第3章 图形的相似单元检测试题A卷（含解析）

第3章 图形的相似单元检测试题A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在比例尺是1:38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7，它的实际长度约为（ ）
A．0.266； B．2.66； C．26.6； D．266.
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，能推得DE∥BC的条件是（ ）
A．AD∶AB=DE∶BC B.AD∶DB=DE∶BC C.AE∶AC=AD∶DB D.AD∶DB=AE∶EC
4．已知如图，DE∥BC，，则=（ ）
A． B． C．2 D．3
5．如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A． 6 B． 8 C． D．
6．下列图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等腰梯形
C．对应边成比例的两个四边形 D．有一个内角相等的菱形
7．如图，在中， ， ， ， 是斜边上的高，则的长度为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B． ∠ADC＝∠ACB C． ∠ACD＝∠B D． AC2=AD·AB
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB边上的点，连接CE，DF，他们相交于点G，延长CE交BA的延长线于点H，则图中的相似三角形共有( )
A． 5对 B． 4对 C． 3对 D． 2对
10．下列命题中，正确的个数是（ ）
①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；?⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
11．（2017?青海）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A． 1：3 B． 3：4 C． 1：9 D． 9：16
12．如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（ ）
A． (-x,?-y) B． (-2x,?-2y) C． (-2x,?2y) D． (2x,?-2y)
二、填空题
13．已知线段是线段、的比例中项，且，，则 ．
14．已知是线段的黄金分割点，若，则_________。
15．如图，身高1.6米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为_________。
16．如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为____．
17．已知，则k的值是________．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1．?点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为_________.
三、解答题
19．如图27-11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．
20．（本小题满分6分）如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树CD的高．
21．两棵树的高度分别是16米, 12米,两棵树的根部之间的距离6米.小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进,如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米,当小强与树的距离等于多少时,小强的眼睛与树、的顶部、恰好在同一条直线上,请说明理由.
22．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．
（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．
23．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为，．
在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为；
分别写出、的对应点、的坐标．
24．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.
(1)线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；
(2)在这个图形中，能否再找出其他成比例的四条线段？如果能，请至少写出两组．
25．(2014山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
参考答案
1．B.
【解析】
试题分析：比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．
根据：比例尺=图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．
故选B．
考点：比例线段．
2．A
【解析】由，得5a＝3b，即，
故．
3．D．
【解析】
试题分析：A选项不一定能推出∠ADE=∠B，故不一定能推得DE∥BC，所以不符合题意．根据平行线分线段成比例定理B，C选项也不能推得DE∥BC，故不符合题意．D选项能推出AD：AB=AE：AC，∠A是公共角，△ADE∽△ABC，对应角∠ADE=∠B，能推得DE∥BC，故选D．
考点：1．三角形相似判定；2．平行线的判定．
4．B
【解析】
试题分析：根据DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边的比相等，可证DE：BC=AD：AB，即可求解．
解：∵，
∴AD：AB=1：3．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
5．C
【解析】∵AB∥CD，
∴ .
∵DO=3，BO=5，DC=4，
∴,
∴AB=.
故选C.
6．D
【解析】
试题分析：根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；
B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；
C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；
D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，
故选D．
考点：相似图形．
7．A
【解析】∵在中， ， ， ，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴ ．
故选： ．
8．A
【解析】根据两边对应成比例且夹角相等，可由，∠B=∠B，可得△ACD∽△ABC，故A不能判定两三角形相似；
根据两角对应相等的两三角形相似，可知B、C均可以判定两三角形相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可由AC2=AD·AB，∠A为公共角，可判定两三角形相似.
故选：A.
点睛：此题主要考查了三角形相似的判定，解题关键结合图形的隐藏条件，由三角形相似的判定判断即可.
9．B
【解析】∵AD∥BC，
∴∠HAE=∠B，∠H=∠H，
∴△HAE∽△HBC；
∵∠AEH=∠DEC,AB∥CD，
∴∠DCE=∠HAE，
∴△HAE∽△CDE∽△HBC；
∵∠HGF=∠CDG，∠H=∠DCG，
∴△CDG∽△HFG，
∴图中的相似三角形共有4对。
故选B.
10．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理，依次判定各结论的正确与否．
【详解】
①∵等边三角形的各角都是60°，∴等边三角形都相似；①正确；
②∵直角三角形的直角相等，但两个锐角不一定相等，∴直角三角形不一定相似；②错误；
③∵等腰三角形的顶角不一定相等，则底角也不一定相等，∴等腰三角形不一定相似；③错误；
④锐角三角形不一定都相似，④错误；
⑤等腰三角形不一定都全等； ⑤错误；
⑥有一个角相等的等腰三角形相似不一定相似：如30°，30°，120°的等腰三角形和30°，75°，75°的两个等腰三角形就不相似；⑥错误；
⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；因为钝角只能是顶角，所以底角也相等，所以相似，⑦正确；
⑧∵全等三角形是相似比等于1的情况，属于相似；∴全等三角形都相似．⑧正确．
综上，正确的结论有3个．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，会熟练运用有两角对应相等的三角形相似的判定定理是解本题的关键．
11．D
【解析】【分析】由AB//CD，证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积比等于相似比即可得.
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键.
12．B
【解析】
【分析】
由位似比及对称中心以及一点坐标，进而可求这一点关于对称中心在其位似图形中的坐标．
【详解】
∵△OBC与△ODE是以0点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了位似图形关于对称中心对称的问题，能够掌握位似的定义及性质并熟练运用．
13．6．
【解析】
试题分析：若是线段、的比例中项，即．则，故答案为：6．
考点：比例线段．
14．-1或3-
【解析】试题解析：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，
（1）当AC＜BC时，BC=2×=
（2）当AC>BC时，∴AC=AB=
∴BC=AB-AC=3-．
点睛：黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，倍，较长的线段=原线段的倍．
15．6.4米
【解析】分析：根据题意得出，再利用相似三角形的性质得出答案．
详解：如图所示：由题意可得,CD∥BE，
则△ACD∽△ABE，
故
即
解得：
故答案为：6.4米.
点睛：考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质.
16．2
【解析】分析：根据平行线得出△AMN∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
详解：∵AM=2，MB=4，
∴AB=AM+MB=6，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵AM=2，AB=6，BC=6，
∴=，
∴DE=2.
故答案为：2.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质.
17．2或－1
【解析】根据题意，得a＋b＝ck，a＋c＝bk，b＋c＝ak．
∴2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）k．
当a＋b＋c≠0时，．
当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a，
∴．
故k的值是2或－1．
18．
【解析】
【分析】
取CF的中点G，连接BG，证出BG是△CEF的中位线，由三角形中位线定理得出BG∥EF，证出△ADF∽△ABG，得出比例式，因此AF=AG，∴FG=CG=2AF，得出AC=AF+FG+CG=5AF=3，即可得出AF的长．
【详解】
取CF的中点G，连接BG，如图所示：∵BC=1，BE=1，∴点B为EC的中点，∴BG是△CEF的中位线，∴BG∥EF，∴,
∴AF=AG，∴FG=CG=2AF，∴AC=AF+FG+CG=5AF=3，∴AF=；
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由三角形中位线定理得出BG∥EF是解决问题的关键．
19．9.
【解析】试题分析：由△ACD∽△BAD可得==，设CD=x，则BD=7+x，代入比例式，解出x即可.
试题解析：
∵△ACD∽△BAD，
∴==，
设CD=x，则BD=7+x，
∴==，
∴AD=x=（7+x），
解得x=9.
∴CD=9.
点睛：本题关键在于借助三角形相似的性质解题.
【答案】解：∵ CD⊥AD，EB⊥AD，
∴ EB∥CD.
　　∴ △ABE∽△ADC． …………………………………………………2′
∴ ． …………………………………………………3′
∵ EB=2，AB=3，AD=21，
∴ ． …………………………………………………4′
∴ CD=14． …………………………………………………5′
答：此树高为14米．
【解析】略
21．15.6m
【解析】【试题分析】
若小强的眼睛与树、的顶部、恰好在同一条直线上，则 和相似，根据相似三角形对应边成比例，得即 解得x=15.6
【试题解析】
设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F
连接O、D、E得 和
设OE=x，OF=6+x,
即
解得x=15.6
【方法点睛】本题目考查相似三角形的运用，根据对应边成比例来构造方程.难度不大.
22．答案见解析
【解析】
试题分析：（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．
考点：1、作图—相似变换；2、作图-旋转变换
23．(1)见解析；（2）C(-4,?2)，D(-6,?-2).
【解析】
【分析】
（1）延长BO使OC=2OB，延长AO，使OD=2OA连接CD则△OCD即为所求.（2）根据点C、D在坐标系中的位置确定C、D坐标即可.
【详解】
（1）如图所示：
如图所示：，．
【点睛】
本题考查位似三角形的位似比，尺规作图，根据所知相似比作出对应的位似图形，并根据各对应点在坐标系中的位置确定各点坐标是解题关键.
24．(1)是; (2)能
【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求得AB 的长，由三角形的面积求得CD的长，再由勾股定理即可求得AD、BD的长，计算四条线段的比即可判定线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段；（2）根据（1）的计算结果即可得结论.
试题解析：
(1)由勾股定理得AB＝＝5，∴×5·CD＝×3×4，∴CD＝，由勾股定理得AD＝，BD＝，＝，即AD，CD，CD，BD是成比例线段．
(2)能，如＝，＝，＝等．
25．见解析
【解析】
解：(1)△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴．
∴△BMN是等腰直角三角形．
(2)△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，．
∵AC＝BD，
∴，即．
由(1)知△BMN是等腰直角三角形，
∴，即，
∴．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°．
∵FM∥AC．
∵∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°．
∴∠CBD＋∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．