3.4 相似三角形的判定与性质（2）课时作业

3.4 相似三角形的判定与性质（2）课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
　
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（　　）

A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
2．如图，在△ABC中，已知EF∥BC，=，四边形BCFE的面积为8，则△ABC的面积等于（　　）

A．9 B．10 C．12 D．13
3．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C．1 D．
4．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
6．如图，在?ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，联结AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（　　）

A．FC：FB=1：3 B．CE：CD=1：3 C．CE：AB=1：4 D．AE：AF=1：2．
8．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：16，则DE：BC为（　　）

A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．1：2
9．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
10．在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（　　）

A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
　
二．填空题（共6小题）
11．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形有　 　对．

12．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：　 　．

13．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之比为　 　．

14．如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为　 　．

15．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则=　 　．

16．如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF：GF=1：2，那么矩形DEFG的周长是　 　．

　
三．解答题（共7小题）
17．已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．

18．如图，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D、E在线段AC、BC上，F、G在AB上，如果S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求△ABC的面积．

19．如图，已知梯形上下底边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？

20．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm．
（1）求的值．
（2）若梯形BCED的面积为63cm2，求△ADE的面积．

21．已知：如图，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF?AB．

22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．

23．如图，平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE与AD相交于点F，若BC=8，CD=3，AE=1．求：AF的长．

　




参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，故从4个中任意选2个均相似，即可解题．
解：AB∥CD，AE∥FD
∴图中4个三角形均相似，
从4个中任选2个均相似，
故有C42对相似三角形，故有6对，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证4个三角形均相似是解题的关键．
　
2．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由题意可证△AEF∽△ABC，可得=（）2=，即可求△ABC的面积．
解：∵
∴=
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴=（）2=
∴S△ABC=9S△AEF
∵S四边形BCFE=S△ABC﹣S△AEF=8S△AEF=8
∴S△AEF=1
∴S△ABC=9
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题关键．
　
3．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2=．
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴=，
∴===﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
　
4．【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】由题意可证△ABC是等边三角形，可得AC=AB=BC=6，由AD∥BC，可得CF=2AF，即可求AF的长．
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，AD=AB=BC=6且∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=6
∵点E为边AD的中点
∴AE=DE=3
∵AD∥BC
∴△AEF∽△BFC
∴==
∴CF=2AF
∵AC=CF+AF=3AF=6
∴AF=2
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
　
5．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
　
6．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例的性质即可得出答案．
解：A、∵△AEF∽△EDC，∴，错误；
B、∵△AEF∽△EDC，∴，错误；
C、∵△AEF∽△EDC，∴，∵AE∥BC，∴，∴，正确；
D、∵△AEF∽△EDC，∴，错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例的性质解答．
　
7．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．
解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴△ECF∽△ADE，
∵AD=3CF，
A、FC：FB=1：4，错误；
B、CE：CD=1：4，错误；
C、CE：AB=1：4，正确；
D、AE：AF=3：4．错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
　
8．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据相似三角形的面积比即可求出答案．
解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴=（）2
∴
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．
　
9．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△ABF=DE2：AB2，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：DC=DE：AB=2：5，
∴S△DEF：S△ABF=4：25
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
　
10．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△AHE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长
解：∵四边形EFMN是正方形，
∴EH∥BC，EH=EF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH=EF=MD，
∴=，
设EH=x，则AM=3﹣x，
∴=，
解得：x=2.4，
∴EH=2.4．
答：这个正方形的边长为2.4．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．
　
二．填空题（共6小题）
11．【考点】平行线的性质；相似三角形的判定
【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件识别相似的三角形．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴△DCE∽△BAE，△DCA∽△FEA，△BDA∽△DFE，
∴共有3对相似三角形；
故答案为：3
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，关键是根据已知条件识别相似的三角形．
　
12．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为△ADF∽△ECF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
　
13．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=4：9，
故答案为：4：9．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
14．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．
解：∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=（）2=（）2=，
∵S△AEF=1，
∴S△ABC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC=，
∵EF∥BC，
∴===，
∴==，
∴S△ADF=S△ADC=×=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．
　
15．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B、∠AED=∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键
　
16．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】根据矩形的性质可得出GF∥BC，进而可得出△AGF∽△ABC，设EF=x，则GF=2x，根据相似三角形的性质即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的周长公式即可求出矩形DEFG的周长．
解：设EF=x，则GF=2x，
根据题意得：=，
解得：x=3，
矩形DEFG的周长为（2x+x）×2=6x=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及解一元一次方程，根据相似三角形的性质列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
　
三．解答题（共7小题）
17．【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质．
　
18．【考点】LE：正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】过C作CH⊥AB于H，交DE于M，设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，由于S△CDE=bh=1，S△AFD=ab=1，于是得到a=h，CH=h+b=a+b，根据S△BEG=BG?b=3，得到GB=3a，于是求出S△ABC=AB?CH=（a+b+3a）（a+b）=b2+5，由于ab=2，于是求得2a2+b2=b2，通过化简即可得到结论．
解：过C作CH⊥AB于H，交DE于M，设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，
∴S△CDE=bh=1，S△AFD=ab=1，
∴a=h，∴CH=h+b=a+b，
∵S△BEG=BG?b=3，
∴GB=3a，
∴S△ABC=AB?CH=（a+b+3a）（a+b）=b2+5，
∵ab=2，
∴2a2+b2=b2，
∴b=2a，
∴bb=2，
∴b2=4，
∴S△ABC=b2+5=9．

【点评】本题考查了三角形的面积直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
　
19．【考点】梯形；相似三角形的判定与性质
【分析】设两腰的延长线交于点E，过E作EG⊥CD，交AB于点F，交CD于点G，则FG=32，由条件可得△EAB∽△EDC，可得=，且EG=EF+FG，代入可求得EF，进一步可求得EG．
解：如图，设两腰的延长线交于点E，过E作EG⊥CD，交AB于点F，交CD于点G，则EF⊥AB，FG=32，
∵AB∥CD，
∴△EAB∽△EDC，
∴=，且EG=EF+FG=EF+32，
∴=，
解得EF=48，
则EG=48+32=80，
即梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别为48和32．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键，注意方程思想的应用．
　
20．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由DE∥BC，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，再利用比例线段可求的值；
（2）由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到结论．
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=2cm，BD=3cm，
∴=；

（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=，
∵梯形BCED的面积为63cm2，
∴S△ADE=12cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解．
　
21．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
证明：∵DE∥BC，EF∥CD，
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，
∴AD：AB=AF：AD，
∴AD2=AF?AB．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．
　
22．【考点】梯形；相似三角形的判定与性质
【分析】由梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过点O且和两底平行，易得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴OA：OC=OA：OB，
∴OA：AC=OD：BD，
∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，
∴OE：BC=OF：BC，
∴OE=OF．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC是关键．
　
23．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AB=CD=3，推出△EAF∽△EBC，然后根据相似三角形的性质列比例式，即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，
∴△EAF∽△EBC，
∴，
∵BC=8，CD=3，AE=1，
∴BE=4，
∴，
∴AF=2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
　



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