3.6 位似课时作业（2）

3.6 位似课时作业（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（　　）
A． （﹣2，﹣4） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣1，﹣4） D． （1，﹣4）
2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点?O在坐标原点，边?OA在?x轴上，OC在?y轴上，如果矩形与矩形OABC关于点?O位似，且矩形与矩形OABC的相似比为，那么点?的坐标是　　
A． B． C． 或 D． 或
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（　　）
A． （2，） B． （1，2） C． （4，8）或（﹣4，﹣8） D． （1，2）或（﹣1，﹣2）
4．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为3∶1，把线段AB缩小得到A′B′，则过A′点对应点的反比例函数的解析式为( )
A． y＝ B． y＝ C． y＝－ D． y＝
5．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A． ﹣2a B． 2a﹣2 C． 3﹣2a D． 2a﹣3
6．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（　　）
A． 2 B． 1 C． 4 D． 2
7．在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． (3,?1) B． (-2,?-1) C． (3,?1)或(-3,?-1) D． (2,?1)或(-2,?-1)
8．如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（ ）
A． (-x,?-y) B． (-2x,?-2y) C． (-2x,?2y) D． (2x,?-2y)
二、填空题
9．如图，△ABC缩小后得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′的位似比为_____.
10．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为_____．
11．如图，已知△ABO顶点A（－3，6），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则与点A对应的点A'的坐标是________．
12．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为_____．
13．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为___．
14．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，点，则点的坐标________．
15．已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
向下平移个单位长度得到的，点的坐标是________；
以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；（画出图形）
的面积是________平方单位．
三、解答题
16．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2,1),B(4,3),C(6,2),D(3,-1). 试将此四边形缩小为原来的 。
17．在12×12的网格中，每个小正方形的边长均为1，建立如图所示的平面直角坐标系，按照要求作图并解答相关问题．
（1）将△ABC围绕这原点O按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，作出与△A1B1C1位似且位似比为1：2的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．
请在图中，画出向左平移6个单位长度后得到的；?
以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中y轴右侧，画出，并求出的正弦值．
19．如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．
（1）画出位似中心点G；
（2）若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣6，0），（-3，2），点P（m，n）是线段AC上任意一点，则点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为　　．
20．如图，在正方形网格纸中有一条美丽可爱的小金鱼，其中每个小正方形的边长为1．
（1）在同一网格纸中，在y轴的右侧将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案；
（2）求放大后金鱼的面积．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【详解】
解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，﹣6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（﹣2，﹣4）
故选：A．
【点睛】
考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键
2．D
【解析】
【分析】
由矩形与矩形OABC关于点O位似，矩形与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为，分两种情况求解即可求得答案．
【详解】
矩形与矩形OABC关于点O位似，位似比为：，点B的坐标为，
当矩形与在第二象限时，点的坐标是：；当矩形与在第四象限时，点的坐标是：．
故选：D．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想及分类思想的应用．
3．D
【解析】
【分析】
利用位似的性质求出A点的对称点.
【详解】
以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，
则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，
即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点睛】
位似与相似：①位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.②如果两个图形是位似图形那么这两个图形必是相似图形,但是相似的两个图形不一定是位似图形,因此位似是相似的特殊情况.利用位似,可以把一个图形放大或缩小.
4．B
【解析】
【分析】
先根据相似比为3：1，求A点对应点的坐标，再利用待定系数法求解析式．
【详解】
∵△A1B1O和△ABO以原点为位似中心，∴△A1B1O∽△ABO，相似比为3：1，∴A1B1=，OB1=2，∴A1的坐标为（2，）或（﹣2，﹣），设过此点的反比例函数解析式为y=，则k=，所以解析式为y=．
故选B．
【点睛】
本题关键运用位似知识求对应点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式．
5．C
【解析】
【分析】
设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，在根据位似比列式计算即可得解.
【详解】
设点的横坐标为，
则、间的横坐标的长度为，、间的横坐标的长度为，
放大到原来的倍得到，
，
解得：.
故选：.
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.
6．A
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．
【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题意即可得出答案．
【详解】
∵A（4，2），B（2，-2）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，
∴对应点A′的坐标分别是：A′（2，1）或（-2，-1）．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离比也等于相似比是解决问题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
由位似比及对称中心以及一点坐标，进而可求这一点关于对称中心在其位似图形中的坐标．
【详解】
∵△OBC与△ODE是以0点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了位似图形关于对称中心对称的问题，能够掌握位似的定义及性质并熟练运用．
9．5∶2
【解析】∵如图，点A的坐标为：（5，0），点A′的坐标为：（2，0），∴OA=5，OA′=2，∴OA：OA′=5：2，∵△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：5：2．故答案是：5：2．
10．（4，－2）
【解析】分析：由以原点O为位似中心，相似比为2，根据位似图形的性质即可得出答案．
详解：∵以原点O为位似中心，B(3，0)的对应点B′的坐标为(6，0)， ∴相似比为2，
∵A(2，－1)，∴点A′的坐标为(4，－2)．
点睛：本题主要考查的是位似图形的性质，属于基础题型．找出相似比是解决这个问题的关键．
11．（-1，2）或（1，-2）
【解析】分析：
根据“以原点为位似中心的位似变换中对应点的坐标与相似比间的关系”进行分析解答即可.
详解：
∵△ABO顶点A（－3，6），
∴以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的时，与点A对应的点A'的坐标是或.
故答案为：或.
点睛：若△ABC中点A的坐标为（a，b），则以原点为位似中心，相似比为k将△ABC进行位似变换，则变换后所得对应点A′的坐标为（ka，kb）或（-ka，-kb）.
12．或
【解析】
【分析】
分两种情形画出图形，即可解决问题；
【详解】
如图，在Rt△AOB中，OB==10，
∴OM=5，OM′=，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=5-=；
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=5+=，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查不位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
13．（1，0）
【解析】分析：利用△ABC与△DEF是位似图形，连接图上对应三点的坐标，连线的交点就是位似中心．
详解：
连接各对应点A，D，与C，F，交点Q即是位似中心的坐标，
∴其位似中心的坐标为：（1，0），
故答案为：（1，0）．
点睛：本题考查了位似图形的位似中心的确定方法．顺次连接各对应点得出位似中心是解决问题的关键．
14．(-4,?-4)
【解析】
【分析】
根据位似关系和对应点的坐标可知两个三角形的位似比，即可知道B′点的坐标.
【详解】
∵△ABC与△A′B′C是位似图形，点A（1，0），A′（-2，0），
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2
∵B（2，2），O是位似中心，
∴B′点的坐标为（-4，-4），
故答案为：（-4，-4）
【点睛】
本题考查位似图形的位似比，图形的相似比等于位似比，熟练掌握相关知识是解题关键.
15．.,,10
【解析】
【分析】
（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标即可，
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到对应点的坐标即可，
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△ 的面积即可.
【详解】
（1）根据平移的性质，点 是点C向下平移个单位，横坐标不变，纵坐标减4，可知点的坐标为（2，-2）
（2）∵△ABC与△是位似图像，位似比是2：1，位似中心为点B
∴ 的坐标为（1，0），
（3）∵==20， ==20，==40，
∴+=，
∴△是等腰直角三角形，
∴△面积是： × ×=10平方单位
故答案为：（1）（2，-2）；（2）（1，0）；（3）10
【点睛】
本题主要考查用坐标表示平移，位似图形，尺规作图，熟练掌握位似图形的性质和平移的性质是解题关键.
16．见解析
【解析】试题分析：首先在平面直角坐标系中标出各点的坐标，得到四边形，然后选择合适的位似中心，分别得出四个点关于位似中心对称后的点的坐标，从而得出四边形．
试题解析：如图所示：
四边形A′B′C′D′即为所求．
点睛：本题主要考查的就是位似图形的一种画法，这个题目的关键就是要确定好位似中心，这个题目的答案也是不确定的，位似中心不同所得到的图形就是不一样的．对应点的连线肯定会经过位似中心，对应线段互相平行，对应角相等，对应边的比值等于相似比．同学们在解答这种问题的时候，位似中心最好是选择坐标原点，这样方便我们进行计算画图．
17．答案见解析
【解析】分析：(1)、根据旋转图形的画法画出图形即可；(2)、根据位似图形的性质画出图形，根据坐标系得出点A2的坐标．
详解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．
点睛：本题主要考查的是旋转图形的性质以及位似图形的性质，属于基础题型．明确性质是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析： 如图所示： ，即为所求；
如图所示： ，即为所求，由图形可知， ，过点A作交BC的延长线于点D，由，易得，故，，即．??
19．（1）作图见解析；（2）P′的坐标为（2m,2n）
【解析】试题分析：（1）连接C′C并延长交A′A的延长线于点G；（2）在线段AC上随机取一点P，连接OP并延长与线段A′C′的交点即为P′，作P′E⊥x轴，PF⊥x轴，不难证明△POF∽△P′OE，由此可得==，然后充分利用位似三角形的性质，求出，即可求出、，即可求出P′E、OE的长度，点P′的坐标即可表示出来.
试题解析：
(1)
（2）如图建立直角坐标系，在线段AC上随机取一点P，连接OP并延长与线段A′C′的交点即为P′，作P′E⊥x轴，PF⊥x轴，
∵P′E⊥x轴，PF⊥x轴，
∴∠P′EO=∠PFO=90°，
∵∠POF=∠P′OE，
∴△POF∽△P′OE，
∴==，
∵OA=6，O A′=12，
∴=，
∵△OAP与△OA′P′是关于点G为位似中心的位似图形，
∴==，
∴==，
∵PF=n，OF=－m，
∴P′E=2n，OE=－2m，
∴P′（2m，2n）.
点睛：（1）两个位似三角形对应点连线的交点即为位似中心；
（2）位似的两个三角形对应边互相平行.
20．（1）作图见解析；（2）16.
【解析】
【分析】
（1）根据位似作图的方法作图，如位似中心在中间的图形作法为①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比1：2，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形．
（2）金鱼可以分成两个三角形，因此计算两个三角形面积的和即可．
【详解】
（1）如图所示：
（2）S金鱼=×4×（6+2）=16．
【点睛】
本题考查了位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
21．（1）见解析，P点坐标为（3，1）；（2）作图见解析，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2．
【详解】
（1）如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【点睛】
本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．