3.4 相似三角形的判定与性质(4)课时作业

3.4 相似三角形的判定与性质(4)课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
　
一．选择题（共8小题）
1．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
3．如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B． C．∠B=∠ADE D．∠C=∠E
4．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（　　）
A．1： B．1：3 C．1：8 D．1：9
6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
7．如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：（1）=，（2）=，（3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN=∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二．填空题（共7小题）
9．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点．=，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
10．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于　 　．
11．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=　 　时，△AMN与原三角形相似．
12．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是　 　．（只填一个即可）
13．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是　 　．（只写一种情况即可）
14．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
15．如图，（1）若AE：AB=　 　，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E=　 　，则△ABC∽△AEF．
　
三．解答题（共6小题）
16．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2．求证：△ACD∽△ABC．
17．已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
18．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB．
20．如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
21．已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
　


参考答案与试题解析
　
一．选择题（共8小题）
1．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
　
2．【考点】菱形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定
【分析】通过菱形的判定正方形的判定可判断A，B，根据相似三角形的判定可判断C，D．
解：A．：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A错误
B：对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B错误
C：两角分别相等的两个三角形相似，则C正确
D：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练运用这些判定解决问题．
　
3．【考点】相似三角形的判定
【分析】证出∠DAE=∠BAC，由相似三角形的判定方法即可得出结果．
解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加，无法判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
B、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC=∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
　
4．【考点】相似三角形的判定
【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，=，即=，
解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB时，=，即=，
解得：x=，
则这样的点P共有3个，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
　
5．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED的值．
解：∵==，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：8，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
　
6．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．
解：∵，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．
　
7．【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理判定即可．
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，
∵∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∵=，
∴△ABC∽△ADE，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
　
8．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【分析】依据△ABM∽△ACN，即可得出△AMN∽△ABC，进而得到∠AMN=∠ABC；依据△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，可得图中共有8对相似三角形；依据AN=AC，△AMN∽△ABC，即可得到，即BC=2MN．
解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ANC=∠AMB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ABM∽△ACN，
∴，即，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠ABC，故①正确；
由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，
∴图中共有8对相似三角形，故②正确；
∵Rt△ACN中，∠A=60°，
∴∠ACN=30°，
∴AN=AC，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，
即BC=2MN，故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合运用，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
　
二．填空题（共7小题）
9．【考点】相似三角形的判定
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
10．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．
解：∵∠AEC=∠BED，
∴当=时，△BDE∽△ACE，
即=，
∴CE=．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
　
11．【考点】相似三角形的判定
【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，
①若△AMN∽△ABC，
则=，
即=，
解得：AN=2；
②若△AMN∽△ACB，
则=，
即=，
解得：AN=4.5；
故AN=2或4.5．
故答案为：2或4.5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
　
12．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似，添加条件可得．
解：∵∠A=∠D=80°，==，
∴当=，即=，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
　
13．【考点】相似三角形的判定
【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．
解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．
　
14．【考点】相似三角形的判定
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
15．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
解：（1）若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；
（2）若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．
故答案为：AF：AC，∠B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
　
三．解答题（共6小题）
16．【考点】相似三角形的判定
【分析】首先利用已知得出=，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
证明：∵==，==
∴=，
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
　
17．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；
证明：∵AC=3，AB=5，AD=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
　
18．【考点】相似三角形的判定
【分析】利用计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴====，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
　
19．【考点】LB：矩形的性质；相似三角形的判定
【分析】只要证明△AFE∽△BAE，得 =，即可推出 =，而∠BED=∠BED，可得△FED∽△DEB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴∠AFE=∠BAE，∵∠AEF=∠BEA，
∴△AFE∽△BAE，
得 =，
又∵AE=ED，
∴=，而∠BED=∠BED，
∴△FED∽△DEB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
20．【考点】相似三角形的判定
【分析】设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8﹣x，CQ=2x，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP=AC﹣AP=8﹣x，CQ=2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x=4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x=秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
【点评】本题主要利用相似三角形对应边成比例求解，因为对应边不明确，所以要分两种情况讨论求解．
　
21．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【分析】（1）先利用相似三角形的性质得∠BAD=∠CAE，则∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，从而得到结论；
（2）先利用△ABD∽△ACE得到=，再利用比例性质得=，加上∠DAE=∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．
证明：（1）∵△ABD∽△ACE．
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴=，
∴=，
而∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质．