第一章 集合与函数概念同步练习（53页，含答案）

第一章　集合与函数概念
§1.1　集　合
1．1.1　集合的含义与表示
第1课时　集合的含义
1．元素与集合的概念
(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．
(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．
2．集合中元素的特性：________、________、________.
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
元素与
集合的
关系
属于
如果________的元素，
就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果________中的元素，
就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
5.常用数集及表示符号：
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
____
________
____
____
____
一、选择题
1．下列语句能确定是一个集合的是(　　)
A．著名的科学家 B．留长发的女生
C．2018年雅加达亚运会比赛项目 D．视力差的男生
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(　　)
A．0∈A B．a?A C．a∈A D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．－2 C．6 D．2
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　)
A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有(　　)
A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素
二、填空题
7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)
①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“?”填空
－_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.
三、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2018年雅加达亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A=，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P=，Q=，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则集合P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
第一章　第1课时　集合的含义
知识梳理
1．(1)研究对象　小写拉丁字母a，b，c，…　(2)一些元素组成的总体　大写拉丁字母A，B，C，…　2.确定性　互异性　无序性
3．一样　4.a是集合A　a不是集合A　5.N　N*或N＋　Z　Q　R
作业设计
1．C　[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]
2．C　[A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，选C.]
3．D　[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]
4．C　[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将数值代入验证知答案选C.]
5．B　[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
6．A　[方法一　因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
方法二　令x＝2，则以上实数分别为：
2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]
7．①④解析　①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析　x＝0,1，－1时，都有x2∈A，考虑集合元素互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈　∈　?　?
10．解　(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．
11．解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，∴a＝－.
12．解　∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明　(1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴A不可能为单元素集．
第2课时　集合的表示
1．列举法
把集合的元素____________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫列举法．
2．描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．
不等式x－7<3的解集为__________．
所有奇数的集合可表示为________________．所有偶数的集合表示为____________.
一、选择题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1 B．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
C．点(x，y) D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
3．将集合表示成列举法，正确的是(　　)
A．{2,3} B．{(2,3)} C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有(　　)
A．－1∈A B．0∈A C.∈A D．2∈A
6．方程组的解集不可表示为(　　)
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
二、填空题
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________.
8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}； ②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0} C．{x＝1} D．{1}
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是(　　)
A．x0∈N B．x0?N C．x0∈N或x0?N D．不能确定
第2课时　集合的表示
知识梳理
1．一一列举　2.描述法　{x|x<10}　{x∈Z|x＝2k，k∈Z}
作业设计
1．B　[{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]
2．D　[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
3．B　[解方程组得
所以答案为{(2,3)}．]
4．B　[方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．]
5．B
6．C　[方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C不符合．]
7．{5,4,2，－2}
解析　∵x∈Z，∈N，∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．②
解析　①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析　只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解　①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解　因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．C　[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]
13．A　[M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]
1.1.2　集合间的基本关系
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．
2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．集合相等与真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
集合
相等
如果__________，
就说集合A与B相等
A＝B
真子集
如果集合A?B，但存在元素__________，
称集合A是B的真子集
AB
(或BA)
4.空集
(1)定义：______________的集合叫做空集．
(2)用符号表示为：____.
(3)规定：空集是任何集合的______．空集是_________真子集。
5．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么___________________________．
一、选择题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．PQ C．PQ D．P∩Q＝?
2．满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是(　　)
A．3 B．6 C．7 D．8
3．对于集合A、B，“A?B不成立”的含义是(　　)
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B中的元素
C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A
4．下列命题：
①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集； ④若?A，则A≠?.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是(　　)
A．SPM B．S＝PM
C．SP＝M D．P＝MS
二、填空题
7．已知M＝{x|x≥2，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)
8．已知集合A＝{x|19．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
三、解答题
能力提升
12．已知集合A＝{x|113．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.
1．1.2　集合间的基本关系
知识梳理
1．任意一个　A?B　B?A　A含于B　B包含A　2.封闭
3．A?B且B?A　x∈B，且x?A　4.(1)不含任何元素　(2)?
(3)子集　5.(1)A?A　(2)A?C
作业设计
1．B　[∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}
∴PQ，∴选B.]
2．C　[M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]
3．C
4．B　[只有④正确．]
5．B　[由N＝{－1,0}，知NM，故选B.]
6．C　[运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．]
7．①②
解析　①、②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．
8．a≥2
解析　在数轴上表示出两个集合，可得a≥2.
9．6
解析　(1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；
(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或?.
12．解　(1)当a＝0时，A＝?，满足A?B.
(2)当a>0时，A＝{x|∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝{x|综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.
13．5
解析　若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，
若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．
1.1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
1．并集
(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_____________________________________________.
(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：
(4)性质：A∪B＝________，A∪A＝____，A∪?＝____，A∪B＝A?________，A____A∪B.
2．交集
(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝___________________________________________ .
(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：
(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩?＝____，A∩B＝A?________，A∩B____A∪B，A∩B?A，A∩B?B.
一、选择题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于(　　)
A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}
3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是(　　)
A．A?B B．B?C C．A∩B＝C D．B∪C＝A
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为(　　)
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)}
5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则(　　)
A．N∈M B．M∪N＝M C．M∩N＝M D．M>N
二、填空题
7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1三、解答题
10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝?.求p，q的值．
11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
12.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
能力提升
13．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．6
14．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
1．1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
知识梳理
一、1.由所有属于集合A或属于集合B　A∪B　2.{x|x∈A，或x∈B}　4.B∪A　A　A　B?A　?
二、1.属于集合A且属于集合B的所有　A∩B　2.{x|x∈A，且x∈B}　4.B∩A　A　?　A?B　?
作业设计
1．A
2．D　[由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．]
3．D　[参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.]
4．D　[M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得]
5．C　[依题意，由A∩B＝{2}知2a＝2，所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3，故选C.]
6．B　[∵NM，∴M∪N＝M.]
7．0或1
解析　由A∪B＝A知B?A，∴t2－t＋1＝－3①或t2－t＋1＝0②或t2－t＋1＝1③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
8．1 解析　∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1　2
解析　∵B∪C＝{x|－3由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2.
10．解　由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.
∴，∴.
11．解　∵A∩B＝B，∴B?A.∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝{－}，∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
12．解　A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，
(1)当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝?，B?A成立；
(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝{－}，B?A不成立；
(3)当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B?A成立，则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为a>或a＝－6.
13．D　[x的取值为1,2，y的取值为0,2，
∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.]
14．解　符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．
第2课时　补集及综合应用
1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．
2．补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言
?UA＝____________
图形语言
3.补集与全集的性质
(1)?UU＝____；(2)?U?＝____；(3)?U(?UA)＝____；(4)A∪(?UA)＝____；(5)A∩(?UA)＝____.
一、选择题
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则?UA等于(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|-2≤x≤2}，则?UM等于(　　)
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(?UB)等于(　　)
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
4．设全集U和集合A、B、P满足A＝?UB，B＝?UP，则A与P的关系是(　　)
A．A＝?UP B．A＝P C．AP D．AP
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩?IS D．(M∩P)∪?IS
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是(　　)
A．A∪B B．A∩B C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
二、填空题
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则?UA＝____________________，?UB＝________________，?BA＝____________.
9．已知全集U，AB，则?UA与?UB的关系是____________________．
三、解答题
10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求实数a，b的值．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(?UB)＝A，求?UB.
12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A等于(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}
13.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A??RB，求实数m的取值范围．
第2课时　补集及综合应用
知识梳理
1．全集　U　2.不属于集合A　?UA　{x|x∈U，且x?A}
3．(1)?　(2)U　(3)A　(4)U　(5)?
作业设计
1．D　[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成?UA.]
2．C　[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．]
3．D　[由B＝{2,5}，知?UB＝{1,3,4}．A∩(?UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B　[由A＝?UB，得?UA＝B.又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA.即P＝A，故选B.]
5．C　[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈?IS，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩?IS，故选C.]
6．D　[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得?U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]
7．－3 解析　∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}
解析　由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．
9．?UB?UA
解析　画Venn图，观察可知?UB?UA.
10．解　∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
11．解　因为B∪(?UB)＝A，所以B?A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±.
当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，}，此时?UB＝{}；
当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，此时?UB＝{－}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而?UB＝{3}．
综上所述，?UB＝{}或{－}或{3}．
12．D　[借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A，所以选D.]
13.　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴　∴m＝2.
(2)?RB＝{x|xm＋2}，∵A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
§1.1　习题课
1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<3} C．{x|－12．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于(　　)
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
3．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么(　　)
A．aA B．a?A C．{a}?A D．{a}A
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于(　　)
A．? B．{d} C．{b，e} D．{a，c}
5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．
6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩(?A(B∪C))．
一、选择题
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|<2}，则(　　)
A．P?Q B．Q?P C．P??RQ D．Q??RP
2．符合条件{a}P?{a，b，c}的集合P的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是(　　)
A．M＝P B．MP
C．PM D．M与P没有公共元素
4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩S)∩(?SP) D．(M∩P)∪(?VS)
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3二、填空题
6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1?A，x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．
8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，?UA＝{5}，则a＝________.
9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(?UM)∪(?UN)＝________________.
三、解答题
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
能力提升
12．对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．
14.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B?A，求实数m的取值范围．
§1.1　习题课
双基演练
1．C　[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－12．A　[画出数轴，将不等式－35在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]
3．D
4．A　[∵?IM＝{d，e}，?IN＝{a，c}，∴(?IM)∩(?IN)＝{d，e}∩{a，c}＝?.]
5．A＝B
解析　4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.
6．解　∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}
(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴?A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A∩(?A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．B　[Q＝{x|－22．B　[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]
3．B　[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….
∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴MP.]
4．C　[阴影部分是M∩S的部分再去掉属于集合P的一小部分，因此为(M∩S)∩(?SP)．]
5．B　[根据题意可画出下图．
∵a＋2>a－1，∴A≠?.有解得3≤a≤4.]
6．a≤2
解析　如图中的数轴所示，
要使A∪B＝R，a≤2.
7．1
解析　当x＝1时，x－1＝0?A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A；
当x＝5时，x－1＝4?A，x＋1＝6?A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．4
解析　∵A∪(?UA)＝U，
由?UA＝{5}知，a2－2a－3＝5，∴a＝－2，或a＝4.
当a＝－2时，|a－7|＝9,9?U，∴a≠－2.a＝4经验证，符合题意．
9．{x|x<1或x≥5}
解析　?UM＝{x|x<1}，?UN＝{x|x<0或x≥5}，
故(?UM)∪(?UN)＝{x|x<1或x≥5}或由M∩N＝{x|1≤x<5}，(?UM)∪(?UN)＝?U(M∩N)
＝{x|x<1或x≥5}．
10．解　(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C?B?C，∴－<2，∴a>－4.
11.
解　由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．
12．解　依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
13．解　在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝.
综上，M∩N的长度的最小值为.
14．解　∵B?A，∴①若B＝?，则m＋1>2m－1，∴m<2.
②若B≠?，将两集合在数轴上表示，如图所示．
要使B?A，则
解得∴2≤m≤3.
由①、②，可知m≤3.
∴实数m的取值范围是m≤3.
§1.2　函数及其表示
1．2.1　函数的概念
1．函数
(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．
(2)值域是集合B的________．
2．区间
(1)设a，b是两个实数，且a①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；
②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；
③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．
(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．
我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x一、选择题
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　)
①y是x的函数
②对于不同的x，y的值也不同
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(x)＝
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
5．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
6．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
二、填空题
7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
x
1
2
3
g[f(x)]
填写后面表格，其三个数依次为：____________.
8．如果函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则＋＋＋＋…＋＝________.
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为______________．
10．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x＋)的定义域为________．
三、解答题
11．已知函数f()＝x，求f(2)的值．
能力提升
12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
§1.2　函数及其表示
1．2.1　函数的概念
知识梳理
1．(1)对应关系f　任意一个数x　唯一确定的数f(x)　A→B　y＝f(x)，x∈A　自变量　定义域　函数值　值域　(2)子集
2．(1)①a≤x≤b　[a，b]　②a作业设计
1．B　[①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]
2．C　[①的定义域不是集合M；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]
3．D　[A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.]
4．B　[由2x2－1＝1,2x2－1＝7得x的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
5．D　[由题意可知解得0≤x≤1.]
6．B
7．3　2　1
解析　g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，
g[f(3)]＝g(1)＝1.
8．2 010
解析　由f(a＋b)＝f(a)f(b)，令b＝1，∵f(1)＝1，
∴f(a＋1)＝f(a)，即＝1，由a是任意实数，
所以当a取1,2,3，…，2 010时，得＝＝…＝＝1.故答案为2 010.
9．{－1,1,3,5,7}
解析　∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
10．[0，]
解析　由
得即x∈[0，]．
11．解　由＝2，解得x＝－，所以f(2)＝－.
12．解　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11∶00至12∶00他骑了13千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
13．解　(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|0(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到01.2.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
函数的三种表示法
(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．
一、选择题
1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如果f()＝，则当x≠0时，f(x)等于(　　)
A. B. C. D.－1
4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于(　　)
A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7
5．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝，则f()的值为(　　)
A．1 B．15 C．4 D．30
6．在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为(　　)
二、填空题
7．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．
8．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为__________________．
三、解答题
10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．
11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]
13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
1．2.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
知识梳理
(1)数学表达式　(2)图象　(3)表格
作业设计
1．C　[由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．]
2．B　[由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]
3．B　[令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝，故选B.]
4．B　[由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，代入g(x＋2)＝2x＋3，则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，故选B.]
5．B　[令1－2x＝，则x＝，
∴f()＝＝15.]
6．B　[当t<0时，S＝－，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，)；当t>0时，S＝＋，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，)．所以B满足要求．]
7．y＝x＋12
解析　设所求函数解析式为y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝.
所以所求的函数解析式为y＝x＋12.
8．f(x)＝－(x≠0)
解析　∵f(x)＝2f()＋x，①
∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
9．f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
∴，解得或.
10．解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝f(4)知
得4a＋b＝0.①
又图象过(0,3)点，
所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.
即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
11．解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．B　[方法一　特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.
方法二　设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，
[]＝[m＋]＝m＝[]，
当6<α≤9时，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，
所以选B.]
13．解　因为对任意实数x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
第2课时　分段函数及映射
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．
一、选择题
1．已知，则f(3)为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是(　　)
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为(　　)
A．100元 B．90元 C．80元 D．60元
4．已知函数，使函数值为5的x的值是(　　)
A．－2 B．2或－ C．2或－2 D．2或－2或－
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米
6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是(　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
二、填空题
7．已知，则f(7)＝____________.
8．设则f{f[f(－)]}的值为________，f(x)的定义域是______________．
9．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________________．
三、解答题
10．已知，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．

能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是(　　)
A．? B．?或{1}
C．{1} D．?
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
第2课时　分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系　(2)并集　(3)分别作出每一段的图象
2．都有唯一　一个映射
作业设计
1．A　[∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
2．D
3．C　[不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A　[若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故选A.]
5．A　[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．]
6．C　[如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应关系f在Q中有唯一元素和它对应，选项C中，当x＝4时，y＝×4＝?Q，故选C.]
7．6
解析　∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
8.　{x|x≥－1且x≠0}
解析　∵－1<－<0，
∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
而0<<2，
∴f()＝－×＝－.
∵－1<－<0，∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
因此f{f[f(－)]}＝.
函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<0}∪{x|09．f(x)＝
解析　由图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)
代入解析式，则∴
当0则k＝－1.
10.
解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
11．解　当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
12．B　[由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝，－.
所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A∩B＝?或{1}．故选B.]
13．解　根据题意可得d＝kv2S.
∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，
解得k＝.
∴d＝v2S.
当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝.
§1.2　习题课
1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是(　　)
2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是(　　)
A．M＝A，N＝B B．M?A，N＝B C．M＝A，N?B D．M?A，N?B
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点(　　)
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上
4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为(　　)
A. B．－ C．± D．以上均不对
5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为(　　)
A．[－1,2] B．[－2,2] C．[0,2] D．[－2,0]
6．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为(　　)
A．k<0或k>4 B．0≤k<4 C．0一、选择题
1．函数f(x)＝，则f()等于(　　)
A．f(x) B．－f(x) C. D.
2．已知f(x2－1)的定义域为[－，]，则f(x)的定义域为(　　)
A．[－2,2] B．[0,2] C．[－1,2] D．[－，]
3．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(　　)
4．与y＝|x|为相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝
C． D．y＝
5．函数y＝的值域为(　　)
A．(－∞，)∪(，＋∞) B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R D．(－∞，)∪(，＋∞)
6．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B等于(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
二、填空题
7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．
8．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为___________________________________.
9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.
三、解答题
10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．
11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．
能力提升
12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0A．? B．[a,1－a] C．[－a,1＋a] D．[0,1]
13．已知函数
(1)求f(－3)，f[f(－3)]；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若f(a)＝，求a的值．
§1.2　习题课
双基演练
1．C　[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]
2．C　[值域N应为集合B的子集，即N?B，而不一定有N＝B.]
3．C　[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]
4．A　[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；
当－1∴a＝，a＝－(舍去)；
当a≥2时，有2a＝3，∴a＝与a≥2矛盾．
综上可知a＝.]
5．B　[由－1≤x2≤4，得x2≤4，
∴－2≤x≤2，故选B.]
6．B　[由题意，知kx2＋kx＋1≠0对任意实数x恒成立，
当k＝0时，1≠0恒成立，∴k＝0符合题意．
当k≠0时，Δ＝k2－4k<0，解得0综上，知0≤k<4.]
作业设计
1．A　[f()＝＝＝f(x)．]
2．C　[∵x∈[－，]，∴0≤x2≤3，∴－1≤x2－1≤2，
∴f(x)的定义域为[－1,2]．]
3．C　[C选项中，和a相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]
4．B　[A中的函数定义域与y＝|x|不同；C中的函数定义域不含有x＝0，而y＝|x|中含有x＝0，D中的函数与y＝|x|的对应关系不同，B正确．]
5．B　[用分离常数法．
y＝＝2＋.
∵≠0，∴y≠2.]
6．C　[化简集合A，B，则得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)．
∴A∩B＝[2，＋∞)．]
7．(，－)
解析　由题意，∴.
8．f(x)＝x2－1(x≥1)
解析　∵f(＋1)＝x＋2
＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1.
由于＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
9．4
解析　∵－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，
又∵4≥0，∴f(4)＝4，∴f(f(－2))＝4.
10．解　令t＝x－1，则1－x＝－t，
原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，①
以－t代t，原式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②
由①②消去f(－t)，得f(t)＝2t＋.
即f(x)＝2x＋.
11．解　f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或a＝－5(舍去)．
当a＋1<0，即a<－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知a＝－1.
12．B　[由已知，得?
又∵013．解　(1)∵x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f[f(－3)]＝f(2)＝2×2＝4.
(2)函数图象如右图所示．
(3)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝，a＝－≤－1；
当－1当a≥1时，f(a)＝2a＝，a＝?[1，＋∞)，舍去．
故a的值为－或±.
§1.3　函数的基本性质
1．3.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
1．函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________．
2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．
3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．
4．函数y＝的单调递减区间为__________________．
一、选择题
1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：
①f(0)＝1； ②f(－1)＝1；
③若x>0，则f(x)<0； ④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是(　　)
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1A．f(x1)f(x2) D．以上都可能
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一个根 B．至多有一个根
C．无实根 D．必有唯一的实根
4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(　　)
A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)0
6．函数y＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
二、填空题
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)＝ (x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
11．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
§1.3　函数的基本性质
1．3.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
知识梳理
1．(1)增函数　(2)减函数　(3)增函数　减函数　(严格的)单调性　单调区间　2.[0，＋∞)　3.增　4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．B
2．A　[由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]
3．D　[∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]
4．C　[如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C　[由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x16．A　[该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m>0
解析　由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析　f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解　y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10.(1)证明　任设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解　任设1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知011．解　函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解　(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，01>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)13．解　(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．
第2课时　函数的最大(小)值
1．函数的最大值、最小值
最值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__________．
(2)存在x0∈I，使得__________.
(3)对于任意的x∈I，都有__________．
(4)存在x0∈I，使得__________．
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
2.函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
2．函数y＝x＋(　　)
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值2 D．无最大值，也无最小值
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2]
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(－2)C．f(2)5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的(　　)
A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值
6．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1 B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值 D．无最大值，也无最小值
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
第2课时　函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f(x)≤M　(2)f(x0)＝M　(3)f(x)≥M　(4)f(x0)＝M
2．(1)f(b)　f(a)　(2)f(a)　f(b)
作业设计
1．A　[由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.]
2．A　[∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]
3．D　[由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]
4．D　[依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．C　[y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－46．D　[f(x)＝≤.]
7．(0,2]
解析　观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
8．－2　0
解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析　函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解　(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
12．C　[画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值，从而选C.]
13．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝.
作图(如右所示)．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝.
1.3.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于______对称．
(2)奇函数的图象关于______对称．
3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
一、选择题
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1
3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．－2
6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是(　　)
A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称 B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称
C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立 D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立
二、填空题
7．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________________________________.
8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
11．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
能力提升
12．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是____________________________．
13．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
1．3.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
知识梳理
1．(1)任意　f(－x)＝f(x)　(2)任意　f(－x)＝－f(x)
2．(1)y轴　(2)原点
作业设计
1．B　[F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]
2．D　[∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]
3．A　[函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
4．C　[∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，
都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]
5．C　[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，∴a＝－1.]
6．C　[由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.]
7．2
解析　偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
8．(－2,0)∪(2,5]
解析　由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观察可得答案．
9．0
解析　∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)
＝－f(1)＝－4，
∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.
10．解　(1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11．解　(1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得112．f()解析　因y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，
∴f()13．解　(1)令a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0；
令a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
因为f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，
而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，
∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
即f(x)为奇函数．
第2课时　奇偶性的应用
1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝____.
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是____函数，且有__________．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是______________．
一、选择题
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)A．f(－1)f(1)
3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　　)
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于(　　)
A．{x|x>3，或－3C．{x|x>3，或x<－3} D．{x|0二、填空题
7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.
8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是____________．
9．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝____________.
三、解答题
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)能力提升
12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．
第2课时　奇偶性的应用
知识梳理
1．0　2.增　最小值－M　3.增函数
作业设计
1．A　[∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(π)>f(－3)>f(－2)．]
2．D　[∵f(－3)＝f(3)，
∴f(3)∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)，故选D.]
3．A　[f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，
∴f(－x2)＝f(x2)4．C　[∵f(x)为奇函数，∴<0，即<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
5．B　[由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)
＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]
6．D　[依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；
x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.
由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，
从而找到满足条件的不等式的解集．]
7．－x2＋x＋1
解析　由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1.
8．(－∞，0]
解析　因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.
∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图象是开口向下的抛物线．
∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．
9．－13
解析　(整体思想)f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17?(a·57－5b)＝－15，
∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.
10．解　由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴，即，
解得－1≤m<.
11．解　由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.
12．C　[令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
解得f(0)＝－1.
令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，
即f(－x)＋1＝－f(x)－1，
令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，
即g(－x)＝－g(x)．
所以函数f(x)＋1为奇函数．]
13．解　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)是奇函数．
(2)令x＋y＝x1，x＝x2，则y＝x1－x2，
得f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)．
设x1>x2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)所以y＝f(x)为R上的减函数．
(3)由f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0，
得f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，
∵f(x)是奇函数，有f(kx2)>f(x2－x＋2)，
又∵f(x)是R上的减函数，
∴kx2即(k－1)x2＋x－2<0对于x∈R恒成立，
即，故k<.
§1.3　习题课
1．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则(　　)
A．k> B．k< C．k>－ D．k<－
2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　)
A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增
C．f(x)在R上是增函数 D．f(x)在R上是减函数
3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，且a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)4．函数f(x)的图象如图所示，则最大、最小值分别为(　　)
A．f()，f(－) B．f(0)，f() C．f(0)，f(－) D．f(0)，f(3)
5．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
6．已知f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围是______________．
一、选择题
1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)A．x1＋x2<0 B．x1＋x2>0
C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0
2．下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为(　　)
A．②③④ B．①③ C．② D．④
3．定义两种运算：a⊕b＝ab，a?b＝a2＋b2，则函数f(x)＝为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
5．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3
6．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是(　　)
A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2) C．(1,2) D．(0,2)
二、填空题
7．若函数f(x)＝－为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．
8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.
9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.
(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
11．已知f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；
(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：
①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
能力提升
12．设函数f(x)＝1－，x∈[0，＋∞)
(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；
(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？
13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y.
(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；
(2)求y的最大值，并指出相应的x值．
§1.3　习题课
双基演练
1．D　[由已知，令2k＋1<0，解得k<－.]
2．C　[由>0，知f(a)－f(b)与a－b同号，
由增函数的定义知选C.]
3．C　[∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.
由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．
两式相加得C正确．]
4．C　[由图象可知，当x＝0时，f(x)取得最大值；
当x＝－时，f(x)取得最小值．故选C.]
5.　0
解析　偶函数定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.
6．(－∞，－1)
解析　若a≥0，则a－1>a，解得a<－2，∴a∈?；
若a<0，则>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.
综上，a∈(－∞，－1)．
作业设计
1．B　[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)0.故选B.]
2．C　[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．
判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．
判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．
综上可知，选C.]
3．A　[f(x)＝，f(－x)＝－f(x)，选A.]
4．D　[当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)
对称轴为x＝－，则＝，∴t＝1.]
5．D　[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，
∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.
从而f(x)≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]
6．D　[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，
即|x－1|<1，解得07．1
解析　f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，
所以f(0)＝0，故a＝0.
又f(－1)＝－f(1)，所以－＝，
故b＝0，于是f(x)＝－x.
函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，
当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.
8．－1
解析　∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，
且f(2)＝22－3＝1.
∴f(－2)＝－f(2)＝－1，
∴f(－2)＋f(0)＝－1.
9．a>－3
解析　∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，
要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，
即3＋a>0，∴a>－3.
10．(1)证明　设x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．
(2)解　若x>0，则f(x)若x<0，则f(x)∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
11．(1)证明　设00，x1－x2<0.
又b>1，且0∵f(x1)－f(x2)＝>0，
∴f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．
(2)解　设0则f(x1)－f(x2)＝
由函数f(x)在(0,1)上是减函数，知x1x2－b<0恒成立，则b≥1.
设1x∈(0，＋∞)时，通过图象可知f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.
故a＝1.
12．(1)证明　设x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)＝.
由x1>x2≥0?x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在定义域上是增函数．
(2)解　g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝，
g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．
13．解　(1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，
连结OD.
由圆的性质，H是中点，设OH＝h，
h＝＝.
又在直角△AND中，AD＝
＝＝＝2，
所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4，其定义域是(0,2)．
(2)令t＝，则t∈(0，)，且x＝2－t2，
所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，
当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.