匀变速直线运动的速度与时间的关系 同步学案

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第二章　匀变速直线运动的研究
第2节　匀变速直线运动的速度与时间的关系
物体做变速运动的v－t图象，v－t图象是一条倾斜的直线，物体的加速度有什么特点？倾斜直线所表示的速度随时间变化的关系怎样用公式来描述？
要点一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．图象：v－t图象说明凡图象是倾斜直线的运动一定是匀变速直线运动，反之也成立，即匀变速直线运动的v－t图象一定是一条倾斜的直线．
3．匀变速直线运动包括两种情形：
a与v同向，匀加速直线运动，速度增加；
a与v反向，匀减速直线运动，速度减小．
要点二、速度与时间的关系式
1．推导过程
对于匀变速直线运动，其加速度是恒定的，由加速度的定义式a＝可得Δv＝aΔt，从运动开始(t＝0)到时刻t，时间的变化量Δt＝t，速度变化量Δv＝v－v0，故v－v0＝at，得v＝v0＋at.
2．对速度公式v＝v0＋at的理解
(1)此式叫匀变速直线运动的速度公式，它反映了匀变速直线运动的速度随时间变化的规律，式中v0是开始计时时刻的速度，v是经过时间t后的瞬时速度．
(2)速度公式中，末速度v是时间t的一次函数，其v－t图象是一条倾斜的直线，斜率即为加速度a，纵轴上的截距为初速度v0.
(3)此速度公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．式中v0，v，a都是矢量．在直线运动中，当规定了正方向后，它们都可用带正、负号的代数值表示，则矢量运算转化为代数运算，通常情况下取初速度方向为正方向．对于匀加速直线运动，a取正值；对于匀减速直线运动，a取负值．计算结果若v＞0，说明v的方向与v0方向相同；若v＜0，则说明v的方向与v0方向相反．
(4)此公式中有四个物理量，知道任意三个物理量便能确定第四个物理量．
(5)从静止开始的匀加速直线运动，即v0＝0，则v＝at，速度与时间成正比．
要点三 对v－t图象的理解
1．用图象法处理问题的优点：形象直观，清晰便捷，能非常直观地反映运动物体的速度随时间变化的情况，便于从整体上认识运动的特点．
2．几种变速运动的v－t图象
(1)匀速直线运动的v－t图象平行于t轴．
(2)初速度为零的匀加速直线运动的v－t图象是一条过原点的倾斜的直线．
(3)初速度不为零的匀变速直线运动的v－t图象是一条在v轴上有截距的倾斜的直线．
(4)做变加速运动的v－t图象是一条曲线
在v－t图象中，直线的斜率等于物体的加速度，曲线上各点的斜率等于该时刻物体的加速度．
3．关于交点的理解
(1)两条图线相交，表明在该时刻两物体具有相同的速度．
(2)图线与v轴相交：表示物体的初速度．
4．速度图象与时间轴交点表示速度方向改变，折点表示加速度方向改变．
　图2－2－4　　　　　图2－2－5
(1)如图2－2－4所示，图线为与横轴相交的直线，交点处表示该时刻物体反向运动，速度方向改变，但加速度不变，仍为匀变速直线运动．
(2)如图2－2－5所示，t0时刻图线由向上倾斜变为向下倾斜，表示物体加速度方向改变，不表示速度方向改变．
图2－2－6
5．如图2－2－6所示，v－t图线为曲线，表示物体做的不是匀变速运动，物体在各时刻的加速度大小不同，在相等的时间间隔内速度的变化量不相等，即速度不是均匀变化的．
一、对匀变速直线运动的理解
例1 下列有关对匀变速直线运动的认识，其中观点正确的是(　　)
A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动
D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量
解析　匀变速直线运动的速度大小时刻在发生变化，在相等的时间里通过的位移一定不会相等，A错误；匀变速直线运动的加速度大小和方向都不能变化，B错误；C的说法也是错误的，正确答案为D.
答案　D
二、对速度公式的理解和应用
例2 汽车在平直路面紧急刹车时，加速度的大小是6 m/s2，如果必须在2 s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？如果汽车以最高允许速度行驶，必须在1.5 s内停下来，汽车在刹车的过程中加速度至少多大？
解析(1)由题意知a＝6 m/s2，t＝2 s，v＝0 m/s，由v＝v0＋at得
v0＝v－at＝0 m/s－(－6 m/s2)×2 s＝12 m/s＝43.2 km/h所以汽车的速度不能超过43.2 km/h.
(2)根据v＝v0＋at，有
a′＝＝＝－8 m/s2
所以汽车刹车匀减速运动加速度至少为8 m/s2.
答案　(1)43.2 km/h　(2)8 m/s2
三、v－t图象的理解及应用
图2－2－8
例3 如图2－2－8，请回答：
(1)图线①②分别表示物体做什么运动？
(2)①物体3 s内速度的改变量是多少，方向与速度方向有什么关系？
(3)②物体5 s内速度的改变量是多少？方向与其速度方向有何关系？
(4)①②物体的运动加速度分别为多少？方向如何？
(5)两图象的交点A的意义．
解析　分析①物体：①做匀加速直线运动，3 s内速度的改变量为Δv＝9 m/s－0＝9 m/s，方向与速度方向相同，a＝＝＝3 m/s2，方向与Δv方向相同，即a与v方向相同．分析②物体：②做匀减速直线运动，5 s内速度的改变量为Δv′＝0－9 m/s＝－9 m/s，说明Δv与v方向相反．
a＝＝＝－1.80 m/s2，说明a方向与Δv方向相同，与v方向相反，做匀减速直线运动．
图象交点A的意义是在t＝2 s时两物体的速度相同．
答案　(1)①做匀加速直线运动；②做匀减速直线运动
(2)①物体3 s内速度的改变量是9 m/s，方向与速度方向相同
(3)②物体5 s内速度的改变量是9 m/s，方向与其速度方向相反
(4)①②物体的运动加速度分别为3 m/s2、－1.80 m/s2，①物体加速度与速度方向相同，②物体加速度与速度方向相反
(5)两图象交点表示速度相同
1.下列各图所示分别为四个物体在一条直线上运动的v－t图象，那么由图象可以看出，
做匀变速直线运动的是(　　)
2．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比是( 　　)
A．1∶1∶1　　　　　　　 　　B．1∶2∶3
C．12∶22∶32 D．1∶3∶5
3．下列关于匀变速直线运动的说法正确的是(　　)
A．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的
B．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度变化的方向总是相同的
C．做匀变速直线运动的物体，它的速度变化越大，加速度越大
D．做匀变速直线运动的物体，它的速度在单位时间内变化越大，加速度越大
图2－2－9
4．如图2－2－9所示，对质点运动的描述正确的是(　　)
A．该质点做曲线运动
B．该质点做匀加速直线运动
C．该质点的加速度逐渐增大
D．该质点的加速度逐渐减小
图2－2－10
5．如图2－2－10所示是某质点的v－t图象，则(　　)
A．前2 s物体做匀加速运动，后3 s物体做匀减速运动
B．2 s～5 s内物体静止
C．前2 s和后3 s内速度的增量均为5 m/s
D．前2 s的加速度是2.5 m/s2，后3 s的加速度是－ m/s2
6．做匀变速直线运动的物体，在某时刻的速度为5 m/s，而其加速度为－3 m/s2，这表示(　　)
A．物体的加速度方向一定与速度方向相同，而速度在减小
B．物体的加速度方向可能与速度方向相同，而速度在增大
C．物体的加速度方向一定与速度方向相反，而速度在增大
D．物体的加速度方向一定与速度方向相反，而速度在减小
7．以72 km/h的速度在平直公路上行驶的汽车，遇紧急情况而急刹车获得大小为4 m/s2的加速度，则刹车6 s后汽车的速度为(　　)
A．44 m/s B．24 m/s C．4 m/s D．0
8．一个做直线运动的物体，其速度随时间的变化关系为v＝(12－5t) m/s，则其初速度为________m/s，加速度为________m/s2，3 s末的速度为________m/s.
9．质点从静止开始做匀加速直线运动，经4 s后速度达到20 m/s，然后匀速运动了10 s，接着经4 s匀减速运动后静止．求
(1)质点在加速运动阶段的加速度是多大？
(2)质点在16 s末的速度为多大？
题型1 速度公式的理解及应用
例1 一质点从静止开始以1 m/s2的加速度匀加速运动，经5 s后做匀速运动，最后2 s的时间质点做匀减速运动直至静止，则质点匀速运动时的速度是多大？减速运动时的加速度是多大？
答案　5 m/s　2.5 m/s2，方向与速度方向相反
解析　质点的运动过程包括加速—匀速—减速三个阶段，如图所示．图示中AB为加速阶段，BC为匀速阶段，CD为减速阶段，匀速运动的速度即为AB段的末速度，也为CD段的初速度，这样一来，就可以利用公式方便地求解了．
由运动学公式可知：vB＝v0＋at＝5 m/s，vC＝vB＝5 m/s，由v＝v0＋at应用于CD段 (vD＝0)得：a′＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2
1．多运动过程问题要划分不同的运动阶段，并搞清各运动过程之间的联系．
2．画出运动过程的草图，标上已知量以便于灵活选用公式．
3．选取一个过程为研究过程，以初速度方向为正方向．判断各量的正负，利用v＝v0＋at由已知条件求解未知量．
4．讨论所得矢量的大小及方向.
题型2 速度公式矢量性的应用
图2－2－1
例2 如图2－2－1所示，小球以v0＝6 m/s 的速度从中间滑上光滑的足够长斜面，已知小球在斜面上运动时的加速度大小为2 m/s2，问小球速度大小为3 m/s时需多少时间？(小球在光滑斜面上运动时，加速度大小、方向不变)
答案　1.5 s或4.5 s
解析　小球先沿斜面向上做匀减速直线运动，后反向做匀加速直线运动．
若小球在上升过程中，速度减为3 m/s时，以沿斜面向上的方向为正方向，根据v＝v0＋at1，解得t1＝1.5 s.
若小球在上升过程中，速度减为0时，以沿斜面向上的方向为正方向，由0＝v0＋at2，解得t2＝3 s.
若小球在下降过程中速度又增为3 m/s，以沿斜面向下的方向为正方向，由v3＝at3，解得t3＝1.5 s.
综上可知，若小球在上升过程中达到3 m/s，则经历的时间为1.5 s；若在下降过程中达到3 m/s，则经历的时间为3 s＋1.5 s＝4.5 s.
拓展探究　一物体做匀变速直线运动，初速度为2 m/s，加速度大小为1 m/s2，则经1 s后，其末速度(　　)
A．一定为3 m/s
B．一定为1 m/s
C．可能为1 m/s
D．不可能为1 m/s
答案　C
解析　由v＝v0＋at，得v＝2 m/s±1×1 m/s，即末速度可能为3 m/s，也可能为1 m/s.利用v＝v0＋at进行计算时要注意区别a是正还是负，即物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动．
1．速度公式是一个矢量表达式，速度和加速度都是矢量，可以引起多解问题．
2．小球沿斜面上、下滑动时加速度大小、方向均不变，而匀变速直线运动的速度公式的适用条件就是加速度恒定，因此对这类“双向可逆”类匀变速运动，可以全过程列式，但应注意各量的方向(正、负号)．
若在下滑过程中达到3 m/s，以沿斜面向上的方向为正方向，则有；v0＝6 m/s，a＝－2 m/s2，v＝－3 m/s由v＝v0＋at得t＝4.5 s.
3．对同一研究过程，各物理量正、负号选取的标准应是统一的.
题型3 v－t图象的理解及应用
例3 如图2－2－2所示为某物体的v－t图象，说明该物体的运动情况．
图2－2－2
答案　见解析
解析　在前4 s内，物体的速度越来越大，说明物体做匀加速直线运动，且每秒速度增加 1 m/s.在4 s末物体速度达到最大，然后做匀减速直线运动，6 s末物体的速度减小为零，此时物体的位移最大．在4 s～6 s时间内，物体的速度每秒减少4 m/s.在6 s末物体又往回运动，即反向加速1 s的时间，速度大小是4 m/s，但跟开始运动的方向相反，
自第7 s开始物体的速度又减小，8 s末速度减小为零，其运动特点可用右图所示．
拓展探究　上例中物体在0～4 s,4～6 s,6～7 s,7～8 s内的加速度各为多少？4 s至7 s内的加速度有什么特点？为什么？
答案　见解析
解析　0～4 s内的加速度a1＝＝ m/s2＝1 m/s2
4～6 s内的加速度a2＝＝ m/s2＝－4 m/s2
6～7 s内的加速度a3＝＝ m/s2＝－4 m/s2
7～8 s内的加速度a4＝＝ m/s2＝4 m/s2
由上面的计算结果可知，4 s至7 s内的加速度相同，原因是直线的斜率未变．
1．从v－t图象可获得物体运动的信息有：
(1)物体运动快慢——对应纵轴数值．
(2)物体运动的方向——t轴上方为正方向，t轴下方为负方向．
(3)运动快慢的变化——从图线对应的v数值变化可以看出运动快慢的变化．
(4)加速度大小及变化——图线斜率大则a大，斜率小则a小．
2．图象的斜率不变，a即不变
3．利用a＝求a时，Δv＝vt－v0，必须是末态的速度减去初态的速度.
1．一物体做直线运动的图象如图2－2－3所示，则该物体(　　)
图2－2－3
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动，速度方向相同
B．先做匀加速运动，后做匀减速运动，速度方向相反
C．先做匀减速运动，后做匀加速运动，速度方向相同
D．先做匀减速运动，后做匀加速运动，速度方向相反
2．物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下面结论正确的是(　　)
A．物体零时刻的速度是3 m/s
B．物体的加速度是2 m/s2
C．任何1 s内的速度变化都是2 m/s
D．第1 s内的平均速度是6 m/s
3．一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速运动，那么前后两段加速度的大小之比是(　　)
A．1∶4　　　　　　　　　　　　 　B．1∶2
C．2∶1 D．4∶1
4．关于匀变速直线运动有以下说法，其中正确的是(　　)
A．匀加速直线运动的加速度是不断增加的
B．匀减速直线运动的加速度是不断减小的
C．匀变速直线运动是加速度不变的直线运动
D．匀变速直线运动是速度和加速度都均匀变化的直线运动
5．下列每一个图都有两条图线，分别表示同一直线运动过程中的加速度和速度随时间的变化关系的图象．其中哪些图对应的运动不能实现(　　)
6．一质点做直线运动，在第1 s内速度增加1 m/s；在第2 s内速度增加1 m/s；在第3 s内速度增加1 m/s；在第4 s内速度增加1 m/s，则这个质点的运动是(　　)
A．匀速直线运动
B．一定是匀加速直线运动
C．不一定是匀加速直线运动
D．一定是非匀变速直线运动
7．物体做匀变速直线运动，初速度为10 m/s，加速度为－10 m/s2，则2 s末的速度为(　　)
A．10 m/s B．0 C．－10 m/s D．5 m/s
8．一辆农用“小四轮”漏油，假如每隔1 s漏下一滴，车在平直公路上行驶，一位同学根据漏在路面上的油滴分布，分析“小四轮”的运动情况(已知车的运动方向)．下列说法中正确的是(　　)
A．当沿运动方向油滴始终均匀分布时，车可能做匀速直线运动
B．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车一定在做匀加速直线运动
C．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在减小
D．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在增大
9．汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，则：
(1)汽车经3 s时速度大小为多少？
(2)经5 s时的速度大小是多少？
(3)经10 s时的速度大小是多少？
10．卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使卡车匀减速前进，当车减速到2 m/s时，交通灯转为绿灯，司机当即停止刹车开始加速，并且只用了减速过程的一半时间就加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原速共用了12 s．求：
(1)减速与加速过程中的加速度大小．
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度．
答案剖析
效果自测
1、答案　BC
解析　v-t图象的斜率表示物体的加速度，A中图象平行于时间轴，斜率为零，加速度为零，所以做匀速直线运动．B中图象斜率不变，加速度不变，是匀变速直线运动，且由图象可看出，物体的速度随时间减小，所以是做匀减速直线运动．C中图象斜率不变，加速度不变，做匀加速直线运动．D中图象的切线斜率越来越大，表示物体做变加速运动．
2、答案　B
3、答案　BD
解析　匀加速直线运动的速度方向和加速度方向相同，而匀减速直线运动的速度方向和加速度方向相反；加速度表示速度变化的快慢，速度变化越快，加速度就越大．
4、答案　D
解析　v－t图象中图线的斜率表示加速度，题中图线的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，D正确．
5、答案　AD
解析　前2 s物体做匀加速运动，加速度a1＝ m/s2＝2.5 m/s2,2 s～5 s内物体做匀速运动，v＝5 m/s，后3 s物体做匀减速运动，加速度a2＝ m/s2＝－m/s2，速度的变化量前2 s和后3 s分别为5 m/s和－5 m/s.故A、D正确，B、C错误．
6、答案　D
解析　此时速度为正，加速度为负，其正、负号表示方向，表明物体加速度与速度的方向相反，由v＝v0＋at可知，物体的速度在减小，故只有D正确．
7、答案　D
解析　取初速度方向为正方向，则v0＝20 m/s，a＝－4 m/s2，设刹车经t0时间而停止运动，由0＝v0＋at0得t0＝－＝－ s＝5 s，故在t＝t0＝5 s末汽车速度为零，而后汽车静止，故在刹车6 s后汽车速度为零．
8、答案　12　－5　－3
解析　将v＝(12－5t) m/s与方程v＝v0＋at对比知，物体做匀变速直线运动，且v0＝12 m/s，a＝－5 m/s2,3 s末的速度v＝(12－5×3) m/s＝－3 m/s.
9、答案　(1)5 m/s2　(2)10 m/s.
解析　(1)设加速阶段的加速度为a1，则v1＝a1t1
a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
(2)设减速运动阶段的加速度为a2，由v2＝v1＋a2t2
其中v2＝0，v1＝20 m/s
所以a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2
当t＝16 s时，质点已减速运动了t3＝2 s，此时质点的速度为v3＝v1＋a2t3＝20 m/s－5×2 m/s＝10 m/s
课时作业
1、答案A
2、答案　BC
解析　由题意知t1＝1 s时，v1＝6 m/s；t2＝2 s时，v2＝8 m/s.由v2＝v1＋a(t2－t1)知，物体的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2.因为物体做匀加速运动，所以任何1 s内速度的变化量都为Δv＝aΔt＝2×1 m/s＝2 m/s.故B、C正确．由v1＝v0＋at得，零时刻的速度为v0＝v1－at＝6 m/s－2×1 m/s＝4 m/s，故A不正确．第1 s内的平均速度大于4 m/s，小于6 m/s，故D不正确．
3、答案　B
解析　设前后两段的加速度分别为a1、a2，则a1＝，a2＝，所以a1∶a2＝t2∶t1＝1∶2.
4、答案　C
解析　匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动，它是加速度不变，而速度均匀变化的直线运动，故只有C正确．
5、答案　D
6、答案　C
解析　由题意知，质点的速度随时间在增加，但不能判定出是否均匀增加，而匀加速直线运动必须是任意相等时间内速度增加相等，故应选C.
7、答案　C
8、答案　ACD
解析　当油滴始终均匀分布时，说明四轮车在每秒内的位移相同，车可能做匀速直线运动，选项A正确；当油滴的间距增大时，说明四轮车的速度在增加，其加速度可能保持不变，也可能在减小，还可能在增大，故选项C、D正确．
9、答案　(1)4 m/s　(2)0　(3)0
解析　汽车刹车后减速至速度为零不可能再反向加速运动，故速度减为零后就不再是匀减速运动了，而是静止的，因此这类题应先判断多长时间停下，再来求解．
设历时t0停下，取匀速方向为正向，由vt＝v0＋at有
t0＝ s＝5 s.
(1)v3＝v0＋at＝10 m/s＋(－2)×3 m/s＝4 m/s；(2)v5＝0；(3)v10＝0.
10、答案　(1)1 m/s2　2 m/s2　(2)8 m/s　6 m/s
解析　(1)卡车先做匀减速运动，再做匀加速运动，其运动简图如下图所示
设卡车从A点开始减速，则vA＝10 m/s，用时间t1到达B点，从B点又开始加速，用时间t2到达C点，则vB＝2 m/s，vC＝10 m/s，且t2＝t1，t1＋t2＝12 s，可得t1＝8 s，t2＝4 s．由v＝v0＋at得
在AB段vB＝vA＋a1t1①
在BC段vC＝vB＋a2t2②
联立①②两式并代入数据解得：
a1＝－1 m/s2，a2＝2 m/s2
(2)2 s末的速度为
v1＝vA＋a1t＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s
10 s末的速度为
v2＝vB＋a2t′＝2 m/s＋2×(10－8) m/s＝6 m/s
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