3.5 相似三角形的应用课时作业

3.5 相似三角形的应用课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A． 0.2m B． 0.3m C． 0.4m D． 0.5m
2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）
A． 五丈 B． 四丈五尺 C． 一丈 D． 五尺
3．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m．
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
4．为测量被荷花池相隔的两树、的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在的垂线上取两点、，再定出的垂线，使、、在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：、；、；、、．能根据所测数据，求得、两树距离的是（ ）
A． (1) B． (1)，(2) C． (2)，(3) D． (1)，(3)
5．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )
A． 40 cm2 B． 20 cm2 C． 25 cm2 D． 10 cm2
6．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）
A． 10米 B． 11.7米 C． 10米 D． (5+1.7)米
7．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
A． 11.5米 B． 11.75米 C． 11.8米 D． 12.25米
8．为测量被池塘相隔的两棵树，的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中位同学分别测得三组数据：，，，，，，其中能根据所测数据求得，两树距离的有（ ）
A． 0组 B． 一组 C． 二组 D． 三组
二、填空题
9．如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为_____cm（圆锥的壁厚忽略不计）．
10．如图，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x=____________mm．
11．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是______米
12．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．
13．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为____米．
14．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=____m．
15．如图所示，甲乙两建筑物在太阳光的照射下的影子的端点重合在C处，若BC=20m，CD=40m，乙的楼高BE=15m，则甲的楼高AD=_____m．
三、解答题
16．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF=1.8m，小华的身高MN=1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF=1.8m，CN=1.5m，且两人相距4.7m，求路灯AD的高度是多少？
17．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
18．如图所示，在距树米的地面上平放一面镜子，人退后到距镜子米的处，在镜子里恰巧看见树顶，若人眼距地面米．
求树高；
和是位似图形吗？若是，请指出位似中心；若不是，请说明理由．
19．如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离．
20．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
21．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．
加工成的正方形零件的边长是多少？
如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△ABO∽△CDO，再由相似三角形的性质可得代入数据计算即可得CD的长.
【详解】
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则 ，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴，
解得：CD=0.4，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，会熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键.
2．B
【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 ；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．
【详解】
解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；
∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°
∴∠ECD=∠CFD
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
有 ；即DC2=ED?FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故选：B．
【点睛】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
4．D
【解析】
【详解】
在①中，
∵AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠ACB=，
∴AB=AC·tan∠ACB；
根据题意可得△ACB∽△ECF，对应线段中至少有三条是已知的，但第②组中只有两条，所以不能够求得AB的长；第③组中，根据相似三角形的性质可得EF：AB=CE：AC，即可求得求出AB的长．
综上，能求得AB长的有①③.
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形及解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象出数学问题，利用所学的数学知识解决．
5．B
【解析】
【分析】
设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】
如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，∵矩形的对边DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，
∴，
即，
解得DG=（8-x），四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．故选：B．
【点睛】
考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF=BH=10，HF=AB=1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH=BH=10，然后计算EH+HF即可．
【详解】
延长BD交EF于H，如图，
∵BD∥AF，EF⊥AF，
∴BH⊥EF，
易得四边形ABHF为矩形，
∴AF=BH=10，HF=AB=1.7，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD=45°，
∴△BHE为等腰直角三角形，
∴EH=BH=10，
∴EF=EH+HF=10+1.7=11.7．
答：旗杆EF的高度为11.7m．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了等腰直角三角形的性质．
7．C
【解析】
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．
【详解】
如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，
∴AE=11.5米，
∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，
∴树的高度是11.8米，
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.
8．D
【解析】
【分析】
根据解直角三角形和相似三角形的知识对三组数据依次判断，即可解答.
【详解】
第①组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；
第②组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；
第③组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．
故选D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和相似三角形的应用，解本题的关键是将实际问题转化为相似三角形和解直角三角的问题来解决．
9．
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质先求出钢球的直径，进一步得到钢球的半径．
【详解】钢球的直径：×20=（cm），
钢球的半径：÷2=（cm），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，圆锥的性质，求出钢球的直径是解题的关键.
10．3.
【解析】
【分析】
本题只需求出AB的长即可得到x，根据相似三角形的应用可求得AB的长.
【详解】
∵OC=OD，AC=OB,
∴OA=OB；∴=；
又∵∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB；故=，即=；
得AB=24mm.∴x=×（30-24）=3（mm）.
故本题答案为3.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例即可解答.
11．11
【解析】
【分析】
过点E作于M，过点G作于利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【详解】
过点E作于M，过点G作于N．
则，，，．
所以，
由平行投影可知，，
即?，
解得，
即电线杆的高度为11米．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12．
【解析】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．
【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC?AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，解得x=，
即正方形DEFG的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.
13．6
【解析】
【分析】
根据题意找出相似三角形，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】
由题意可知，AG为△ABC的高，AF=60cm=0.6m，AG=30m，DE=0.12m，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得BC=6m．
故答案为：6.
【点睛】
本题考查相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即 ，
解得：AB= =100（米）．
故答案为：100．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
15．30
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△CBE∽△CDA，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求AD得长.
【详解】
根据题意得AD∥BE，
∴△CBE∽△CDA，
∴，即，
∴DA=30（m）．
故答案为30．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．
16．路灯AD的高度是4m
【解析】
【分析】
设路灯的高度为x(m)，根据题意可得△BEF∽△BAD，再利用相似三角形的对应边正比例整理得DF=x﹣1.8，同理可得DN=x﹣1.5，因为两人相距4.7m，可得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可.
【详解】
设路灯的高度为x(m)，
∵EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
即，
解得：DF=x﹣1.8，
∵MN∥AD，
∴△CMN∽△CAD，
∴，
即，
解得：DN=x﹣1.5，
∵两人相距4.7m，
∴FD+ND=4.7，
∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，
解得：x=4m，
答：路灯AD的高度是4m．
17．这种测量方法可行，旗杆的高为21.5米．
【解析】分析：根据已知得出过F作FG⊥AB于G，交CE于H，利用相似三角形的判定得出△AGF∽△EHF，再利用相似三角形的性质得出即可．
详解：这种测量方法可行．
理由如下：
设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．
所以△AGF∽△EHF．
因为FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以EH=3.5﹣1.5=2，AG=x﹣1.5．
由△AGF∽△EHF，
得，
即，
所以x﹣1.5=20，
解得x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米．
点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AGF∽△EHF是解题关键．
18．(1)12米;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用入射角与反射角相等可得到∠AEB=∠CED，则可证明△ABE∽△CDE，然后利用相似比计算出AB即可；
（2）根据位似图形的对应点都经过同一个点可判断△ABE和△CDE不是位似图形.
【详解】
解：（1）根据题意得∠AEB=∠CED，
而∠B=∠D，
∴△ABE∽△CDE，
∴，即，
解得AB=12，
答：树高为12米；
和不是位似图形．理由如下：
∵点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，
而不经过点，
∴和不是位似图形．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用入射角与反射角的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了位似变换．
19．两个路灯之间的距离为18米．
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△AMF∽△ABC，设AM=NB=x米，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程求得x的值，即可求得两个路灯之间的距离.
【详解】
由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，
∵MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC
∴=，
∴=
∴x=3
经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．
∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）．
答：两个路灯之间的距离为18米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，能够抽象出相似三角形的数学模型是解决问题的关键．
20．21.2m
【解析】
【分析】
过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．
【详解】
解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M,
∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴，即： ，∴BN=20，∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2答：楼高为21.2米．
【点睛】
本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．
21．加工成的正方形零件的边长是；这个矩形零件的两条边长分别为，；的最大值为，此时，．
【解析】
【分析】
（1）设正方形的边长为xmm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝AD?ED＝80?x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出x即可；
（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80?x，然后与（1）的方法一样求解；
（3）设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
（1）如图，
设正方形的边长为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
∴加工成的正方形零件的边长是；
如图，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴这个矩形零件的两条边长分别为，；
如图，
设，矩形的面积为，
由条件可得，
∴，
即，
解得：．
则，
故的最大值为，此时，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．