3.4 相似三角形的判定与性质（5）课时作业

3.4 相似三角形的判定与性质（5）课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
　
一．选择题（共9小题）
1．以下条件不可以判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　）
A．== B．=，且∠A=∠A’
C．∠A=∠B’，∠B=∠C’ D．=，且∠A=∠A’
2．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（　　）
A． B． C． D．
3．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（　　）
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列条件中，不能判断△ABC与△A′B′C′相似的是（　　）
A．∠A=45°，∠C=26°，∠A′=45°，∠B′=109°
B．AB=1，AC=，BC=2，A′B′=6，A′C′=9，B′C′=12
C．AB=1.5，AC=，∠A=36°，A′B′=2.1，A′C′=1.5，∠A′=36°
D．AB=2，BC=1，∠C=90°，A′B′=，B′C′=，∠B′=90°
8．如图，△ABC中，AB=4，BC=6．点D，点E分别是边AB，BC上的两个动点，若按照下列条件将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（　　）
A．∠BDE=∠C B．DE∥AC C．AD=3，BE=2 D．AD=1，CE=4
9．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为　 　．
11．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有　 　（填序号）
12．如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形的个数是　 　．
13．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为　 　．
14．在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，当=　 　时，△ABC∽△DEF．
15．如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D也在格点位置（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D的坐标是　 　．
　
三．解答题（共6小题）
16．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
17．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于F．
（1）求证：△AGC∽△EFB．
（2）除（1）中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．
19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且==．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
20．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．
21．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共9小题）
1．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对B、D进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对C进行判断．
解：A、因为==，所以△ABC∽△A′B′C′，即A选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
B、因为=，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′，即B选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
C、因为∠A=∠B′，∠B=∠C′，所以△ABC∽△B′C′A′，即C选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似；
D、因为=，∠C=∠C′，所以△ABC∽△A′B′C′，即D选项不可以判断△ABC与△A′B′C′相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
　
2．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据已知分别求得各个小三角形的边长，从而根据三组对应边的比相等的三个三角形相似，得到与△ABC相似的三角形图形．
解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2，，，同理求得：
A中三角形的各边长为：，1，，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；
故选：A．
【点评】此题是识图题，既考查相似三角形判定，又考查观察辨别能力，同时还考查计算能力．
　
3．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
　
4．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：（1）剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
（2）剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
（3）两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
（4）两三角形两角对应相等，故两三角形相似．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
　
5．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
解：∵∠APD=90°，
而∠PAB≠∠PCB，∠PBA≠∠PAC，
∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故B、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AB=PA，AC=PA，AD=PA，BD=2PA，
∴
∴
∴△ABC∽△DBA，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
　
6．【考点】相似三角形的判定
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．
　
7．【考点】相似三角形的判定
【分析】考查相似三角形的判定问题，只要对应角相等，即形状相同，大小是没有限制的．
解：A中对应角相等，所以可判断其相似，A正确；
B中三边对应成比例，即三角形的形状相同，所以相似，大小没有限制，比例常数是没有限制的，所以B对；
C中∠A相等，边长比确定，即形状确定，所以C也相似，正确；
D中对应角不相等，当A′C′=时，才会相似，所以D错误．
故选：D．
【点评】题中综合了多种情况的三角形相似，可以是对应角相等，也可以是一个角相等，但角的两边对应成比例，题中条件应认真分析，综合考虑．
　
8．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、∠BDE=∠C，∠B=∠B，故两三角形相似，故本选项错误；
B、DE∥AC，故两三角形相似，故本选项错误；
C、，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
　
9．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵==，对应边 ==，≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、∵=，对应边 =，即：=，∠C=∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C、∵=，对应边 ==，≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、∵==，
=，≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
　
二．填空题（共6小题）
10．【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，=，即=，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，=，即=，解得AP=．
故答案为：4或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
　
11．【考点】相似三角形的判定
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．
　
12．【考点】相似三角形的判定
【分析】先利用勾股定理计算出BC=，BD=2，BF=EF=，BE=2，EK=HG=，FG=，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF与△ABC是否相似．
解：AB=1，AC=，BC==，CD=1，BD=2，DE=2，BF=EF=，BE=2，FH=2，EK=HG=，FG==，BG=5，
∵=，=，=，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵=，==2，==2，
∴△DEB∽△ABC；
∵=，==，==，
∵△FBG∽△ABC；
∵=，==，==，
∴△HGF∽△ABC；
∵=，==，==，
∴△EKF与△ABC不相似．
故答案为3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似．也考查了勾股定理．
　
13．【考点】相似三角形的判定
【分析】分两种情况：①△AMN∽△ABC，②△AMN∽△ACB，进行讨论，再利用相似三角形的性质得出答案．
解：∵△AMN和△ABC相似，
∴①如图1，△AMN∽△ABC，
∴，
∵AM=3，AC=6，BC=12，AB=9，
∴，MN=4．
②如图2，△AMN∽△ACB，
∴，
∵AM=3，AC=6，BC=12，
∴，MN=6，
综上MN为4或6．
故答案为：4或6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
　
14．【考点】相似三角形的判定
【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．
解：∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，
∵BC：EF=2：1．
∴△ABC∽△DEF．
故答案为：2
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．
　
15．【考点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【分析】根据方格中小正方形的边长为1，求得三角形ABC的各边长，然后利用相似三角形的对应边的比成比例即可求得点D的坐标．
解：∵方格中小正方形的边长为1，
∴AB=1、BC=、AC=，
∵△DBC与△ABC相似，
∴BC=、CD=2、BD=，
如图可知这样的点D如图：
坐标分别为：（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
故答案为：（0，0）或（3，2）或（3，3）或（4，1）
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是求出格点三角形的各边的长，然后利用相似三角形的性质求解．
　
三．解答题（共6小题）
16．【考点】相似三角形的判定
【分析】计算对应边的比值，若相等则相似，若不相等则不相似．
解：∵，
∴这两个三角形相似．
【点评】本题考查了三边对应成比例的两个三角形相似．
　
17．【考点】相似三角形的判定
【分析】利用格点三角形的知识求出AB，BC及EF，DE的长度，继而可作出判断．
解：△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，
∵=，==，==，
∴==，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
　
18．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AE，得到∠FDG=∠FEG=90°，求出∠BFE=∠DGE，根据相似三角形的判定得到结论即可；
（2）根据相似三角形的判定解答即可．
（1）证明
∵CD⊥AB，EF⊥AE
∴∠FDG=∠FEG=90°
∴∠DGE+∠DFE=360°﹣90°﹣90°=180°
又∠BFE+∠DFE=180°，
∴∠BFE=∠DGE，
又∠DGE=∠AGC
∴∠AGC=∠BFE，
又∠ACB=∠FEG=90°
∴∠AEC+∠BEF=180°﹣90°=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BEF，
∴△AGC∽△EFB；
（2）有．
∵∠GAD=∠FAE，∠ADG=∠AEF=90°，
∴△AGD∽△AFE；
∴∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
同理得△BCD∽△BAC，
∴△ACD∽△CBD，
即△ACD∽△ABC∽△CBD，
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
　
19．【考点】相似三角形的判定
【分析】（1）先根据题意得出△ABC∽△AED，由相似三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据题意得出=，再由∠BAE=∠CAD即可得出结论．
解：（1）∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵==，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD；
（2）△ABE与△ACD相似．
∵=，
∴=．
在△ABE与△ACD中，
∵=，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
　
20．【考点】全等三角形的判定；相似三角形的判定
【分析】（1）要证△ABD∽△DCE，根据已知，可知∠B=∠C，只需要再证∠DEC=∠ADB，利用三角形的外角等于不相邻的两内角之和，可证．那么△ABD∽△DCE；
（2）由（1）中的相似，再加一个条件，即能全等，比如加上AB=CD即可．那么AB=AC=CD，再由△ABD≌△DCE，可得∠ADC=∠CAD，那么就有2∠EDC+45°=90°，即∠EDC=22.5度．
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°，
又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），
同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE．
（2）在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，
（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求．
∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE，
∵AB=AC，
∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°．
【点评】本题利用了三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，相似三角形、全等三角形的判定和性质．
　
21．【考点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定
【分析】（1）根据勾股定理计算出AC=5，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△AQP∽△ACB，即=；当=，△AQP∽△ABC，即=，然后分别利用比例的性质求t的值；
（2）分类讨论：当AQ=AP时，2t=3﹣t，易得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，根据等腰三角形的性质得AM=MQ=t，再证明△AMP∽△ABC，利用相似比得到=，然后解方程求出t的值；当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，根据等腰三角形的性质得AN=BN=（3﹣t），再证明△ANQ∽△ABC，利用相似比得=，然后解方程求出t的值．
解：（1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC==5，
∵∠A=∠A，
∴当=时，△AQP∽△ACB，即=，解得t=（s）；
当=，△AQP∽△ABC，即=，解得t=（s）；
∴当t为s或s时，△APQ与△ABC相似；
（2）当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；
当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，
∴△AMP∽△ABC，
∴=，即=，解得t=（s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN=（3﹣t），
QN∥BC，
∴△ANQ∽△ABC，
∴=，即=，解得t=（s），
∴当t为1s或s或s，△APQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．也考查了等腰三角形的判定与性质．