第二章　基本初等函数(Ⅰ)同步练习（33页，含答案）

第二章　基本初等函数(Ⅰ)
§2.1　指数函数
2．1.1　指数与指数幂的运算
1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．
2．式子叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．
3．(1)n∈N*时，()n＝____.
(2)n为正奇数时，＝____；n为正偶数时，＝______.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是(　　)
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④
2．若2A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1
3．在(－)－1、、、2－1中，最大的是(　　)
A．(－)－1 B． C． D．2－1
4．化简的结果是(　　)
A．a B． C．a2 D．
5．下列各式成立的是(　　)
A.＝ B．()2＝
C.＝ D.＝
6．下列结论中，正确的个数是(　　)
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>0)；
③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7.－＋的值为________．
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.
三、解答题
10．计算：＋＋－×.
11．设－3能力提升
12．化简：÷(1－2)×.
13．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值
第二章　基本初等函数(Ⅰ)
§2.1　指数函数
2．1.1　指数与指数幂的运算
知识梳理
1．xn＝a(n>1，且n∈N*)　2.根式　根指数　被开方数
3．(1)a　(2)a　|a|　4.(1)　(2)　(3)0　没有意义
5．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr
作业设计
1．D　[①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.]
2．C　[原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．C　[∵(－)－1＝－2, ＝，＝，2－1＝，
∵>>>－2，∴>>2－1>(－)－1.]
4．B　[原式＝＝.]
5．D　[被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；()2＝，B选项错；>0，<0，C选项错．故选D.]
6．B　[①中，当a<0时，
＝(－a)3＝－a3，∴①不正确；
②中，若a＝－2，n＝3，则＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1.④正确．]
7.
解析　原式＝－＋＝－＋＝.
8．9
解析　＝(ax)2·＝32·＝9.
9．－23
解析　原式＝4－33－4＋4＝－23.
10．解　原式＝＋＋＋1－22＝2－3.
11．解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
12．解　原式＝×
13．解　∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，∴＝＝.
2．1.2　指数函数及其性质(一)
1．指数函数的概念
一般地，__________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点
过点______，即x＝____时，y＝____
函数值
的变化
当x>0时，________；
当x<0时，________
当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性
是R上的__________
是R上的__________
一、选择题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为(　　)
A．－9 B. C．－ D．9
5．右图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是(　　)
A．a6．函数y＝()x－2的图象必过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
二、填空题
7．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．
8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b必满足条件________________．
9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2) 和；
(3)2－1.5和30.2.
能力提升
12．定义运算a⊕b＝，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．
2．1.2　指数函数及其性质(一)
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)　R　2.(0,1)　0　1　y>1
01　增函数　减函数
1．B　[A中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C中因有负号，也不是指数函数，D中的函数可化为y＝a2·ax，ax的系数不是1，故也不是指数函数．]
2．C　[由题意得解得a＝2.]
3．B　[该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．]
4．C　[当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝3－x，即－f(x)＝()x，
∴f(x)＝－()x.因此有f(2)＝－()2＝－.]
5．B　[作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．]
6．D　[函数y＝()x的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y＝()x－2的图象，所以观察y＝()x－2的图象知选D.]
7. 解析　由题意a2＝4，∴a＝2. f(－3)＝2－3＝.
8．a>1，b≥2
解析　函数y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数y＝ax的图象沿y轴平移|b－1|个单位得到．若01时，由于y＝ax的图象必过定点(0,1)，当y＝ax的图象沿y轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b－1≥1，得b≥2.因此，a，b必满足条件a>1，b≥2.
9．[0,8) 解析　y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·()x＝8[1－()x]．
∵x≥0，∴0<()x≤1，∴－1≤－()x<0，从而有0≤1－()x<1，因此0≤y<8.
10．解(1)考查函数y＝0.2x.因为0<0.2<1，所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数y＝()x.因为0<<1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
12．A　[由题意f(x)＝1⊕2x＝]
13．解　(1)令x＝1，y＝2，可知f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)设0t，又f()>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[()s]－f[()t]＝sf()－tf()＝(s－t)f()>0，∴f(x1)>f(x2)．
故f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，∴0当a＝0时，x∈?，当a>0时，0综上：a≤0时，x∈?；a>0时，不等式解集为{x|02．1.2　指数函数及其性质(二)
1．下列一定是指数函数的是(　　)
A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)
C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－)x
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则(　　)
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．03．函数y＝πx的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．R D．(－∞，0)
4．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，)
5．设<()b<()a<1，则(　　)
A．aaC．ab6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为(　　)
A．a<2 B．a>2 C．－1一、选择题
1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)
A．QP B．QP
C．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}
2．函数y＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1 C．3 D.
4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2
C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋2
6．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是(　　)
A．c8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________________．
9．函数y＝的单调递增区间是________．
10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；
(2)求函数y＝的单调区间．
11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－，]．
(1)设t＝2x，求t的取值范围；
(2)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：02．1.2　指数函数及其性质(二)
1．C　2.C　3.A
4．B　[∵函数y＝()x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
5．C　[由已知条件得01．B　[因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以QP.]
2．C　[∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴∈[0,4)．]
3．C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上递增函数，当x＝1时，ymax＝3.]
4．B　[∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．]
5．C　[∵y＝f(x)的图象与g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，
∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.]
6．A　[∵y＝()x是减函数，－>－，∴b>a>1.又08．(－∞，－1)
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈?；当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.综上可知x∈(－∞，－1)．
9．[1，＋∞) 解析　利用复合函数同增异减的判断方法去判断．
令u＝－x2＋2x，则y＝()u在u∈R上为减函数，
问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．
10．解　(1)设x1又由y＝2u的增减性得，即f(x1)(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，则u在区间[1，＋∞)上为增函数．
据(1)知y＝在[1，＋∞)为增函数．同理得函数y在(－∞，1]为减函数．
即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解　(1)∵t＝2x在x∈[－，]上单调递增，∴t∈[，]．
(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，g(t)在[，1]上递减，在[1，]上递增，
比较得g()∴函数的值域为[2,5－2]．
12．A　[当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，所以排除C、D.
当x＝3时，y＝－1，所以排除B.故选A.]
13．(1)解　∵f(0)＝＝0，∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明　设x1，x2∈R且x1>0,－>0，
即f(x1)(3)解　由0即2§2.1　习题课
1．下列函数中，指数函数的个数是(　　)
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．无最大值
4．将化成指数式为________．
5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()－0.5，则a，b，c的大小顺序为______________．
6．已知＋＝3，求x＋的值．
一、选择题
1．的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
2．化简＋的结果是(　　)
A．3b－2a B．2a－3b C．b或2a－3b D．b
3．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
4．若函数则f(－3)的值为(　　)
A. B. C．2 D．8
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．00 D．06．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
二、填空题
7．计算：－(－)0＋160.75＋＝___________________________________.
8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.
9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；(2)()－1.2和()－1.4；
(3) 和；(4)π－2和()－1.3.
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
§2.1　习题课
双基演练
1．B　[只有③中y＝3x是指数函数．]
2．A　[因f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋b＝0，b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]
3．A　[当x≤0时，f(x)＝2x；
当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然，其最大值是1.]
4．2 解析　
5．b又指数函数y＝2x在R上是增函数，∴b则x＋x－1＝7，即x＋＝7.
作业设计
1．C　[原式＝＝＝.]
2．C　[原式＝(a－b)＋|a－2b|＝]
3．D　[当01，()x<1，对于()x，(0.2)x，不妨令x＝，
则有>.]
4．A　[f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.]
5．D　[f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以06．D　[f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]
7.
＝0.4－1－1＋23＋0.1＝－1＋8＋＝.
8.
9．[－8，]
解析　因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈
[－9，－]，所以y＝1－3x∈[－8，]．
10．解　(1)考查函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考查函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以()－1.2>()－1.4.
(3)考查函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为<，所以<.
(4)∵π－2＝()2<1，()－1.3＝31.3>1 ∴π－2<()－1.3.
11．解　(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝，
即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．综上所述，所求a的值为或.
§2.2　对数函数
2．2.1　对数与对数运算
第1课时　对　数
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a叫做__________，N叫做______．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做____________，以e为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，logeN简记为________．
3．对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝____.
对数恒等式：alogaN＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数__________．
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．24．方程＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
5．若loga＝c，则下列关系式中正确的是(　　)
A．b＝a5c B．b5＝ac C．b＝5ac D．b＝c5a
6．的值为(　　)
A．6 B. C．8 D.
二、填空题
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则＝________.
三、解答题
10．(1)将下列指数式写成对数式：
①10－3＝；②0.53＝0.125；③(－1)－1＝＋1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log26＝2.585 0； ②log30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1.
11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．
能力提升
12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75 C．45 D．225
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：
①log68；②log62；③log26.
§2.2　对数函数
第1课时　对　数
知识梳理
1．以a为底N的对数　x＝logaN　对数的底数　真数　2.常用对数　自然对数　lg N　ln N　3.x　N　x　4.(1)零　(2)1　(3)没有对数
作业设计
1．C　[①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．C　[∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；
∵ln e＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]
3．C　[由对数的定义知??24．A　[∵＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.]
5．A　[由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.]
6．C　[()－1＋log0.54＝()－1·()＝2×4＝8.]
7.
解析　由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，∴＝＝＝＝.
8．3 解析　由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，又∵x>0，∴x＝3.
9.
解析　依据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1)，有a＝102.431 0，b＝101.431 0，
∴＝＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝.
10．解　(1)①lg＝－3；②log0.50.125＝3；③log－1(＋1)＝－1.
(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.
11．解　A＝·()＝. 又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝＝1.
12．C　[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5. ∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
13．解　(1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a. ②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.
第2课时　对数的运算
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝____________________；
(2)loga＝____________________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)(　　)
A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax
C.＝loga D.＝logax－logay
2．计算：log916·log881的值为(　　)
A．18 B. C. D.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B. C．25 D.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于(　　)
A．15 B. C．± D．225
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于(　　)
A. B. C. D.
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于(　　)
A．2 B. C．4 D.
二、填空题
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝_____________________________________.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
10．(1)计算：lg－lg＋lg 12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
第2课时　对数的运算
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM　2.1
作业设计
1．C 2．C　[log916·log881＝·＝·＝.]
3．D　[由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.]
4．B　[∵3a＝5b＝A>0，∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，得A2＝15，A＝.]
5．C　[∵log89＝a，∴＝a. ∴log23＝a.
lg 3＝＝＝.]
6．A　[由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2， lg alg b＝.
于是(lg)2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.]
7.－3
解析　原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1 解析　(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
10．解　　lg－lg＋lg 12.5－log89·log34＝lg－lg＋lg－·
＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－·
＝(lg 2＋lg 5)－＝1－＝－.
(2)方法一　由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
11．解　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·(＋)
＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
2．2.2　对数函数及其性质(一)
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
________
值域
________
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点________，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
对称性
函数y＝logax与y＝的图象关于____对称
3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于(　　)
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是(　　)
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x
6．若loga<1，则a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，＋∞) C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞)
二、填空题
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是______________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数则f(log23)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是(　　)
A．a4B．a3C．a2D．a3若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
2．2.2　对数函数及其性质(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1)　(0，＋∞)　2.(0，＋∞)　R
(1,0)　(－∞，0)　[0，＋∞)　(0，＋∞)　(－∞，0]　x轴
3．y＝ax (a>0且a≠1)
作业设计
1．D　[由题意得：解得x≥4.]
2．C　[M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．]
3．B　[α＋1＝2，故α＝1.]
4．A　[y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]
5．D　[由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]
D　[由loga<1得：loga1时，有a>，即a>1；
当07．(1,2) 解析　由题意，得或解得18．(4，－1) 解析　y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析　∵1＝f(log23＋3)＝f(log224)＝＝.
10．解　(1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
12．B　[作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解　由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，∴只要x＝时，y＝logm≥＝logm.
∴≤，即≤m.又02．2.2　对数函数及其性质(二)
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　)
A．5 B. C. D.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．y＝和y＝()2 B．|y|＝|x|和y3＝x3
C．y＝logax2和y＝2logax D．y＝x和y＝logaax
3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f()的定义域是(　　)
A．[，1] B．[4,16] C．[，] D．[2,4]
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.
6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点____________．
一、选择题
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A．a2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为(　　)
A．[－1,1] B．[，2] C．[1,2] D．[，4]
3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有(　　)
A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)
C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
5．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)
A．b B．－b C. D．－
6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是(　　)
A．y＝ (x>0) B．y＝log3x(x>0)
C．y＝log3x(≤x<1) D．y＝ (≤x<1)
二、填空题
7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．
8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是______________．
9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．
11．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2．2.2　对数函数及其性质(二)
双基演练
1．A
2．D　[y＝logaax＝xlogaa＝x，即y＝x，两函数的定义域、值域都相同．]
3．C　[由题意得：2≤≤4，所以()2≥x≥()4，即≤x≤.]
4．A　[∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.]
5．2
解析　由已知得loga(b－1)＝0且logab＝1，
∴a＝b＝2.从而f(2)＝log2(2＋2)＝2.
6．(3,1)
解析　若x－2＝1，则不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y＝1.
作业设计
1．D　[因为0所以b2．D　[∵－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为[，2]
即≤log2x≤2，∴≤x≤4.]
3．C　[∵loga8＝3，解得a＝2，因为函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f(－3)>f(－2)．]
4．B　[函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.]
5．B　[f(－x)＝lg＝lg()－1＝－lg
＝－f(x)，则f(x)为奇函数，
故f(－a)＝－f(a)＝－b.]
6．C　[由y＝3x(－1≤x<0)得反函数是y＝log3x(≤x<1)，
故选C.]
7．b≤1
解析　由题意，x≥1时，2x－b≥1.
又2x≥2，∴b≤1.
8．[，1)∪(1,2]
解析　∵|y|>1，即y>1或y<－1，
∴logax>1或logax<－1，
变形为logax>logaa或logax当x＝2时，令|y|＝1，
则有loga2＝1或loga2＝－1，
∴a＝2或a＝.
要使x>2时，|y|>1.
如图所示，a的取值范围为19．(0,1)∪(，＋∞)
解析　loga2<2＝logaa2.若0若a>1，由于y＝logax是增函数，
则a2>2，得a>.综上得0.
10．解　由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.
又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，
故3－2a>0，即a<.
综上可得，a的取值范围是111．解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
(2)f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)
＝(1＋x)，
当x>1时，(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)∴m≥－1.
§2.2　习题课
1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是(　　)
A．m2．已知0A．13．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．(1,2) B．[1,4] C．[1,2) D．(1,2]
4．给定函数①y＝，②y＝，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________________．
6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.
一、选择题
1．下列不等号连接错误的一组是(　　)
A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65
C．log34>log56 D．logπe>logeπ
2．若log37·log29·log49m＝log4，则m等于(　　)
A. B. C. D．4
3．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
4．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－) B．(－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－)
5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(logx)<0的解集为(　　)
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1)∪(2，＋∞) D．(0，)∪(2，＋∞)
二、填空题
7．已知loga(ab)＝，则logab＝________.
8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.
9．设函数若f(a)＝，则f(a＋6)＝________.
三、解答题
10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
能力提升
12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．
§2.2　习题课
双基演练
1．C　[01，p<0，故p2．A　[∵0n>1.]
3．A　[由题意得：解得：14．B　[①y＝在(0,1)上为单调递增函数，∴①不符合题意，排除A，D.
④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数，排除C，故选B.]
5．f(a＋1)>f(2)
解析　当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；
当0f(2)．
综上可知，f(a＋1)>f(2)．
6．a－2
解析　log38－2log36＝log323－2(1＋log32)＝3a－2－2a＝a－2.
作业设计
1．D　[对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1可知，logeπ>1>logπe错误．]
2．B　[左边＝··＝，右边＝＝－，
∴lg m＝lg 2－＝lg，∴m＝.]
3．A　[∵f(3)＝2，∴loga(3＋1)＝2，
解得a＝2，又f(－2)＝0，∴4－4＋b＝0，b＝0.]
4．D　[令y＝2x2＋x，其图象的对称轴x＝－<0，
所以(0，)为y的增区间，所以00，所以0f(x)的定义域为2x2＋x>0的解集，即{x|x>0或x<－}，
由x＝－>－得，(－∞，－)为y＝2x2＋x的递减区间，
又由05．C　[①若a>0，则f(a)＝log2a，f(－a)＝a，
∴log2a>a＝log2∴a>，∴a>1.
②若a<0，则f(a)＝ (－a)，f(－a)＝log2(－a)，
∴ (－a)>log2(－a)＝ (－)，∴－a<－，∴－1由①②可知，－11.]
6．C　[∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，
在(0，＋∞)上f(x)<0?f(x)?同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－)＝0，得x>2.
综上所述，x∈(，1)∪(2，＋∞)．]
7．2p－1
解析　∵logaba＝p，logabb＝logab＝1－p，
∴logab＝logaba－logabb＝p－(1－p)＝2p－1.
8.a＋b－2
解析　因为log236＝a，log210＝b，所以2＋2log23＝a,1＋log25＝b.
即log23＝(a－2)，log25＝b－1，所以log215＝log23＋log25＝(a－2)＋b－1＝a＋b－2.
9．－3
解析　(1)当a≤4时，2a－4＝，解得a＝1，此时f(a＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a>4时，－log2(a＋1)＝，无解．
10．解　由log4(x＋a)<1，得0即B＝{x|－a∵A∩B＝?，∴解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1,2]．
12．解　设u(x)＝x2－2x＋3，则u(x)在定义域内有最小值．
由于f(x)在定义域内有最小值，所以a>1.
所以loga(x－1)>0?x－1>1?x>2，
所以不等式loga(x－1)>0的解集为{x|x>2}．
§2.3　幂函数
1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为(　　)
A. B．64 C．2 D.
3．下列是y＝的图象的是(　　)
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是____________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
三、解答题
10．比较1. 、、的大小，并说明理由．
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
§2.3　幂函数
知识梳理
1．函数y＝xα　3.(1)(1,1)　(2)(0,0)，(1,1)　递增　下凸
(3)(1,1)　递减　(4)原点　y轴　(5)四
作业设计
1．C　[根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]
2．A　[设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B　[y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．]
4．B　[作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A　[根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]
6．B　[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
7．④
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析　y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－解析　由幂函数的性质知－2m－3>0，故m<－.
10．解　考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，∴>>.
12．解　(1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.