人教版数学八年级上册
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 证两个直角三角形全等
知识梳理 分点训练
知识点1 用“HL”判定两个直角三角形全等
1. 下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是 ( )
A. 两条直角边分别对应相等 B. 斜边和一锐角分别对应相等
C. 斜边和一条直角边分别对应相等 D. 两个三角形的面积相等
2. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的理由是 ( )
A. HL B. ASA C. AAS D. SAS
3. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF = AC， FD = CD，求证：BE⊥AC.
知识点2 三角形全等的综合判定
4. 如图所示，CD⊥AB， BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O，且∠1=∠2，则下列结论正确的个数为( )
①∠B=∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌Rt△COE；④图中有四组三角形全等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第4题 第5题
5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=3，CE=2，则DE= .
6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
求证：DE=AD－BE.
课后提升 巩固训练
7. 如图，在△ABC中，∠C= 90°， DE⊥AB于E，BE=BC，如果AC= 6，则AD＋DE等于 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
第7题 第8题
8. 将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB =∠CED = 90°，∠A = 45°，∠D= 30°，把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到∠D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为( )
A. 10° B. 20° C. 7. 5° D. 15°
9. 如图，∠ACB =∠CFE= 90°， AB=DE，BC= EF.
求证：AD=CF.
10. 如图，已知AE= DE， AB⊥BC， DC⊥BC，且AB=EC.
求证：BC=AB＋DC.
11. 如图所示，E，B，F，C四点在同一直线上，∠A=∠D=900，BE=FC，AB=DF.
求证：∠DEF=∠ACB.
12. 如图，已知AD， AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.
求证：BC=BE.
13. 如图，BE∥DF，OB=OD，AE=CF.
求证：AB=CD且AB∥CD.
拓展探究 综合训练
14. 如图①，点A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC， BF⊥AC，若AB=CD.
图① 图②
(1)求证：BD平分EF；
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由.
参考答案
1. D
2. A
3. 解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵BF = AC， FD = CD，∴Rt△BDF≌Rt△ADC，∴∠BFD=∠C. 又∵∠BFD＋∠FBD=90°，∴∠C＋∠FBD=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC.
4. D
5. 5
6. 证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD＋∠BCE=90°，∵BE⊥CE，∴∠BEC=90°，即∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，∵AD⊥CE，∴∠ADC=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，BE=CD.∵DE=CE－CD，∴DE=AD－BE.
7. B
8. D
9. 证明：∵∠ACB=∠CFE=90°，∴∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)，∴AC=DF，∴AC－AF=DF－AF，即AD=CF.
10. 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°. 在Rt△ABE和Rt△ECD中，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD(HL).∴BE=CD，∵BC=BE＋EC.∴BC=AB＋DC.
11. 证明：∵BE=FC， ∴BE＋EC=FC＋EC，即BC=FE.在Rt△ABC和Rt△DFE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL)，∴∠DEF=∠ACB.
12. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB=∠AFB=90°.∵AB=AB，AD=AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB=FB，∵AC=AE，AD=AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)， ∴DC=FE.∴DB－DC= FB－FE，即BC=BE.
13. 证明：∵BE∥DF，∠1=∠2.在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OE=OF，
∵AE=CF，∴AE＋OE=CF＋OF，即AO=CO.在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD
(SAS)，∴AB=CD，∠A=∠C，∴AB∥CD.即AB=CD且AB∥CD.
