人教版九年级数学上册全册教案（共74页）
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第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．
重点
通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
活动1 复习旧知
1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？
2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．
(1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)＋1＝0 (4)x2＝1
3．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．
A．0 B．1 C．2 D．3
活动2 探究新知
根据题意列方程．
1．教材第2页 问题1.
提出问题：
(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？
(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？
(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．
2．教材第2页 问题2.
提出问题：
(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？
(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？
3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．
提出问题：
本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？
4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？
活动3 归纳概念
提出问题：
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
(3)归纳一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
提出问题：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．
活动4 例题与练习
例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________．
(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)＋＝2；
(4)2x2－2x(x＋7)＝0.
总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．
例2 教材第3页 例题．
例3 以－2为根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．
练习：
1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．
2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4页 练习第2题．
4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？
作业布置
教材第4页 习题21.1第1～7题.
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(3课时)
第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
重点
运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．
难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题．
问题1：填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)()2 .
问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的两根为t1＝1，t2＝－2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
直接开平方，得：x＋3＝±
即x＋3＝，x＋3＝－
所以，方程的两根x1＝－3＋，x2＝－3－
解：略．
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接开平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材第6页 练习．
四、课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．
五、作业布置
教材第16页 复习巩固1.
第2课时 配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．
重点
讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7
老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得
x＝±或mx＋n＝±(p≥0)．
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16
两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x1＝2，x2＝－8
可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－＝0
三、巩固练习
教材第9页 练习1，2.(1)(2)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
五、作业 教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．
第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重点
讲清配方法的解题步骤．
难点
对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程：
(1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．
五、作业布置
教材第17页 复习巩固3.(3)(4)．
补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．
求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.
21.2.2 公式法
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
重点
求根公式的推导和公式法的应用．
难点
一元二次方程求根公式的推导．
一、复习引入
1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
(1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7
提问1 这种解法的(理论)依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)
2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)
(学生活动)用配方法解方程 2x2＋3＝7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，x2＝(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数化为1，得x2＋x＝－
配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2
即(x＋)2＝
∵4a2>0，当b2－4ac≥0时，≥0
∴(x＋)2＝()2
直接开平方，得：x＋＝±
即x＝
∴x1＝，x2＝
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x
(3)x2－x＋＝0 (4)4x2－3x＋2＝0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补：(5)(x－2)(3x－5)＝0
三、巩固练习
教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；
(2)公式法的概念；
(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．
(4)初步了解一元二次方程根的情况．
五、作业布置
教材第17页 习题4，5
21.2.3 因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并
应用因式分解法解决一些具体问题．
重点
用因式分解法解一元二次方程．
难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上()2，同时减
去()2.(2)直接用公式求解．
二、探索新知
(学生活动)请同学们口答下面各题．
(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？
(2)等式左边的各项有没有共同因式？
(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．
因此，上面两个方程都可以写成：
(1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－.
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式
的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1 解方程：
(1)10x－4.9x2＝0 (2)x(x－2)＋x－2＝0 (3)5x2－2x－＝x2－2x＋ (4)(x－1)2＝(3－2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
三、巩固练习
教材第14页 练习1，2.
四、课堂小结
本节课要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
五、作业布置
教材第17页 习题6，8，10，11.
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．
4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点
根与系数的关系及其推导
难点
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
一、复习引入
1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．
2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝，x2＝.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋与－b－.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
2x2－7x－4＝0
3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝0
小结：根与系数关系：
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．
即：对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
∵a≠0，∴x2＋x＋＝0
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝
(可以利用求根公式给出证明)
例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0
(3)x2－2x＝0 (4)x2＋x＝
(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0
例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2－2x＋1＝0 (x1＝＋1，x2＝－1)
(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝，x2＝)
例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
三、课堂小结
1．根与系数的关系．
2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．
四、作业布置
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0
(4)3x2＋x＋1＝0
2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．
3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.
21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)
第1课时 解决代数问题
1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．
2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步
骤．
通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实
际意义为标准．
重点
利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．
难点
如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．
一、引入新课
1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
2．科学家在细胞研究过程中发现：
(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个
细胞？
二、教学活动
活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第
二轮传染后共有________人患流感．
(2)本题中有哪些数量关系？
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)
人被传染上了流感．于是可列方程：
1＋x＋x(1＋x)＝121
解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？
活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在
生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？
(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；
两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．
(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；
二月(或二年)后产量为a(1±x)2；
n月(或n年)后产量为a(1±x)n；
如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.
(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．
2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．
3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝
b(常见n＝2)．
4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．
作业布置
教材第21－22页 习题21.3第2－7题．
第2课时 解决几何问题
1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．
2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．
3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题
的实际意义为标准．
重点
通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．
难点
在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．
活动1 创设情境
1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．
2．如图所示：
(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，
这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．
一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，
这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．
活动2 自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周
的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确
到0.1 cm)．
(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．
(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．
(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，
面积为________cm2.
(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.
(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)
(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？
活动3 变式练习
如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等
宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．
答案：路的宽度为5米．
活动4 课堂小结与作业布置
课堂小结
利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄
清题目中的数量关系．
根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要
进行检验．
作业布置
教材第22页 习题21.3第8，10题．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方
法去描述变量之间的数量关系．
2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
重点
二次函数的概念和解析式．
难点
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．
一、创设情境，导入新课
问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成
的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时
的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：
(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；
(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的
年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；
拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条
边长为x (m)，种植面积为y(m2)．
(一)教师组织合作学习活动：
1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．
2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．
(1)y＝πx2 (2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112
(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法．
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．
板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic fun_ction)，称
a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、做一做
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2 (2)y＝－ (3)y＝2x2－x－1
(4)y＝x(1－x) (5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)
2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y＝x2＋1 (2)y＝3x2＋7x－12 (3)y＝2x(1－x)
3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．
四、课堂小结
反思提高，本节课你有什么收获？
五、作业布置
教材第41页 第1，2题.
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开
口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关
性质解决有关问题．
重点
从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象
的内在关系．
难点
画二次函数y＝ax2的图象．
一、引入新课
1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
(4)y＝3(x－1)2＋1
2．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？
3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2
的图象和性质．
二、教学活动
活动1：画函数y＝－x2的图象．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．
(2)提出问题：它的形状类似于什么？
(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．
活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．
(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．
(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同
点？
(3)归纳总结：
共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点
(0，0)．
不同点：开口大小不同．
(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．
活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．
类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性
质．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
图象
(草图)
开口
方向
顶
点
对称轴
最高或
最低点
最值
a＞0当x＝____时，
y有最____值，
是________.
a＜0当x＝____时，
y有最____值，
是________.
活动4：达标检测
函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增
大而减小．
(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．
(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．
答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．二次函数的图象都是抛物线．
2．二次函数y＝ax2的图象性质：
(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的
最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．
作业布置
教材第32页 练习．
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．
2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．
3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
1、从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
2、对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．
一、复习引入
二次函数y＝ax2的图象和特征：
1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点
是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点
是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)．
二、合作学习
在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象．
(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？
(2)顶点和对称轴有什么关系？
(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？
(4)由此，你发现了什么？
三、探究二次函数y＝ax2和y＝a(x－h)2图象之间的关系
1．结合学生所画图象，引导学生观察y＝(x＋2)2与y＝x2的图象位置关系，直观得出y＝x2的图象
y＝(x＋2)2的图象．
2．用同样的方法得出y＝x2的图象y＝(x－2)2的图象．
3．请你总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．
y＝ax2(a≠0)的图象y＝a(x－h)2的图象．
函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线x＝h.
4．做一做
(1)
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2(x＋3)2
y＝－3(x－1)2
y＝－4(x－3)2
(2)填空：
①抛物线y＝2x2向________平移________个单位可得到y＝2(x＋1)2；
②函数y＝－5(x－4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．
四、探究二次函数y＝a(x－h)2＋k和y＝ax2图象之间的关系
1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y＝(x＋2)2＋3的图象．
首先引导学生观察比较y＝(x＋2)2与y＝(x＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y＝(x＋2)2的图象
y＝(x＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示)
再引导学生观察刚才得到的y＝x2的图象与y＝(x＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线
y＝x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝(x＋2)2＋3的图象．
2．做一做：请填写下表：
函数解析式
图象的对称轴
图象的顶点坐标
y＝x2
y＝(x＋2)2
y＝(x＋2)2＋3
3.总结y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系
y＝ax2(a≠0)的图象y＝a(x－h)2的图象
y＝a(x－h)2＋k的图象．
y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)．
口诀：(h，k)正负左右上下移(h左加右减，k上加下减)
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，
y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
4．练习：课本第37页 练习
五、课堂小结
1．函数y＝a(x－h)2＋k的图象和函数y＝ax2图象之间的关系．
2．函数y＝a(x－h)2＋k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质．
六、作业布置
教材第41页 第5题
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2课时)
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．掌握用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数
y＝ax2＋bx＋c的性质．
重点
通过图象和配方描述二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
难点
理解二次函数一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的配方过程，发现并总结y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的内
在关系．
一、导入新课
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________
平移________个单位得到．
2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．
3．二次函数y＝x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
二、教学活动
活动1：通过配方，确定抛物线y＝x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；
(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．
活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；
(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有
什么关系？
活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？
你能把结果写出来吗？
(1)组织学生分组讨论，教师巡视；
(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．
(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？
(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．
活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
活动5：检测反馈
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；
(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；
(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________.
2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.
3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．
4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？
答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－，(－，－)；(2)开口向下，
x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c＝3.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．
作业布置
教材第41页 第6题．
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．
2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．
3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．
重点
二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．
难点
利用图象观察性质．
一、复习引入
1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________
－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当
x＝________时，函数y最________值是________．
抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3
时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．
二、例题讲解
例1 根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；
(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；
(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个
点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；
若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．
例2 已知函数y＝x2－2x－3，
(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象的草图；
(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；
(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?
说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
（2）利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x
轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．
例3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：
a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.
说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：
系数的符号
图象特征
a的符号
a>0
抛物线开口向____
a<0
抛物线开口向____
－的符号
－>0
抛物线对称轴在y轴的____侧
b＝0
抛物线对称轴是____轴
－<0
抛物线对称轴在y轴的____侧
c的符号
c>0
抛物线与y轴交于____
c＝0
抛物线与y轴交于____
c<0
抛物线与y轴交于____
三、课堂小结
本节课你学到了什么？
四、作业布置
教材第40页 练习1，2.
22.2 二次函数与一元二次方程
总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不
等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．
当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x＝－时，
函数y有最小值.
当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－时，
函数y有最大值.
二、新课教学
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
举例：求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．
结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元
二次方程是有密切联系的．
即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分
别是A(x1，0)，B(x2，0)．
例1 已知函数y＝－x2－7x＋，
写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画
出函数图象的草图；
自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值
或最小值．
三、巩固练习
请完成课本练习：第47页1，2
四、课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况的关系．
五、作业布置
教材第47页 第3，4，5，6题.
22.3 实际问题与二次函数(2课时)
第1课时 用二次函数解决利润等代数问题
能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象
的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．
重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
难点
1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．
一、复习旧知，引入新课
1．二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是
一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．
2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？
二、教学活动
活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的
关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整
价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每
件40元，如何定价才能使利润最大？
1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？
2．如果你是老板，你会怎样定价？
3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．
(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期
少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星
期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答
过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．
活动3：达标检测
某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)
之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每
天获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？
作业布置
教材第51～52页 习题第1～3题，第8题．
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何
问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．
重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
一、引入新课
上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．
二、教学过程
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的
面积S最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？
提问2：如何用l表示另一边？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各
为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？
答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
提问5：如何求最值？
答案：x＝－＝－＝15时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积
最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为S m2，与墙平行的一边为x米，则S＝·x＝－＋30x.
提问4：当x＝30时，S取最大值．此结论是否正确？
提问5：如何求自变量的取值范围？
答案：0＜x≤18.
提问6：如何求最值？
答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x＝18时，Smax＝378.
小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．
通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点
处、何时取端点处才有符合实际的最值．
三、回归教材
阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？
四、基础练习
1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．
2．阅读教材第52～54页．
五、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．
2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．
作业布置
教材第52页 习题第4～7题，第9题．
第二十三章 旋转
23．1 图形的旋转
1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．
2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决
一些实际问题．
3．旋转的基本性质．
重点
旋转及对应点的有关概念及其应用．
难点
旋转的基本性质．
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面各题．
将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点
D，作出平移后的图形．
如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的
对称图形△A′B′C′.
3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？
(口述)老师点评并总结：
(1)平移的有关概念及性质．
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质．
(3)什么叫轴对称图形？
二、探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．
请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点呢？从现在到下课时针转了多少度？
分针转了多少度？秒针转了多少度？
(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心．从现在到下课时针转了______
__度，分针转了________度，秒针转了________度．
2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？(老师点评略)
3．第1，2两题有什么共同特点呢？
共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的
角度．
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做
旋转角．
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
下面我们来运用这些概念来解决一些问题．
例1 如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺
时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？
解：(1)旋转中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋转角．
(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
自主探究：
请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬
纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑
板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
老师点评：1.OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心的距离相等．
2．∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作得出：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等．
例2 如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后三角形．
解：(1)连接CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；
(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
三、课堂小结
(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
1．对应点到旋转中心的距离相等；
2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．
四、作业布置
教材第62～63页 习题4，5，6.
23．2 中心对称
23．2.1 中心对称
1．正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点．
2．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．
重点
中心对称的概念及性质．
难点
中心对称性质的推导及理解．
复习引入
问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问题：
1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
2．各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°后都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB
与△COD重合．
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
探索新知
(老师)在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形：
(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；
(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形．
第一步，画出△ABC.
第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△
A′B′C和△A′B′C′，如图(1)和图(2)所示．
从图(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
分别连接对称点AA′，BB′，CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．
下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论．
证明：(1)在△ABC和△A′B′C′中，OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′，
∴AB＝A′B′，同理可证：AC＝A′C′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′；
点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在
线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．
同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的中点．
因此，我们就得到
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形．
例题精讲
例1 如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：(1)连接AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.
(3)顺次连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．
例2 (学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．
课堂小结(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
中心对称的两条基本性质：
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
作业布置
教材第66页 练习
23.2.2 中心对称图形
了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其
他的运用．
重点
中心对称图形的有关概念及其它们的运用．
难点
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
一、复习引入
1．(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？
(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
关于中心对称的两个图形是全等图形．
2．(学生活动)作图题．
(1)作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．
(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．
延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连接CD，则△COD即为所求，如图所示．
二、探索新知
从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，所以，就是线段AB绕
它的中点旋转180°后与它本身重合．
上面的(2)题，连接AD，BC，则刚才的关于中心O对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示．
∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB＝CD
也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．
因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
(学生活动)例1 从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也
是中心对称图形．
老师点评：老师边提问学生边解答的特点．
(学生活动)例2 请说出中心对称图形具有什么特点？
老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点．
例3 求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对
角线互相平分．
证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC，BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，
即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．
三、课堂小结(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
1．中心对称图形的有关概念；
2．应用中心对称图形解决有关问题．
四、作业布置
教材第70页 习题8，9，10.
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
理解点P与点P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)
的运用．
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
重点
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)及其运用．
难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线l，如图，请画出点A关于l对称的点A′.
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．(略)
二、探索新知
(学生活动)如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；
(2)在射线AO上截取OA′＝OA；
(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.
∵△AD′O与△A′D″O全等，
∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，
∴A′(3，－1)，
同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．
(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对
值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相
反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．
例1 如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′，B′即可．
解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的两个端点A(0，1)，B(3，0)关于
原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，0)．
连接A′B′.
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.
(学生活动)例2 已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，
作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称
三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.
三、巩固练习
教材第69页 练习．
四、课堂小结
点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．
五、作业布置
教材第70页 习题3，4.
23．3 课题学习 图案设计
利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．
通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出
一幅幅美丽的图案．
1、设计图案．
2、如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．
一、复习引入
如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答AB与CD有什
么位置关系．
,第2题图) ,第3题图)
如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴l的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间
有什么关系？
如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么
关系？
1．AB与CD平行且相等；
2．过D点作DE⊥l，垂足为E并延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连接C′D′，则C′D′即为所求．
CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在l上并且CD＝C′D′.
3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D，垂足为D，并且CD＝C′D.
二、探索新知
请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计．
例1 (学生活动)学生亲自动手操作题．
按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．
(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)；
(2)把纸片任意撕成两部分(如图b，如图c)；
(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；
(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)(如图c保持不动)；
(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；
(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案．
老师必要时可以给予一定的指导．
三、课堂小结
本节课应掌握：
利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．
第二十四章 圆
24．1 圆的有关性质
24．1.1 圆
经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念．
重点
经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．
难点
理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．
活动1 创设情境，引出课题
1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．
2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？
活动2 动手操作，形成概念
在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．
教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决
定？
教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．
从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所
形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆
O”．
2．小组讨论下面的两个问题：
问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集
合．(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条
件的每个点，都在这个图形上．)
活动3 学以致用，巩固概念
1．教材第81页 练习第1题．
2．教材第80页 例1.
多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O
的距离相等．
活动4 自学教材，辨析概念
1．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：
(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．
(2)圆上任意两点间的线段叫做弧．
(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．
(4)长度相等的两条弧是等弧．(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．)
(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．
2．指出图中所有的弦和弧．
活动5 达标检测，反馈新知
教材第81页 练习第2，3题．
活动6 课堂小结，作业布置
课堂小结
圆、弦、弧、等圆、等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区
别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧
相等的依据．
2．证明几点在同一圆上的方法．
3．集合思想．
作业布置
1．以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
答案：1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
重点
垂径定理及其运用．
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一、复习引入
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫
做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大
于半圆的弧(如图所示)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示或)叫做劣弧．
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、探索新知
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM＝BM，＝，＝，即直径CD平分弦AB，并且平分及.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.
求证：AM＝BM，＝，＝.
分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可．
证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，
∴点A和点B关于CD对称，
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴＝，＝.
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪
水泛滥时，水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然
后运用几何代数解求R.
解：不需要采取紧急措施，
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
R2＝302＋(R－18)2，
R2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34(m)，
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4，
∴不需采取紧急措施．
三、课堂小结(学生归纳，老师点评)
垂径定理及其推论以及它们的应用．
四、作业布置
1．垂径定理推论的证明．
2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．
24．1.3 弧、弦、圆心角
1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．
2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．
重点
圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用．
难点
从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系．
活动1 动手操作，得出性质及概念
1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.
2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？
3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心
角的概念．
如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．
4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．
活动2 继续操作，探索定理及推论
在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O
与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．
学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦也相等．
3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？
4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．
5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？
6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？
综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各
组量也相等．
活动3 学以致用，巩固定理
1．教材第84页 例3.
多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法
解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．
活动4 达标检测，反馈新知
教材第85页 练习第1，2题．
活动5 课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等，以及其应用．
3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想．
作业布置
1．如果两个圆心角相等，那么( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的长．
3．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．
(1)求证：＝；
(2)若C，D分别为OA，OB中点，则＝＝成立吗？
答案：1.D；2.3；3.(1)连接OM，ON，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出＝；(2)成立．
24.1.4 圆周角(2课时)
第1课时 圆周角的概念和圆周角定理
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．
2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．
重点
圆周角的概念和圆周角定理．
难点
用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．
活动1 复习类比，引入概念
1．用几何画板显示圆心角．
2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.
(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．
3．总结圆周角概念．
(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，
可能对角的两边没有要求．
(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．
学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生
再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角
的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．
活动2 观察猜想，寻找规律
教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特
殊情况的图形．
提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学
生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．
教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出
命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
活动3 动手画图，证明定理
1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．
2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？
3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周
角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心
角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．
引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师
点评．
引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一
边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨
论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．
6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．
活动4 达标检测，反馈新知
1．教材第88页 练习第1题．
2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.
3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.
答案：1.略；2.120°；3.120°.
活动5 课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆周角概念及定理．
2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．
作业布置
教材第88页 练习第4题，教材第89页 习题第5题．
第2课时 圆周角定理推论和圆内接多边形
1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．
2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．
3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．
重点
圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．
难点
圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．
活动1 温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
2．如图，若的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A＝________.
如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠
2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.
4．判断正误：
(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )
(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( )
答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略
活动2 探索圆周角定理的“推论”
请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所对的圆周角有多少个？
试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小关系如何？为什么？
让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．
3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
4．师生共同解决教材第87页例4.
活动3 探索圆内接四边形的性质1．教师给学生介绍以下基本概念：
圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．
2．要求学生画一画，想一想：
在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四
个角之间有什么关系？
3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补．
4．课件展示练习：
(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________
；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；
(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝________；
(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；
(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.
(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？
答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．
活动4 巩固练习
1．教材第88页 练习第5题．
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形
的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．
作业布置
教材第89～91页 习题第5，6，13，14，17题．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1 点和圆的位置关系
1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外?d>r；点P在圆上?d＝r；点P在圆内?d
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
4．了解反证法的证明思想．
复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．
重点
点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．
难点
讲授反证法的证明思路．
一、复习引入
(学生活动)请同学们口答下面的问题．
1．圆的两种定义是什么？
2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？
3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？
4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．
(老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
(2)圆规：一个定点，一个定长画圆．
(3)都等于半径．
(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．
二、探索新知
由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，
则有：点P在圆外?d>r；
点P在圆上?d＝r；
点P在圆内?d
设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，
则有：点P在圆外?d>r；
点P在圆上?d＝r；
点P在圆内?d
下面，我们接着研究确定圆的条件：
(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．
(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
(老师在黑板上演示)
(1)无数多个圆，如图(1)所示．
(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．
其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．
(3)作法：①连接AB，BC；
②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；
③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
即不在同一直线上的三个点确定一个圆．
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．
证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．
在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．
例1 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．
作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；
(2)作两线段的中垂线，相交于一点O.
则O就为所求的圆心．图略．
三、巩固练习
教材第95页 练习1，2，3.
四、课堂小结
(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
2．?
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