第二章 章末总结及章末检测 同步学案

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章 末 总 结
要点一、匀变速直线运动问题的求解方法
1．基本方法：
公式vt＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v－v＝2ax是研究匀变速直线运动最基本的规律，合理地运用和选择三式中的任意两式是求解运动学问题的最基本的方法．
2．简捷方法：
(1)平均速度法
定义为v＝x/t，此公式对任何性质的运动都适用，而＝只适用于匀变速直线运动．
在匀变速直线运动的题目中，有一类是质点在某段时间t内走过位移为x(或某段时间t内的平均速度)，要求某一未知物理量的题型，如果巧用“v＝”这一关系式便可以简化解题过程．
(2)利用Δx＝at2
在匀变速直线运动中，第n个t时间内的位移和第N个t时间内的位移之差为xN－xn＝(N－n)at2.
(3)巧选参考系
一个物体相对于不同参考系，运动性质一般不同，通过变换参考系，可以将物体运动简化，容易研究．
例如：站台上有一观察者，在火车开动时站在第1节车厢前端的附近，第1节车厢在5 s内驶过此人．设火车做匀加速直线运动，求第10节车厢驶过此人需多长时间．
解析　以火车为参考系，则观察者相对于火车做初速度为零的匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动在连续相等位移内的时间比公式可得：
t1∶t10＝1∶(－)
t10＝(－)t1＝0.81 s
答案　0.81 s
(4)“逆向思维”法
逆向过程处理(逆向思维法)是把运动过程的“末端”作为“初态”的反向研究问题的方法，如物体做加速运动可看成反向的减速运动，物体做减速运动可看成反向的加速运动处理，该方法一般用在末状态已知的情况．
3．注意问题
(1)要养成画物体运动示意图或利用v－t图象的习惯．特别是较复杂的运动，画图或利用v－t图象可使运动过程直观，物理情景清晰，便于分析研究．
(2)要注意分析研究对象的运动过程，弄清整个运动过程按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系．
(3)由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案．解题时除采用常规的公式解析法外，对称法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动)
要点二、纸带问题的分析
1．判断物体的运动性质
(1)根据匀速直线运动特点x＝vt，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直线运动．
(2)由匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．
2．求加速度
(1)逐差法：
虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法．
图1
如图1所示，纸带上有六个连续相等的时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，由Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2
x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2
x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2
所以a＝
　＝
由此可以看出，各段位移都用上了，有效地减小了偶然误差．所以利用纸带计算加速度时，应使用逐差法．
(2)v－t图象法：
利用匀变速直线运动的一段时间内的平均速度等于中间时刻的速度的推论，求出各时刻的瞬时速度v1、v2、v3……vn，建立一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为v，把求出的各时刻的速度值进行描点，然后画一条直线，并使该直线尽可能多的通过所描各点，或使各点均匀地分布在直线两侧．求出该v－t图线的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，因此它的偶然误差较小．
要点三、两种图象的比较
1．x－t图象
(1)两图线相交说明两物体相遇，其交点的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移．
(2)图线是直线，表示物体做匀速直线运动或静止．图象是曲线则表示物体做变速运动．
(3)图线与横轴交叉，表示物体从参考点的一边运动到另一边．
(4)图线平行于t轴，说明斜率为零，即物体的速度为零，表示物体静止．图线斜率为正值，表示物体沿与规定正方向相同的方向运动．图线斜率为负值，表示物体沿与规定正方向相反的方向运动．
2．v－t图象
(1)两图线相交说明两物体在交点时的速度相等，其交点的横坐标表示两物体达到速度相等时的时刻，纵坐标表示两物体达到速度相等时的速度．
(2)图线是直线表示物体做匀变速直线运动或匀速直线运动；图线是曲线表示物体做变加速运动．
(3)图线与横轴交叉，表示物体运动的速度反向．
(4)图线平行于横轴，说明斜率为零，即物体a＝0，表示物体做匀速直线运动；图线的斜率为正值，表示物体的加速度与规定的正方向相同；图线的斜率为负值，表示物体的加速度与规定的正方向相反．
(5)图线与横轴t所围成的面积的数值等于物体在该段时间内的位移．
要点四、追及和相遇问题
1．追及问题
追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能追上或追
不上以及两者距离有极值的临界条件．追及问题通常分两类：
(1)速度大的物体如减速追速度小(如匀速)的物体时：当二者速度相等时，若追者位移小于被追者位移，则追不上，此时两者间有最小位移；若两者位移之差等于开始运动时他们之间的距离，且速度也相等，则恰能追上，也是两者避免相碰的临界条件．
(2)速度小者加速(如v0＝0的匀加速)追速度大者(如匀速)时，当两者速度相等时有最大距离，位移相等时则能追上．
2．相遇问题
(1)同向运动的两物体追及即相遇．
(2)相向运动的两物体各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离即相遇．
3．追及、相遇问题的解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图．
(2)根据两物体的运动性质，分别列出物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键．
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析.
一、平均速度公式的巧用
例1 一个物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s，1 s后速度的大小变为10 m/s，则求在这1 s内该物体的加速度a和位移x.
解析　若考虑速度的矢量性来仔细分析“1 s后速度的大小变为10 m/s”这个条件，可知1 s后物体速度方向可能与原速度方向相同或相反．若规定初速度v0的方向为正方向，则1 s后物体速度可能是10 m/s，也可能是－10 m/s，因而有两组解．
同向时：a1＝＝ m/s2＝6 m/s2，
x1＝ t＝t＝ m＝7 m.
反向时：a2＝＝ m/s2＝－14 m/s2，
x2＝ t＝t＝ m＝－3 m.
式中负号表示方向与规定正方向相反．
答案　a＝6 m/s2　x＝7 m或a＝－14 m/s2　x＝－3 m
二、利用纸带分析物体的运动
例2 如图2所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分，他以每5个打点取一个计数点，图上注明了他对各个计数点间距离的测量结果．(单位：cm)
图2
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，填入表内．(单位：cm)
x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5
各位移差与平均值最多相差________cm，即各位移差与平均值最多相差________%.由此可得出结论：小车在________的位移之差，在________范围内相等，所以小车的运动是________．
(2)根据a＝，可以求出：a1＝＝______m/s2，a2＝＝________m/s2，a3＝＝________m/s2，所以a＝＝________m/s2.
解析　(1)x2－x1＝1.60 cm；x3－x2＝1.55 cm；x4－x3＝1.62 cm；x5－x4＝1.53 cm；x6－x5＝1.61 cm；Δx＝1.58 cm.各位移差与平均值最多相差0.05 cm，即各位移差与平均值最多相差3.3%.由此可得出结论：小车在任意两个连续相等的时间内的位移之差，在误差允许范围内相等，所以小车的运动是匀加速直线运动．
(2)采用逐差法，即a1＝＝1.59 m/s2，
a2＝≈1.57 m/s2，a3＝≈1.59 m/s2，
a＝＝≈1.58 m/s2.
答案　见解析
三、v－t图象的理解及应用
图3
例3 物体从静止开始做直线运动，v－t图象如图3所示，则该物体(　　)
A．在第8 s末相对于起点的位移最大
B．在第4 s末相对于起点的位移最大
C．在第2 s末到第4 s末这段时间内的加速度最大
D．在第4 s末和第8 s末在同一位置上
解析　由v－t图象知，在0～6 s内速度方向为正，物体一直沿正方向运动．在t＝6 s末，v－t图象与时间轴所围面积最大，即在6 s末物体相对于起点的位移最大，故A、B均错误．
在4 s～8 s这段时间内，v－t图象的斜率最大，即在这段时间内加速度最大，C错误．
在第4 s末和第8 s末，物体的位移相同，在数值上均等于0～4 s内v－t图象所围的面积，即在4 s末和8 s末，物体位于同一位置上，D正确．
答案　D
四、追及和相遇问题
例4 A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s.因能见度低，B车在距A车500 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1 800 m车才能停下，问：
(1)A车若仍按原速度前进，两车是否会相撞？若会相撞，将在何时何地发生？
(2)B车在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5 s后加速前进，则A车的加速度多大时，才能避免发生事故？
解析　(1)B车刹车时加速度大小aB＝＝ m/s2＝0.25 m/s2.
B车停下来的运动时间tB＝＝ s＝120 s.
设B车刹车后经时间t两车速度相等，即vB－aBt＝vA，
t＝＝ s＝80 s.
此时A车前进距离xA′＝vAt＝10×80 m＝800 m；
B车前进距离xB′＝vBt－aBt2＝30×80 m－×0.25×802 m＝1 600 m.
因xA′＋500 m＝1 300 m设两车相撞时经历时间为t′，则有vBt′－at′2＝vAt′＋x，
即30t′－×0.25t′2＝10t′＋500，解得t′＝31.01 s．(另一根不合题意，舍去)
设相撞处距B车开始刹车处距离为xB″，
则xB″＝vAt′＋x＝10×31.01 m＋500 m＝810.1 m.
(2)设B车恰好不与A车相撞时，A车的加速度为aA，当B车追上A车时，两车速度相等，此时距B车开始刹车的时间为t，
故有xA＋x＝xB，即vAt＋aA(t－Δt)2＋x＝xBt－aBt2，
10t＋aA(t－1.5)2＋500＝30t－×0.25t2，①
且vB－aBt＝vA＋aA(t－Δt)，即30－0.25t＝10＋aA(t－1.5)②
解①②两式得t＝49.43 s，aA＝0.16 m/s2.
故当A车的加速度大于0.16 m/s2时，可避免两车相撞．
答案　(1)会相撞，在B刹车后31.01 s时，离B车开始刹车处810.1 m处　(2)至少为0.16 m/s2.
章 末 检 测
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共60分)
1．匀变速直线运动是(　　)
①位移随时间均匀变化的直线运动　②速度随时间均匀变化的直线运动　③加速度随时间均匀变化的直线运动　④加速度的大小和方向恒定不变的直线运动
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．下列几种情况，不可能发生的是(　　)
A．位移和加速度反向
B．速度和加速度反向
C．加速度不变，速度在变
D．速度不变，加速度在变
3．伽利略在研究自由落体运动时，设计了如图1所示的斜面实验．下列哪些方法是他在这个实验中采用过的(　　)
图1
A．用水钟计时
B．用打点计时器打出纸带进行数据分析
C．改变斜面倾角，比较各种倾角得到的x/t2的比值的大小
D．将斜面实验的结果合理“外推”，说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动
4．汽车刹车后做匀减速直线运动，直到停下来，汽车在刹车后的运动过程中，前一半位移和后一半位移中的平均速度为和，前一半时间和后一半时间中的平均速度为和，则下面说法正确的是(　　)
A.∶＝(＋1)∶1，∶＝1∶3
B.∶＝1∶(－1)，∶＝3∶1
C.∶＝∶1，∶＝3∶1
D.∶＝3∶1，∶＝(＋1)∶1
图2
5．甲和乙两个物体在同一直线上运动，它们的v－t图象分别如图2中的a和b所示，下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻它们的运动方向相同
B．在t2时刻甲与乙相遇
C．甲的加速度比乙的加速度大
D．在0～t2时间内，甲比乙的位移大
6．关于自由落体运动，下面说法正确的是(　　)
A．它是竖直向下，v0＝0，a＝g的匀加速直线运动
B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5
C．在开始连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3
D．从开始运动起依次下落4.9 cm、9.8 cm、14.7 cm，所经历的时间之比为1∶∶
7．一辆警车在平直的公路上以40 m/s的速度巡逻，突然接到报警，在前方不远处有歹徒抢劫，该警车要尽快赶到出事地点且到达出事地点的速度也为40 m/s，有三种行进方式：a一直匀速直线运动；b先减速再加速；c先加速再减速，则(　　)
A．a种方式先到达
B．b种方式先到达
C．c种方式先到达
D．条件不足，无法确定
8．一物体做匀加速直线运动，在第1个t s内位移为x1，第2个t s内位移为x2，则物体在第1个t s末的速度是(　　)
A. B.
C. D.
9．P、Q、R三点在同一条直线上，一物体从P点由静止开始做匀加速直线运动，经过Q点的速度为v，到R点的速度为3v，则PQ∶QR等于(　　)
A．1∶8 B．1∶6
C．1∶5 D．1∶3
10．汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速直线运动追赶甲车，根据上述条件，则(　　)
A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度
B．可求出乙车追上甲车时乙车通过的路程
C．可求出乙车从开始启动到追上甲车的时间
D．不能求出上述三者中的任何一个
二、解答题(每题10分，共40分)
11．在用打点计时器来测定匀变速直线运动的加速度的实验中，
(1)打点计时器应接在________压________电源上，每相邻两点间的时间间隔为________s.
图3
(2)如图3所示，是某次实验得到的纸带，舍去前面比较密集的点，取0点为起始点，每5个连续点取1个计数点，标以1,2,3，……那么相邻两个计数点间的时间间隔为________s，它们间的距离依次为x1＝________，x2＝________，x3＝________.由此可计算出第2个、第3个计数点处的速度分别为v2＝________，v3＝________.整个运动的平均加速度a＝________.(图中标尺分度值是mm)
12．一小孩从20 m高的阳台摔下，与此同时一青年在距离落点12 m处发现并迅速赶过去迎接，设青年以8 m/s2的加速度做匀加速运动，要安全救下小孩，试估算青年的反应时间最多为多少秒．(g取10 m/s2)
13．一列火车进站前先关闭气阀，让车减速滑行．滑行了300 m时速度减为关闭气阀时的一半，此后又继续滑行了20 s停在车站．设火车在滑行过程中加速度始终维持不变，试求：
(1)火车滑行的加速度；
(2)火车关闭气阀时的速度；
(3)从火车关闭气阀到停止滑行时，滑行的总位移．
14．跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当运动180 m时打开降落伞，伞张开运动员就以14.3 m/s2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为5 m/s，问：
(1)运动员离开飞机时距离地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，经过多长时间才能到达地面？(g取10 m/s2)
答案剖析
答案　C
答案　D
解析　只要有加速度，物体的运动速度就发生变化，位移和加速度的方向可以相反，速度和加速度也可以反向，例如物体做匀减速直线运动．
答案　ACD
答案　B
解析　将汽车的运动看作反方向初速为零的匀加速直线运动，则汽车通过后一半位移和前一半位移所用的时间之比为1∶(－1)，再由＝得前一半位移和后一半位移的平均速度之比∶＝1∶(－1)；汽车在后一半时间和前一半时间所通过的位移之比为1∶3，同理可得前一半时间和后一半时间的平均速度之比∶＝3∶1，选项B正确．
答案　A
解析　在t1时刻，甲和乙速度均为正值，两物体均沿正方向运动，A正确．在t2时刻，甲、乙的速度相同，两物体的位移不相同，乙的位移比甲的位移大，B和D均错误．b直线的斜率比a的斜率大，即乙的加速度比甲的加速度大，C错误．
答案　ABC
解析　自由落体运动为初速度为零的匀加速直线运动，加速度为g，所以A对；第一个1 s内的位移x1＝gt，第二个1 s内的位移x2＝g(2t0)2－gt＝gt，第三个1 s内的位移x3＝g(3t0)2－g(2t0)2＝gt，则x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，所以B对；第1 s末的速度v1＝gt0，第2 s末的速度v2＝2gt0，第3 s末的速度v3＝3gt0，则v1∶v2∶v3＝1∶2∶3，所以C对；通过4.9 m的时间t1＝ s，再下落9.8 m的时间t2＝ － s，再下落14.7 m的时间t3＝ － s，则t1∶t2∶t3＝1∶(－1)∶(－)，所以D不对．
答案　C
解析　作出v-t图象如右图所示，从出发点到出事地点位移一定，根据v-t图象的意义，图线与坐标轴所围的面积相等，则只能tc答案　D
解析　v＝v，所以第一个t s末的速度v1＝.
答案　A
解析　设P点到Q点的位移为x1，P点到R点的位移为x2，v2＝2ax1,9v2＝2ax2，所以＝＝.
答案　A
解析　设乙车加速度为a，经时间t乙车追上甲车，则有v0t＝at2.乙车追上甲车时，乙车的速度v乙＝at，解以上两式得v乙＝2v0，A正确，D错误．乙车追上甲车时乙车的位移x乙＝x甲＝v0t＝at2，解得t＝.因a未知，故t和x2都不可能求出，B和C均错误．
答案　(1)低　交流　0.02　(2)0.1　2.50 cm　3.50 cm
4．60 cm　0.30 m/s　0.41 m/s　1.0 m/s2
解析　(2)v2＝＝×10－2 m/s＝0.30 m/s，
v3＝＝×10－2 m/s＝0.41 m/s.
由Δx＝aT 2得a1＝＝＝×10－2 m/s2＝1.0 m/s2，a2＝＝＝×10－2 m/s2＝1.1 m/s2，＝＝1.0 m/s2.
答案　0.27 s
答案　(1)－0.5 m/s2　(2)20 m/s　(3)400 m
解析　由2－v＝2ax1,0＝＋at2解得v0＝20 m/s，
a＝－0.5 m/s2；由2ax2＝2得x2＝100 m，则x总＝x1＋x2＝400 m.
答案　(1)305 m　(2)9.85 s
解析　(1)由v－v＝2gx1可得运动员打开伞时的速度为v1＝60 m/s
运动员打开伞后做匀减速运动，由v－v＝2ax2
可求得运动员打开伞后运动的位移x2＝125 m
运动员离开飞机时距地面高度x＝x1＋x2＝305 m.
(2)自由落体运动的时间为t1＝＝6 s，打开伞后运动的时间为
t2＝＝3.85 s
离开飞机后运动的时间为
t＝t1＋t2＝9.85 s.
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