定律有：
① ②
（2）第二块石块扔入箩筐时，由动量守恒定律有：
③ 由②③式得： ④
当第n个石块扔入筐时，筐的速度为： ⑤
若箩筐具有速度后恰能摆到A处，此时筐上升的高度为，由机械能守恒定律得：
⑥ ⑦
解⑤⑥⑦式得：
7、（1）由冲量的作用，，金属盒所受的摩擦力为：
，设它能在地面上滑行S（m），则由动能定理得：
解得：
（2）当盒前进时与球发生碰撞，设碰前盒的速度为，碰后的速度为，球碰后的速度为，则对盒用动能定理得： 解得：
由碰撞过程动量守恒和能量守恒有：
联立以上三式得：。同时，当球与盒再次碰撞时，球静止，盒以的速度前进，，所以不会再与球碰撞，则盒运动的时间可由动量定理求得：
解得：
在盒与球两次碰撞之间还有一段时间为小球在运动，
则金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间为：
8、（1）依题意，最后一个木块停在斜面底端，表明木块除碰撞以外其它时间内所受合外力与运动方向相反，木块沿斜面做匀减速运动，设其加速度大小为，方向沿斜面向上，则：
①
第一次碰撞前第一个木块的动能为： ②
①式代入②式得： ③
（2）1、2两木块碰撞过程中动量守恒，有： ④ ⑤
上述过程中损失的机械能为： ⑥
解得： ⑦
由①式可知木块下滑的加速度与木块质量无关，从第1个木块开始下滑的整个过程中，除每一次碰撞的瞬间外，下滑加速度均为，方向沿斜面向上；在整个过程中，第n个木块运动距离为L，第n-1个木块运动的距离为2L，……第1个木块运动距离为nL，除碰撞瞬间外各木块克服合外力做功为：
⑧
整个过程中，各次碰撞损失的总机械能为： ⑨
由①⑧⑨式得：
1、如图1所示，在光滑的水平面上，静放着一个质量为M=980g的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20g的子弹以300m/s的水平速度沿木块的轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同共速度运动。已知木块沿子弹运动方向的厚度为L=10cm，子弹射入的深度为d=6cm。设木块对子弹的阻力保持不变。
（1）求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所增加的内能；
（2）若子弹以400m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块时，则它能否穿透该木块？
2、一个人站在静止于光滑平直轨道的平板车上，人和车的总质量为M=80kg，现在让此人双手各握一个质量均为m=10kg的铅球，以两种方式顺首轨道方向水平投出铅球：第一次是一个一个地投；第二次是两个一起投。设每次投掷时铅球相对车的速度相同，求前后两次投掷铅球后小车获得的速度之比。
3、如图2所示，两木块A、B由轻弹簧连接，起初静止于光滑水平面上。某时刻一粒子弹以水平速度v0射入木块A并留在其中，子弹打入木块的过程持续时间极短，可不考虑此过程中木块A的位移。已知木块A的质量为（M—m），木块B的质量为M，子弹的质量为m，弹簧原长为L0，劲度系数为k，弹簧的弹性势能与形变量的对应关系为。如果此后运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，且木块A、B不会发生直接碰撞。试求：
（1）当弹簧压缩到最短时，木块B的速度大小；
（2）运动中弹簧出的最大长度。
4、质量为M的小车静止在光滑的水平布。小车上表面是一个光滑的曲面，末端上水平的，如图所示，小车被挡板P挡住，质量为m的物体从距地面高度为H处自由落下，然后沿光滑曲面继续下滑，物体的落地点与小车右端距离为S0，若撤去挡板P，物体仍从原处自由落下，求物体落地点与小车右端的距离是多少？
5、如图所示，悬挂在竖直平面内的木质小球（可以看作质点）质量为M，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V0射入小球中而未射出，要使子弹射入小球后，小球能在竖直平面内运动，且悬线始终不发生松驰，求子弹的初速度V0的大小应满足的条件（阻力不计，悬点足够小）。
6、如图所示，A、B之间为一峡谷，相距为d。C为固定在悬崖上的一根横梁，一质量为M的箩筐D通过两根长度都为L的轻绳挂在横梁上，当箩筐静止时，它正好处在峡谷A、B的正中央，且和峡谷两边的平地差不多在同一水平面上，筐的大小与d相比可忽略不计。现有一人位于峡谷一边A处，他想到对面B处，在他身边有很多质量差不多均为m的石块，于是他不断把石块以水平速度v0抛入箩筐并留在箩筐中，使筐运动。当箩筐摆到A处他跨入筐中，当箩筐摆到B处时，再跨出筐到达B处。设此人每次只向筐中扔一个石块，当石块击中筐时，筐恰好都位于峡谷的正中央且筐的运动方向与v0同向，石块落入筐中后随即与筐一起运动，试求：
（1）第一块石块刚落入筐中时石块与筐的共同速度v1；
（2）此人需向筐中仍入的石块数N。
7、有一内表面光滑的金属盒，底面长L=1.2m，质量为m1=0.5kg，放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ=1/8，在盒内最右端放一个半径为r=0.1m的光滑金属球，质量为m2=0.5kg。现在盒最左端给盒施加一个水平冲量I =1.5N·s，如图所示（盒壁厚度，球与盒发生碰撞的时间和能量损失不计）。g=10m/s2,求：
（1）金属盒能在地面上运动多远？
（2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间多长？
8、n个相同的木块，每块的质量都是m，放置在倾角为θ的斜面上，相邻两木块间的距离为L，最下端的木块距斜面底端也是L，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，如图所示。在开始时刻，第一块木块以初速度v0沿斜面下滑，其余所有的木块都静止。由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞，在每次发生碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第n个木块到达斜面底端时，刚好停在底端。求：
（1）第一次碰撞前第一个木块的动能Ek1；
（2）第一次碰撞时系统损失的机械能△E1与Ek1的比值；
（3）在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能△E。
答案
1、（1）设子弹的初速度为v0，射入木块后两者的共同速度为v，以子弹和木块为系统，由动量守恒定律，有： v=
此过程系统所增加的内能为：
（2）设子弹以的速度刚好能够射穿材料相同、厚度为的另一木块。则对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律有：
此过程系统所损耗的机械能为：
由功能关系有：
故： 于是： 所以能射穿此木块。
2、设每次投掷时铅球相对车的速度为u，前一种方式投出一个球后，车速为，由动量守恒定律得：
投出第二个球后，车速为，由动量守恒定律得：
后一种方式投出球后，车速为，由动量守恒定律得：
故前后两次投掷铅球后小车获得的速度之比为：
3、（1）子弹打入木块以及木块运动的整个过程中，子弹和两木块组成的系统动量守恒，当弹簧压缩到最短时，A、B的速度相等，设为，则：
（2）子弹打入木块A的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，设二者的共同速度为，则：
，
当弹簧达到最大长度时两木块速度相等，由动量守恒定律得：
从子弹射入木块A到两者具有共同速度以后的运动过程中，系统机械能守恒，故：
弹簧的最大长度为：
4、设小车被挡板挡住时，物体离开小车的水平速度为，从抛出点到落地点时间为，抛出点到落地点的高度为，则机械能守恒有： （1）
由平抛运动规律有： （2）
撤去挡板后，物体离开小车时车速大小为，物体速为，则由机械能守恒有：
（3）
由动量守恒有： （4）
由平抛运动规律有： （h不变，t不变） （5）
由（1）（3）（4）得：
由（2）式有，将、、代入（5）式得：
5、子弹射入小球前后，由动量守恒定律得： （1）
子弹射入小球后，小球上摆的高时小球的运动符合题意，设小球上摆的高度正好为，由机械能守恒得： （2）
由（1）（2）式得：
故，当时，小球在竖直平面内运动，绳不会松驰。
子弹射入小球后，若小球恰好能摆到2L的高度，则小球在竖直平面内做圆运动。设小球到达畅通高点时的速度为，则有： （3）
由机械能守恒得： （4）
由（1）（3）（4）得：
故当时，小球在竖直平面内做圆周运动，绳也不会松驰。
6、（1）设第一块石块扔入箩筐后，筐开始运动的速度为，由动量守恒定律有：
① ②
（2）第二块石块扔入箩筐时，由动量守恒定律有：
③ 由②③式得： ④
当第n个石块扔入筐时，筐的速度为： ⑤
若箩筐具有速度后恰能摆到A处，此时筐上升的高度为，由机械能守恒定律得：
⑥ ⑦
解⑤⑥⑦式得：
7、（1）由冲量的作用，，金属盒所受的摩擦力为：
，设它能在地面上滑行S（m），则由动能定理得：
解得：
（2）当盒前进时与球发生碰撞，设碰前盒的速度为，碰后的速度为，球碰后的速度为，则对盒用动能定理得： 解得：
由碰撞过程动量守恒和能量守恒有：
联立以上三式得：。同时，当球与盒再次碰撞时，球静止，盒以的速度前进，，所以不会再与球碰撞，则盒运动的时间可由动量定理求得：
解得：
在盒与球两次碰撞之间还有一段时间为小球在运动，
则金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间为：
8、（1）依题意，最后一个木块停在斜面底端，表明木块除碰撞以外其它时间内所受合外力与运动方向相反，木块沿斜面做匀减速运动，设其加速度大小为，方向沿斜面向上，则：
①
第一次碰撞前第一个木块的动能为： ②
①式代入②式得： ③
（2）1、2两木块碰撞过程中动量守恒，有： ④ ⑤
上述过程中损失的机械能为： ⑥
解得： ⑦
由①式可知木块下滑的加速度与木块质量无关，从第1个木块开始下滑的整个过程中，除每一次碰撞的瞬间外，下滑加速度均为，方向沿斜面向上；在整个过程中，第n个木块运动距离为L，第n-1个木块运动的距离为2L，……第1个木块运动距离为nL，除碰撞瞬间外各木块克服合外力做功为：
⑧
整个过程中，各次碰撞损失的总机械能为： ⑨
由①⑧⑨式得：
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