3.4 相似三角形的判定与性质（3）课时作业

中小学教育资源及组卷应用平台


相似三角形的判定与性质（3）课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
　
一．选择题（共8小题）
1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　）
A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角
2．如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（　　）

A．BD=AD B．BC2=AB?CD C．AD2=BD?AB D．CD2=AD?BD
4．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．
其中正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AD于点D，其中，则=（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为（　　）

A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．3.2
8．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（　　）

A．8 B．4 C．10 D．8
　
二．填空题（共8小题）
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为　 　．

10．如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为　 　．

11．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于　 　cm．

12．△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，图中共有　 　对相似三角形．

13．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=15，BM=8，则DE的长为　 　．

14．如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　 　．

15．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，若AB=12，AE=8，∠ABC=∠AED，则AC=　 　．

16．如图，在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，若S四边形ABFE=9，则S三角形EFC=　 　．

　
三．解答题（共6小题）
17．如图所示，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD=8cm，BD=2cm，求CD的长．

18．如图，在△ABC中，∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，
求证：（1）△ADE∽△ABC；（2）求AE的长．

19．如图，在矩形ABCD中，DG⊥AC，垂足为G．
（1）△ADG与△ACD、△CDG与△CAD相似吗？为什么？
（2）若AG=6，CG=12，求矩形ABCD的面积．

20．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在DE的延长线上，且∠EAF=∠B，DE=4，EF=5．
（1）求边AF的长；
（2）如果S△ADE=S△ABC，求边BC的长．

21．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF=3，AG=5，求△ADE与△ABC的周长之比．

22．如图所示：在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE=∠C，
（1）求证：AD2=AE?AB；
（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；
（3）若CD=2，求AD的长．

　




参考答案与试题解析
　
一．选择题（共8小题）
1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的角．
解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”即找两对对应相等的角．
　
2．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题；
解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，
∴△CEF∽△ADF．
（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，
∴△ABE∽△CEF，
（3）∴△ABE∽△ADF．
故有3对．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，两个角相等的两个三角形互为相似三角形．
　
3．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据直角三角形结合垂线的定义，可得出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB，进而可得出△ADC∽△CDB，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
解：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ACB∽△ADC．
同理：△ACB∽△CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴=，
∴CD2=AD?BD．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理找出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB、△ADC∽△CDB是解题的关键．
　
4．【考点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
解：在△ABC与△AEF中，
，
∴△AEF≌△ABC，
∴AF=AC，∠AFE=∠C
∴∠AFC=∠C，
∴∠AFE=∠AFC；
由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，
可知△ADE∽△FDB；
无法得到∠C=∠E；FD=FB．
综上可知：②③正确．
故选：B．

【点评】本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
　
5．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】只要证明△CAD∽△CBA，可得=，推出CA2=CD?CB即可解决问题；
解：∵AD是中线，
∴BD=DC=2，
∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴CA2=CD?CB=2×4=8，
∵AC＞0，
∴AC=2，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中线的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
　
6．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】首先判定△ADB∽△ABC，根据相似三角形的性质可得=，然后再根据勾股定理表示出AB长，进而可得答案．
解：∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴=，
∵，
∴设BC=5x，AC=13x，
∴AB==12x，
∴=，
∴==．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
　
7．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出 =（ ）2=，结合△ADC的面积为1，即可求出△BCD的面积．
解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=（ ）2=，
∵S△ACD=0.8，
∴S△ABC=3.2，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=2.4．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键．
　
8．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】由四边形ABCD为正方形，得到一对直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似证得Rt△ABM∽Rt△MCN，利用对应边成比例，根据BM=x与AB=8，表示出CN=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，知其最大值为2，由AN==知当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，据此解答可得．
解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM=x，
∴=，即=，
整理得：CN=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，
∴当x=4时，CN取得最大值2，
∵AN==，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，
则AN==10，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
二．填空题（共8小题）
9．【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【分析】如图，由勾股定理可以先求出AB的值，再证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质就可以求出结论．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理．得
AB==10，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD=5．
故答案为：5
【点评】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时求出△AED∽△ACB是解答本题的关键．
　
10．【考点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断三角形ABC为直角三角形，再证明△ABC∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出线段BD长．
解：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴∠C=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴△ABC∽△EDB，
∴（）2=，
∵△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，
∴BD=，
故答案为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和相似三角形的判断以及性质的运用，题目的综合性很好，难度不大．
　
11．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到=，从而可求得AC的长，最后计算CD的长．
解：∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴=，即=，
解得AC=8，
∴CD=8﹣2=6cm．
故答案为：6．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．
　
12．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据等角的余角相等可得：∠ACD=∠CBD，利用两角法可确定图中的相似三角形．
解：∵∠ACD+∠DCB=90°，∠CBD+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
结合图形可得：△ACD∽△ABC、△CBD∽△ABC．
综上可得：共3对相似三角形．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，最常用的就是两角法．
　
13．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=15，BM=8，
∴MC=15﹣8=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴=
∴
解得：CG=
∴DG=15﹣=
∵AE∥BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴=
∴=
∴DE=
故答案为：

【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
14．【考点】垂线段最短；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′=，
∴则PQ的最小值为2OP′=，
故答案为：．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
　
15．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由∠ABC=∠AED、∠A=∠A证△ABC∽△AED，据此可得=，代入即可求得答案．
解：∵AB=12且D为AB的中点，
∴AD=6，
∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
则=，即=，
解得：AC=9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
　
16．【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【分析】根据三角形中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题；
解：∵点E，F分别是AC，BC的中点，
∴AB=2EF，EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴=，
∴S四边形ABFE=9=3S△CEF，
∴S△CEF=3，
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
　
三．解答题（共6小题）
17．【考点】相似三角形的判定与性质；射影定理
【分析】由条件可以证明出△ADC∽△CDB，从而就有，再将AD、BD的值代入比例式就可以求出结论．
解：如图，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠2+∠A=90°，∠1+∠B=90°．
∵△ABC是Rt△，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠1，∠B=∠2，
∴△ADC∽△CDB，
∴，．
∵AD=8cm，BD=2cm，
∴，
∴CD=4cm．

【点评】本题考查了直角三角形的性质和相似三角形的判定及性质的运用，在解答时运用直角三角形的性质求出角相等证明三角形相似是关健．
　
18．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）利用“两角法”进行证明；
（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE的长度．
（1）证明：∵∠B=∠AED，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：由（1）知，△ADE∽△ABC，则=，即=．
∵AB=5，AD=3，CE=6，
∴=，
∴AE=9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
　
19．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）运用有两对对应角的三角形相似可得证；
（2）运用（1）中的三角形相似得比例中项：AD2=AG?AC，CD2=CG?AC，求出矩形的长和宽，进而求出矩形的面积．
解：（1）△ADG∽△ACD、△CDG∽△CAD；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=∠DGC=90°，
∴∠ADC=∠AGD，
又∠A=∠A，
∴△ADG∽△ACD，
同理可得：△CDG∽△CAD；
（2）∵△ADG∽△ACD，
∴AD2=AG?AC，
∵△CDG∽△CAD，
∴CD2=CG?AC，
∵AG=6，CG=12，
∴AC=18，
∴AD=6，CD=6，
∴S矩形ABCD=AD×CD=6×6=108．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及面积的计算，建立数学模型，熟悉此图形中的比例中项是解决此类问题的关键．
　
20．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由DE∥BC，得到∠B=∠ADF，又∠EAF=∠B，所以∠EAF=∠ADF，易证△ADF∽△EAF，得到AF2=DF?EF，即可求出AF的长；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADF，
又∵∠EAF=∠B，
∴∠EAF=∠ADF，
∵∠F=∠F，
∴△ADF∽△EAF，
∴AF2=DF?EF，
∵DE=4，EF=5，
∴DF=9，
∴AF=3；
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE=S△ABC，
∴，
∵DE=4，
∴BC=6．

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，难度不大，解决第一小题时，发现AF是一对相似三角形的公共边是解决问题的关键．
　
21．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．
解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴△ADE与△ABC的周长之比==．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
　
22．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；
（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；
（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．
（1）证明：∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠BAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴=，即AD2=AE?AB；
（2）∠ADC=∠DAE+∠B，∠BED=∠DAE+∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADC=∠BED；
（3）∵∠ADC=∠BED，∠B=∠C，
∴△ADC∽△DEB，
∴=，即=，
解得，BE=2.4，
由（1）得，AD2=AE?AB=12，
则AD=2．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
　





















































21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)