第一章　集合与函数概念 单元测试（含答案）

第一章　集合与函数概念(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于(　　)
A．{2,4} B．{1,2,4} C．{2,4,8} D．{1,2,8}
2．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．?
3．若f(x)＝ax2－(a>0)，且f()＝2，则a等于(　　)
A．1＋ B．1－ C．0 D．2
4．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8 B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4 D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
5．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(?UM)等于(　　)
A．{1,3} B．{1,5} C．{3,5} D．{4,5}
6．已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于(　　)
A. B．－ C．1 D．－1
7．已知函数f(x)＝ax2＋(a3－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是(　　)
A．a≤ B．－≤a≤
C．08．设f(x)＝，则f(5)的值是(　　)
A．24 B．21 C．18 D．16
9．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是(　　)
A．增函数 B．减函数 C．有增有减 D．增减性不确定
10．设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数f(x)＝，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(，] C．(，) D．[0，]
11．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么(　　)
A．f(2)C．f(2)12．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8 C．最小值－6 D．最小值－4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．
14．函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．
15．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.
16．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p、q为常数，x∈R，当A∩B＝{}时，求p、q的值和A∪B.
18．(12分)已知函数f(x)＝，
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
19．(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．

20．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
第一章　集合与函数概念(A)
1．C　[因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}，所以C正确．]
2．C　[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．]
3．A　[f()＝2a－＝2，∴a＝1＋.]
4．B　[f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，∴f(t)＝3t＋2，即f(x)＝3x＋2.]
5．C　[?UM＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(?UM)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．]
6．A　[f(x)＝在[1,2]上递减，∴f(1)＝A，f(2)＝B，∴A－B＝f(1)－f(2)＝1－＝.]
7．D　[由题意知a<0，－≥－1，－＋≥－1，即a2≤3.∴－≤a<0.]
8．A　[f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.]
9．B　[f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，
所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．]
10．C　[∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B，∴f[f(x0)]＝f(x0＋)＝2(1－x0－)，
即f[f(x0)]＝1－2x0∈A，
所以0≤1－2x0<，即11．A　[由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，在x<2时y＝f(x)为减函数．
∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)，即f(2)12．D　[由题意知f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.]
13．m≤2 解析　由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，故m≤2.
14．－1 解析　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∵1∈[－2,3]，
∴f(x)max＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，
f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)min＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.
15．－1
解析　由题意知，f(－x)＝－f(x)，
即＝－，∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，
∴a＋1＝0，a＝－1.
16．(－1，－)∪[0,1)
解析　由题中图象知，当x≠0时，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)－[－f(x)]>－1，∴f(x)>－，
由题图可知，此时－1f(0)＝－1，f(0)－f(－0)＝－1＋1＝0,0>－1满足条件．
因此其解集是{x|－117．解　∵A∩B＝{}，∴∈A.∴2()2＋3p()＋2＝0.∴p＝－.∴A＝{，2}．
又∵A∩B＝{}，∴∈B.∴2()2＋＋q＝0.∴q＝－1.
∴B＝{，－1}．∴A∪B＝{－1，，2}．
18．解　(1)∵f(3)＝＝－≠14.∴点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)当x＝4时，f(4)＝＝－3.
(3)若f(x)＝2，则＝2，∴2x－12＝x＋2，∴x＝14.
19．(1)证明　设0f(x1)－f(x2)＝(－1)－(－1)＝，
∵00，x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．
20．解　∵f(x)＝4(x－)2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
21．解　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)任取x10，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，即f(x2)∴f(x)在R上是减函数．
(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，∴f(12)最小，f(－12)最大．
又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，
∴f(－12)＝－f(12)＝8.∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.
22．解　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；所以减区间为[0，]；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增；所以增区间为[，1]；
由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
∴∴a＝.
第一章　集合与函数概念(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若集合A、B、C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是(　　)
A．A?C B．C?A C．A?C D．C?A
2．已知函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．(－∞，－)∩(－，1] D．(－∞，－)∪(－，1]
3．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合运算：P*Q＝{z|z＝ab(a＋b)，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1}，Q＝{2,3}，则P*Q中元素之和是(　　)
A．0 B．6 C．12 D．18
4．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．集合M由正整数的平方组成，即M＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M对下列运算封闭的是(　　)
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
6．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则?U(M∪N)等于(　　)
A．? B．{(2,3)} C．(2,3) D．{(x，y)|y＝x＋1}
7．已知偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上是增函数，则f(－)与f(a2－a＋1)的大小关系为(　　)
A．f(－)f(a2－a＋1)
C．f(－)≤f(a2－a＋1) D．f(－)≥f(a2－a＋1)
8．函数f(x)＝(x≠－)，满足f[f(x)]＝x，则常数c等于(　　)
A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－3
9．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
10．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(　　)
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)>25
11．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
12．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设函数f(x)＝，已知f(x0)＝8，则x0＝________.
14．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
15．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
16．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及?UA.
18．(12分)讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
19．(12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
20．(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0(1)求这种商品的日销售金额的解析式；
(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？
21．(12分)已知≤a≤1，若函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)判断函数g(a)在区间[，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．
22．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：
①当x∈R时，其最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立；
②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立．
第一章　集合与函数概念(B)
1．C　[∵A∩B＝A，∴A?B，
∵B∪C＝C，∴B?C，∴A?C，故选C.]
2．D　[由题意知：解得故选D.]
3．D　[∵P＝{0,1}，Q＝{2,3}，a∈P，b∈Q，故对a，b的取值分类讨论．当a＝0时，z＝0；当a＝1，b＝2时，z＝6；当a＝1，b＝3时，z＝12.综上可知：P*Q＝{0,6,12}，元素之和为18.]
4．D　[∵集合M中的元素－1不能映射到N中为－2，
∴即
∴a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，∴a＋b＝4.]
5．C　[设a、b表示任意两个正整数，则a2、b2的和不一定属于M，如12＋22＝5?M；a2、b2的差也不一定属于M，如12－22＝－3?M；a2、b2的商也不一定属于M，如＝?M；因为a、b表示任意两个正整数，a2·b2＝(ab)2，ab为正整数，所以(ab)2属于M，即a2、b2的积属于M.故选C.]
6．B　[集合M表示直线y＝x＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N表示直线y＝x＋1外的点，所以M∪N表示直线y＝x＋1外的点及两条射线，?U(M∪N)中的元素就是点(2,3)．]
7．D　[设x1>x2>0，则－x1<－x2<0，
∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(－x1)∴f(x1)又∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，∴f(a2－a＋1)≤f()＝f(－)．]
8．B　[＝x，f(x)＝＝，得c＝－3.]
9．D　[因为奇函数f(x)在x＝0处有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]
10．A　[函数f(x)的增区间为[，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以≤－2，m≤－16，f(1)＝4－m＋5≥25.]
11．A　[易知f(1)＝3，则不等式f(x)>f(1)等价于或
解得－33.]
12．B　[由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图象可以用下图简单地表示，
则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.]
13.
解析　∵当x≥2时，f(x)≥f(2)＝6，
当x<2时，f(x)14．－2
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
15．(－∞，1]
解析　由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．
16. 解析　由题意得f(1)＝1－f(0)＝1，
f()＝f(1)＝，f()＝1－f()，即f()＝，
由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，f(x)＝，则f()＝，
又f(×)＝f()＝，即f()＝. 因此f()＋f()＝.
17．解　设方程x2－5x＋q＝0的两根为x1、x2，
∵x∈U，x1＋x2＝5，∴q＝x1x2＝1×4＝4或q＝x1·x2＝2×3＝6.
当q＝4时，A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，∴?UA＝{2,3,5}；
当q＝6时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴?UA＝{1,4,5}．
18．解　任取x1，x2∈(0，＋∞)且x10，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·.
当0∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在(0，)上是减函数．
当≤x1a，∴x1x2－a>0.∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x)在[，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－]上是增函数，在[－，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数，在[－，0)，(0，]上为减函数．
19．解　(1)令x＝y≠0，则f(1)＝0.
(2)令x＝36，y＝6，则f()＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，
故原不等式为f(x＋3)－f()又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故原不等式等价于?020．解　(1)设日销售金额为y(元)，则y＝p·Q.
∴y＝＝
(2)由(1)知y＝＝
当0当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1 125(元)．
由1 125>900，知ymax＝1 125(元)，且第25天，日销售额最大．
21．解　(1)∵≤a≤1，∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝∈[1,3]．
∴f(x)有最小值N(a)＝1－.
当2≤≤3时，a∈[，]，f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a－1；
当1≤<2时，a∈(，1]，f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a10，
∴g(a1)>g(a2)，∴g(a)在[，]上是减函数．
设∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
22．解　(1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1，故f(1)＝1.
(2)由①知二次函数的开口向上且关于x＝－1对称，故可设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)2(a>0)，又由f(1)＝1代入求得a＝，故f(x)＝(x＋1)2.
(3)假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f(x＋t)≤x.
取x＝1，有f(t＋1)≤1，即(t＋2)2≤1，解得－4≤t≤0.
对固定的t∈[－4,0]，取x＝m，有f(t＋m)≤m，即(t＋m＋1)2≤m，
化简得m2＋2(t－1)m＋(t2＋2t＋1)≤0，解得1－t－≤m≤1－t＋，
故m≤1－t＋≤1－(－4)＋＝9，
t＝－4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x－4)－x＝(x2－10x＋9)＝(x－1)(x－9)≤0，
所以m的最大值为9.