第二章 直角三角形的边角关系单元小结（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 直角三角形的边角关系单元小结（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-27 17:29:00 | ||
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文档简介
第二章 直角三角形的边角关系
本章小结
基础知识梳理
锐角三角函数：
一、锐角三角函数的相关概念：
1.锐角A的正弦、余弦、正切统称为① 。sinA=② ，
cosA=③ ，tanA=④ ,其中0 2.特殊角的三角函数值
sin30°=⑤ ,sin45°=⑥ , sin60°=⑦ ,
COS30°=⑧ ,cos45°=⑨ , cos60°=⑩ ,
tan30°= ,tan45°= , tan60°= .
二、解直角三角形及其应用：
1.常用的几个数量关系：
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B= ，
a2+b2= ，sinA=cosB= ,
cos A=sinB= ,tan A= .
2.解直角三角形的类型及解法(Rt△ABC,如图所示)
已知一边及一锐角
已知两边
已知条件（两个）
条直角边和一个锐角(a,∠A)
斜边和一个锐角(c,∠A)
两条直角边(a,b)
斜边和一条直角边(c,a)
解法
(1)∠B=90°-∠A
(2)sinA=→c=
(3)b=或tanB=→b=a tanB
(1)∠B=90°-∠A
(2)sinA=→a=c·sinA
(3)cosA=→b=c·cosA或b=
(1)c=
(2)tanA=→∠A
(3)∠B=90o-∠A
(1)b=
(2)sinA=→∠A
(3)∠B=90o-∠A
3.仰角、俯角、坡度、方位角
仰角是视线在水平线上方,视线与水平线的夹角。
俯角是 。
坡度是 。
方位角是 。
典型例题剖析
剖析点一锐角三角函数的计算
【例1】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,求sinA,cosB和tanB的值。
思路分析:由BC=6和tanA=,可先求出AC的长,再利用勾股定理求AB的长,得到Rt△ABC的三边后,sinA,cosB和tanB的值也就确定了。
解:∵BC=6, tanA==，
∴AC== 6×=8。
∴tan B===。
又∵∠C=90o ∴ AB===10
∴sinA===，cos B
方法总结:
关于锐角三角函数的计算,应熟练掌握正弦余弦、正切的概念.在直角三角形中,若边长已知可直接求值,若边长未知,一般先根据已知关系及勾股定理求出边长,再进行计算。
跟踪练习
1.如图所示,已知△ABC,∠C=90°,tanA=,D是AC上一点,∠CBD=∠A,则sin∠ABD= .
剖析点二锐角三角函数的应用
【例2】周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈妈在湖心岛
处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到达A接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈ 0.75,≈1.41,
≈1.73)
思路分析:过点P作PD⊥AB于点D,分别在Rt△PAD和Rt△PBD中求得PD和PB即可。
解:过点P作PD⊥AB于点D,由已知得PA=200米,∠APD=30°,∠B=37o
在Rt△PAD中,由cos∠APD=,得PD=PA·cos30°=200×=100(米).在Rt△PBD中,由sin37°=，得PB=≈288(米)
答:小亮与妈妈的距离约为288米。
方法总结
解答本题的关键是从实际问题中构造出直角角形并求解
跟踪练习
2.学校校园内有一小山坡,如图所示,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米.为方便学生行走,学校决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比为1:3(即CD与BC的长度之比),A,D两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD。
聚焦历年中考
1.(2017·天津中考)sin60°的值等于( )
A. B. C. D.
2.(2018·烟台中考)如图所示,是我们数学课本上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器计算cos55°,按键顺序正确的是( )
3.(2017·威海中考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90o,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( )
A.5÷tan26o= B.5÷sin26o=
C.5×cos26°= D.5×tan26°=
4.(2018·聊城中考）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一,也是全球首座建筑与摩天轮相结 6·聊城中考)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲合的城市地标,如图所示,点O是摩天轮的圆心长为110米的AB是其垂直地面的直径,小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°,测得圆心O的仰角为21°,则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65,tan21o≈0.38)( )
A.169米 B.204米 C.240米 D.407米
5.(2018·广东中考)如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosa的值是( )
A. B. C. D.
6.(2017·乐山中考)如图所示,在Rt△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )
A.sinB=AD/AB B.sinB=AC/BC C.sinB=AD/AC D.sinB=CD/AC
7.(2016·重庆中考)如图所示,某办公大楼正前方有根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是米,梯坎坡度i=1:,则大楼AB的高度约( )(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4
8.(2018·济南中考)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图所示,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )
A.47m B.51m C.53m D.54m
9.(2018·泰安中考)如图所示,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为( )(由科学计算器得到sin68°≈0.9272,sin46o≈0.7193,sin22o≈0.3746,sin44o≈0.6947)
A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.63
10.(2016·柳州中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90o, AB=13,AC=7,则sinB= .
11.(2016·巴中中考)如图所示,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠AOB= .
12.(2018·陕西中考)请从以下两个小题中任选作答,若多选,则按第一题计分.
A.一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是 .
B.运用科学计算器计算:3sin73°52'≈ (结果精确到0.1)
13.(上海中考)已知在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°,将△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C处,此时点C落在点D处,延长线段AD,交原△ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于 .
14.(2016·新疆中考)如图所示,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,D点测得
∠ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
15.(2018·上海中考)如图所示,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为
米.(精确到1米,参考数据:≈1.73)
16.(2017·江西中考)如图①所示是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.
(1)当∠AOB=18°时,求所作圆的半径.(结果精确到0.01cm)
(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)
(参考数据:sin9o≈0.1564,cos9o≈0.9877,sin18o=0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器)
17.(2017·黄冈中考)“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力量,从仓储D处调集救援物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C,B,A三个码头中的一处,再用货船运到小
岛O.已知:OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°,CD=20km.若汽车行驶的速度为 50km/h,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵小岛O?(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同,参考数据:≈ 1.4,≈1.7)
18.(2018·济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.
(1)求新坡面的坡角a.
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由
19.(2017·潍坊中考)如图所示,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度.(结果保留根号)
参考答案及解析
基础知识梳理
①∠A的三角函数 ②∠A的对边/斜边 ③∠A的邻边/斜边
④∠A的对边/∠A的邻边 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
⑩ 1 90o C2
视线在水平线下方,视线与水平线的夹角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角
典型例题剖析
跟踪练习
1. 解析:∵∠A=∠CBD,tanA=1/2,
∴tan∠CBD=1/2,??CD=a，∴BC=2a,AC=4a,
∴AB=2a,BD=a.过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB。
∴,∴DE=.
∴sin∠ABD=.
2.解:设CD=X米，则BC=3X米。
∵∠ABC=30°,AB=12米,∴AC=6米。
∵BC=AC,∴BC=6米。∴3X=6，∴X=2.
∴AD=AC-CD=(6-2)米
答:开挖后小山坡下降的高度AD为(6-2)米。
聚焦历年中考
C
C 解析:利用该型号计算器计算cos55°,按键顺序正确的是C
D 解析:由 tanB=,得AC=BC·tanB=5×tan26o故选D。
B 解析:过点C作CD⊥AB于点D 。在Rt△ACD中,AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°;
在Rt△DCO中,OD=CD·tan∠DCO=CD·tan21°。
∵AB=110m ∴AO=55m.
∴AO=AD-OD=CD·tan 33o-CD·tan21o=55m,
∴CD=
故选B.
D 解析:由勾股定理得OA==5
所以cosa=4/5 故选D。
C解析;在R△ABC中,∠BC=B=
C 解析：在Rt△ABC中，∠ABC=90o，sinB=AC/BC
∵AD⊥BC ∴sinB=AD/AB.
∵∠BAD+∠B=90°,∠BAD+∠DAC=90o, ∴∠B=∠DAC
∴sinB=sin∠DAC=DC/AC.
综上,只有C不正确,故选C
D 解析:延长AB交DC于点H,过点E作EG⊥AB于点G,如图所示，则GH=DE=15米，EG=DH。
∵梯坎坡度i=1:, 设BH：CH=1：
设BH=X米，则CH=米。在Rt△BCH中，BC=12米。
由勾股定理,得x2+(x)2=122,解得x=±6(负值舍去）∴BH=6米,CH=6米。
∴BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH+CD=(6+20)米。
∵∠a=45o∴△AEG是等腰直角三角形。
∴AG=EG=(6+20)米
∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4(米) 故选D
B 解析:根据题意,得∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30o。∴∠ADB=∠A=30o
∴BD= AB= 60m。 ∴CD=BD.sin60°=60=30≈51m.
故选B。
B 解析:如图所示,过点P作PA⊥MN于点A。
MN=30×2=60(海里）
∵∠MNC=90o，∠CNP=46o，
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136o
∵∠BMP=68o，∴∠PMN=90o-∠BMP=22o，
∴∠MPN=180o-∠PMN-∠PNM=22o。
∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60海里。
∵∠CNP=46o，∴∠PNA=44o
∴PA=PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)
10.7/13 11.1/2
12.8 11.9 解析:A.∵正多边形的外角和为360o,∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8 B.3sin73o52′≈11.9.
13. 4-4 解析:过点C作CH⊥AE于点H,如图所示.
∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=(180o-∠BAC)=(180°-30°)=75o.
∵△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C处,此时点C落在点D处,
∴AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30o,∵∠ACB=∠CAD+∠E,
∴∠E=75o-30o=45o。在Rt△ACH中，∵∠CAH=30o，
∴CH=AC=4,AH=CH=4。
在Rt△CEH中，∵∠E=45o，∴EH=CH=4。
∴DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4.
故答案为：4-4
14.30 解析:∵∠ACB=30°,∠ADB=60o，∴∠CAD=30o。∴AD=CD=60 m。
在Rt△ABD中，AB=AD·sin∠ADB=60= 30m.
故答案为：30
15.208 解析:由题意可得tan30o==,解得：BD=30m。
Tan60o==,解得：DC=90m。
故这建筑物的高度为BC=BD+DC=120≈208(m)
故答案为:208
16.解:(1)过点O作OC⊥AB于点C,如图所示。
由题意可得,OA=OB=10cm,∠OCB=90°,∠AOB=18o，∴sin9°
∴AB=2BC=2OB·sin9o≈2×10×0.1564≈3.13cm即所作圆的半径约为3.13cm。
(2)过点A作AD⊥OB于点D,作AE=AB,如图所示。
∵保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作的圆的大小相等。
∴折断的部分为BE。
∵∠AOB=18o，OA=OB，∠ODA=90o，∴∠OAB=81o，∠OAD=72o。
∴∠BAD=9o，∴BE=2BD=2AB·sin9o≈2×3.13×0.1564≈0.98cm。
即铅笔芯折断部分的长度约是0.98cm。
17,解：∵∠OCA=∠D+∠COD，∴∠COD=30o-15o=15o。
∴CO=CD=20km。
在Rt△OCA中，∵∠OCA=30o， ∴OA=OC=10 km. CA=OA=10≈17km。
在Rt△OBA中，∵∠OBA=45o，∴BA=OA=10km，OB=OA≈14km。
∴BC=17-10=7km.
当这批物资在C码头装船,运抵小岛O时,所用时间=（小时）；
当这物资在B码头装船,运抵小岛O时,所用时间=（小时）；
当这批物资在A码头装船,运抵小岛O时,所用时间=（小时）。
所以这批物资在B码头装船,最早运抵小岛O。
18.解：（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tana=tan∠CAB==.
∴∠a=30o
答:新坡面的坡角a为30o
（2）文化墙PM不需要拆除。
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6米。
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面AC的坡度为1：，∴BD=CD=6米，AD=6米。
∴AB=AD-BD=6-6﹤8，∴文化墙PM不需要拆除。
19.解:如图所示,延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DF⊥BE于点F。
∵∠BCD=150o，∴∠DCF=30o。又∵CD=4米，
∴DF=2米，CF==2米。
由题意得∠E=30o，∴EF=米。∴BE=BC+CF=（6+4）米，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=(2+4)米。
答:电线杆的高度为(2+4)米。
本章小结
基础知识梳理
锐角三角函数：
一、锐角三角函数的相关概念：
1.锐角A的正弦、余弦、正切统称为① 。sinA=② ，
cosA=③ ，tanA=④ ,其中0
sin30°=⑤ ,sin45°=⑥ , sin60°=⑦ ,
COS30°=⑧ ,cos45°=⑨ , cos60°=⑩ ,
tan30°= ,tan45°= , tan60°= .
二、解直角三角形及其应用：
1.常用的几个数量关系：
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B= ，
a2+b2= ，sinA=cosB= ,
cos A=sinB= ,tan A= .
2.解直角三角形的类型及解法(Rt△ABC,如图所示)
已知一边及一锐角
已知两边
已知条件（两个）
条直角边和一个锐角(a,∠A)
斜边和一个锐角(c,∠A)
两条直角边(a,b)
斜边和一条直角边(c,a)
解法
(1)∠B=90°-∠A
(2)sinA=→c=
(3)b=或tanB=→b=a tanB
(1)∠B=90°-∠A
(2)sinA=→a=c·sinA
(3)cosA=→b=c·cosA或b=
(1)c=
(2)tanA=→∠A
(3)∠B=90o-∠A
(1)b=
(2)sinA=→∠A
(3)∠B=90o-∠A
3.仰角、俯角、坡度、方位角
仰角是视线在水平线上方,视线与水平线的夹角。
俯角是 。
坡度是 。
方位角是 。
典型例题剖析
剖析点一锐角三角函数的计算
【例1】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,求sinA,cosB和tanB的值。
思路分析:由BC=6和tanA=,可先求出AC的长,再利用勾股定理求AB的长,得到Rt△ABC的三边后,sinA,cosB和tanB的值也就确定了。
解:∵BC=6, tanA==，
∴AC== 6×=8。
∴tan B===。
又∵∠C=90o ∴ AB===10
∴sinA===，cos B
方法总结:
关于锐角三角函数的计算,应熟练掌握正弦余弦、正切的概念.在直角三角形中,若边长已知可直接求值,若边长未知,一般先根据已知关系及勾股定理求出边长,再进行计算。
跟踪练习
1.如图所示,已知△ABC,∠C=90°,tanA=,D是AC上一点,∠CBD=∠A,则sin∠ABD= .
剖析点二锐角三角函数的应用
【例2】周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈妈在湖心岛
处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到达A接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈ 0.75,≈1.41,
≈1.73)
思路分析:过点P作PD⊥AB于点D,分别在Rt△PAD和Rt△PBD中求得PD和PB即可。
解:过点P作PD⊥AB于点D,由已知得PA=200米,∠APD=30°,∠B=37o
在Rt△PAD中,由cos∠APD=,得PD=PA·cos30°=200×=100(米).在Rt△PBD中,由sin37°=，得PB=≈288(米)
答:小亮与妈妈的距离约为288米。
方法总结
解答本题的关键是从实际问题中构造出直角角形并求解
跟踪练习
2.学校校园内有一小山坡,如图所示,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米.为方便学生行走,学校决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比为1:3(即CD与BC的长度之比),A,D两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD。
聚焦历年中考
1.(2017·天津中考)sin60°的值等于( )
A. B. C. D.
2.(2018·烟台中考)如图所示,是我们数学课本上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器计算cos55°,按键顺序正确的是( )
3.(2017·威海中考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90o,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( )
A.5÷tan26o= B.5÷sin26o=
C.5×cos26°= D.5×tan26°=
4.(2018·聊城中考）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一,也是全球首座建筑与摩天轮相结 6·聊城中考)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲合的城市地标,如图所示,点O是摩天轮的圆心长为110米的AB是其垂直地面的直径,小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°,测得圆心O的仰角为21°,则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65,tan21o≈0.38)( )
A.169米 B.204米 C.240米 D.407米
5.(2018·广东中考)如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosa的值是( )
A. B. C. D.
6.(2017·乐山中考)如图所示,在Rt△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )
A.sinB=AD/AB B.sinB=AC/BC C.sinB=AD/AC D.sinB=CD/AC
7.(2016·重庆中考)如图所示,某办公大楼正前方有根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是米,梯坎坡度i=1:,则大楼AB的高度约( )(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4
8.(2018·济南中考)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图所示,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )
A.47m B.51m C.53m D.54m
9.(2018·泰安中考)如图所示,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为( )(由科学计算器得到sin68°≈0.9272,sin46o≈0.7193,sin22o≈0.3746,sin44o≈0.6947)
A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.63
10.(2016·柳州中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90o, AB=13,AC=7,则sinB= .
11.(2016·巴中中考)如图所示,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠AOB= .
12.(2018·陕西中考)请从以下两个小题中任选作答,若多选,则按第一题计分.
A.一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是 .
B.运用科学计算器计算:3sin73°52'≈ (结果精确到0.1)
13.(上海中考)已知在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°,将△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C处,此时点C落在点D处,延长线段AD,交原△ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于 .
14.(2016·新疆中考)如图所示,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,D点测得
∠ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
15.(2018·上海中考)如图所示,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为
米.(精确到1米,参考数据:≈1.73)
16.(2017·江西中考)如图①所示是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.
(1)当∠AOB=18°时,求所作圆的半径.(结果精确到0.01cm)
(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)
(参考数据:sin9o≈0.1564,cos9o≈0.9877,sin18o=0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器)
17.(2017·黄冈中考)“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力量,从仓储D处调集救援物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C,B,A三个码头中的一处,再用货船运到小
岛O.已知:OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°,CD=20km.若汽车行驶的速度为 50km/h,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵小岛O?(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同,参考数据:≈ 1.4,≈1.7)
18.(2018·济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.
(1)求新坡面的坡角a.
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由
19.(2017·潍坊中考)如图所示,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度.(结果保留根号)
参考答案及解析
基础知识梳理
①∠A的三角函数 ②∠A的对边/斜边 ③∠A的邻边/斜边
④∠A的对边/∠A的邻边 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
⑩ 1 90o C2
视线在水平线下方,视线与水平线的夹角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角
典型例题剖析
跟踪练习
1. 解析:∵∠A=∠CBD,tanA=1/2,
∴tan∠CBD=1/2,??CD=a，∴BC=2a,AC=4a,
∴AB=2a,BD=a.过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB。
∴,∴DE=.
∴sin∠ABD=.
2.解:设CD=X米，则BC=3X米。
∵∠ABC=30°,AB=12米,∴AC=6米。
∵BC=AC,∴BC=6米。∴3X=6，∴X=2.
∴AD=AC-CD=(6-2)米
答:开挖后小山坡下降的高度AD为(6-2)米。
聚焦历年中考
C
C 解析:利用该型号计算器计算cos55°,按键顺序正确的是C
D 解析:由 tanB=,得AC=BC·tanB=5×tan26o故选D。
B 解析:过点C作CD⊥AB于点D 。在Rt△ACD中,AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°;
在Rt△DCO中,OD=CD·tan∠DCO=CD·tan21°。
∵AB=110m ∴AO=55m.
∴AO=AD-OD=CD·tan 33o-CD·tan21o=55m,
∴CD=
故选B.
D 解析:由勾股定理得OA==5
所以cosa=4/5 故选D。
C解析;在R△ABC中,∠BC=B=
C 解析：在Rt△ABC中，∠ABC=90o，sinB=AC/BC
∵AD⊥BC ∴sinB=AD/AB.
∵∠BAD+∠B=90°,∠BAD+∠DAC=90o, ∴∠B=∠DAC
∴sinB=sin∠DAC=DC/AC.
综上,只有C不正确,故选C
D 解析:延长AB交DC于点H,过点E作EG⊥AB于点G,如图所示，则GH=DE=15米，EG=DH。
∵梯坎坡度i=1:, 设BH：CH=1：
设BH=X米，则CH=米。在Rt△BCH中，BC=12米。
由勾股定理,得x2+(x)2=122,解得x=±6(负值舍去）∴BH=6米,CH=6米。
∴BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH+CD=(6+20)米。
∵∠a=45o∴△AEG是等腰直角三角形。
∴AG=EG=(6+20)米
∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4(米) 故选D
B 解析:根据题意,得∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30o。∴∠ADB=∠A=30o
∴BD= AB= 60m。 ∴CD=BD.sin60°=60=30≈51m.
故选B。
B 解析:如图所示,过点P作PA⊥MN于点A。
MN=30×2=60(海里）
∵∠MNC=90o，∠CNP=46o，
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136o
∵∠BMP=68o，∴∠PMN=90o-∠BMP=22o，
∴∠MPN=180o-∠PMN-∠PNM=22o。
∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60海里。
∵∠CNP=46o，∴∠PNA=44o
∴PA=PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)
10.7/13 11.1/2
12.8 11.9 解析:A.∵正多边形的外角和为360o,∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8 B.3sin73o52′≈11.9.
13. 4-4 解析:过点C作CH⊥AE于点H,如图所示.
∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=(180o-∠BAC)=(180°-30°)=75o.
∵△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C处,此时点C落在点D处,
∴AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30o,∵∠ACB=∠CAD+∠E,
∴∠E=75o-30o=45o。在Rt△ACH中，∵∠CAH=30o，
∴CH=AC=4,AH=CH=4。
在Rt△CEH中，∵∠E=45o，∴EH=CH=4。
∴DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4.
故答案为：4-4
14.30 解析:∵∠ACB=30°,∠ADB=60o，∴∠CAD=30o。∴AD=CD=60 m。
在Rt△ABD中，AB=AD·sin∠ADB=60= 30m.
故答案为：30
15.208 解析:由题意可得tan30o==,解得：BD=30m。
Tan60o==,解得：DC=90m。
故这建筑物的高度为BC=BD+DC=120≈208(m)
故答案为:208
16.解:(1)过点O作OC⊥AB于点C,如图所示。
由题意可得,OA=OB=10cm,∠OCB=90°,∠AOB=18o，∴sin9°
∴AB=2BC=2OB·sin9o≈2×10×0.1564≈3.13cm即所作圆的半径约为3.13cm。
(2)过点A作AD⊥OB于点D,作AE=AB,如图所示。
∵保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作的圆的大小相等。
∴折断的部分为BE。
∵∠AOB=18o，OA=OB，∠ODA=90o，∴∠OAB=81o，∠OAD=72o。
∴∠BAD=9o，∴BE=2BD=2AB·sin9o≈2×3.13×0.1564≈0.98cm。
即铅笔芯折断部分的长度约是0.98cm。
17,解：∵∠OCA=∠D+∠COD，∴∠COD=30o-15o=15o。
∴CO=CD=20km。
在Rt△OCA中，∵∠OCA=30o， ∴OA=OC=10 km. CA=OA=10≈17km。
在Rt△OBA中，∵∠OBA=45o，∴BA=OA=10km，OB=OA≈14km。
∴BC=17-10=7km.
当这批物资在C码头装船,运抵小岛O时,所用时间=（小时）；
当这物资在B码头装船,运抵小岛O时,所用时间=（小时）；
当这批物资在A码头装船,运抵小岛O时,所用时间=（小时）。
所以这批物资在B码头装船,最早运抵小岛O。
18.解：（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tana=tan∠CAB==.
∴∠a=30o
答:新坡面的坡角a为30o
（2）文化墙PM不需要拆除。
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6米。
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面AC的坡度为1：，∴BD=CD=6米，AD=6米。
∴AB=AD-BD=6-6﹤8，∴文化墙PM不需要拆除。
19.解:如图所示,延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DF⊥BE于点F。
∵∠BCD=150o，∴∠DCF=30o。又∵CD=4米，
∴DF=2米，CF==2米。
由题意得∠E=30o，∴EF=米。∴BE=BC+CF=（6+4）米，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=(2+4)米。
答:电线杆的高度为(2+4)米。