第二章　基本初等函数(Ⅰ) 单元测试（含答案）

第二章　基本初等函数(Ⅰ)(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A. B．－ C. D．－
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A．[0，) B．[0，] C．[1，) D．[1，]
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
4．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是(　　)
A．7 B．7 C．±7 D．98
5．若a>1，则函数y＝ax与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的(　　)
6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是(　　)
A．y＝()|x－1| B．y＝
C．y＝()x＋3()x＋1 D．y＝log3(x2－2x＋4)
7．若0A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0
C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0
8．已知函数f(x)＝，则f(f())等于(　　)
A．4 B. C．－4 D．－
9．右图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．m<0，n>1 B．m>0，n>1
C．m>0,010．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 D．log7611．方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是(　　)
A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝?
12．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为(　　)
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.＝________.
14．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
15．设loga<1，则实数a的取值范围是________________．
16．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)计算：(－3)0－＋(－2)－2－；
(2)已知a＝，b＝，
求[]2的值．
18．(12分)(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)计算：log49－log212＋.
19．(12分)设函数f(x)＝2x＋－1(a为实数)．
(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；
(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．
20．(12分)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
21．(12分)已知－3≤≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
22．(12分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(ax－bx)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．
第二章　基本初等函数(Ⅰ)(A)
1．C　[∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．C　[由函数的解析式得：即
所以1≤x<.]
3．C　[∵x≥1，∴x2＋3≥4，
∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4.]
4．B　[由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，
则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，
A2＝98.又A>0，故A＝＝7.]
5．C　[∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，
又1－a<0，所以y＝(1－a)x2的图象为开口向下的抛物线．]
6．C　[A选项中，∵|x－1|≥0，∴0B选项中，y＝＝，∴y>0；
C选项中y＝[()x]2＋3()x＋1，∵()x>0，∴y>1；
D选项中y＝log3[(x－1)2＋3]≥1.]
7．C　[当－10，排除B、D.设u＝x＋1，则u在(－1,0)上是增函数，且y＝logau在(0，＋∞)上是减函数，故f(x)在(－1,0)上是减函数．]
8．B　[根据分段函数可得f()＝log3＝－2，
则f(f())＝f(－2)＝2－2＝.]
9．D　[当x＝1时，y＝m，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以010．D　[A选项中由于y＝log0.4x在(0，＋∞)单调递减，
所以log0.44>log0.46；
B选项中函数y＝1.01x在R上是增函数，
所以1.013.4<1.013.5；
C选项中由于函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以3.50.3>3.40.3；
D选项中log76<1，log67>1，故D正确．]
11．B　[由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，
解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；
由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，
解得2x＝4或2x＝，
即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有MN.]
12．C　[∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)13.
解析　原式＝＝×＝＝.
14．(1,4)
解析　由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．
15．(0，)∪(1，＋∞)
解析　当a>1时，loga<0<1，满足条件；
当0故a>1或016．(1,2)
解析　当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，
所以loga2>1＝logaa，所以117．解　(1)原式＝1－0＋－＝1＋－2－1
＝1＋－＝.
(2)因为a＝，b＝，所以
原式＝
＝.
18．解　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22·3＝12.
(2)原式＝log23－(log23＋log24)＋
＝log23－log23－2＋＝－.
19．解　(1)当a＝0时，f(x)＝2x－1，
由已知g(－x)＝－g(x)，
则当x<0时，g(x)＝－g(－x)＝－f(－x)＝－(2－x－1)
＝－()x＋1，
由于g(x)为奇函数，故知x＝0时，g(x)＝0，
∴g(x)＝.
(2)f(x)＝0，即2x＋－1＝0，整理，
得：(2x)2－2x＋a＝0，
所以2x＝，
又a<0，所以>1，所以2x＝，
从而x＝log2.
20．解　(1)要使此函数有意义，则有或，
解得x>1或x<－1，此函数的定义域为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当021．解　∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－，
∵－3≤≤－.
∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
22．(1)解　∵ax－bx>0，∴ax>bx，∴()x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴y＝()x在R上递增．
∵()x>()0，∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)证明　设x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴>>1,0<<<1.
∴－>－>－1.∴－>－>0.
又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
∴lg(－)>lg(－)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在定义域内是增函数．
(3)解　由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，
∴∴解得
第二章　基本初等函数(Ⅰ)(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝的值域为N，则M∩N等于(　　)
A．M B．N C．[0,4) D．[0，＋∞)
2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为(　　)
A．[2,8] B．[0,8] C．[1,8] D．[－1,8]
3．已知f(3x)＝log2，则f(1)的值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D.
4．等于(　　)
A．7 B．10 C．6 D.
5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．比较、23.1、的大小关系是(　　)
A．23.1<< B．<23.1<
C．<<23.1 D．<<23.1
7．式子的值为(　　)
A. B. C．2 D．3
8．已知ab>0，下面四个等式中：
①lg(ab)＝lg a＋lg b； ②lg＝lg a－lg b；
③lg()2＝lg ； ④lg(ab)＝.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于(　　)
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．
14．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
15．函数y＝的单调递增区间为______________．
16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．
18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
19．(12分)已知x>1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．
21．(12分)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
第二章　基本初等函数(Ⅰ)(B)
1．C　[由题意，得M＝{x|x<4}，N＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{x|0≤x<4}．]
2．B　[当x＝0时，ymin＝30－1＝0，
当x＝2时，ymax＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．]
3．D　[由f(3x)＝log2，
得f(x)＝log2，f(1)＝log2＝.]
4．B　[＝2·＝2×5＝10.]
5．B　[由100a＝5，得2a＝lg 5，
由10b＝2，得b＝lg 2，∴2a＋b＝lg 5＋lg 2＝1.]
6．D　[∵＝1.5－3.1＝()3.1，
＝2－3.1＝()3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，
<<2，
∴()3.1<()3.1<23.1，故选D.]
7．A　[∵log89＝＝log23，
∴原式＝.]
8．B　[∵ab>0，∴a、b同号．
当a、b同小于0时①②不成立；
当ab＝1时④不成立，故只有③对．]
9．C　[y＝lg＝lg(x＋3)－1，
即y＋1＝lg(x＋3)．故选C.]
10．D　[分别作出y＝2x与y＝x2的图象．
知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交，故选D.]
11．B　[∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)>0，得x>2.又f(x)为偶函数且f(x－2)>0，∴f(|x－2|)>0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.]
12．A　[由f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a>1，而f(－4)＝a|－4＋1|＝a3，
f(1)＝a|1＋1|＝a2，
∵a3>a2，∴f(－4)>f(1)．]
13.
解析　∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，
则f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝＝()3·＝×＝.
14．－3
解析　∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
15．(－∞，1)
解析　函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，
令u＝x2－3x＋2，则y＝是减函数，
所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，
所以(－∞，1)为函数y的递增区间．
16.　
解析　y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
17．解　(1)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则f(x)的反函数g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(2)∵g(x)≤loga(2－3x)，∴logax≤loga(2－3x)
若a>1，则，解得0若0综上所述，a>1时，不等式解集为(0，]；
018．解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，
故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，
故值域为[－，0]．
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；
当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，
过点(0，－1)，不成立；
当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．
故a的取值范围为(0，＋∞)．
19．解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx＝logxx，当1当x>时，x>1，∴logxx>0.
即当1当x>时，f(x)>g(x)．
20．解　(1)∵t＝log2x，≤x≤4，
∴log2≤t≤log24，
即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(log2x)2＋3log2x＋2，
∴令t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，
∴当t＝－即log2x＝－，x＝时，
f(x)min＝－.
当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
21．解　(1)由对数函数的定义知>0，
故f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)(ⅰ)对a>1，loga>0等价于>1，①
而从(1)知1－x>0，故①等价于1＋x>1－x又等价于x>0.
故对a>1，当x∈(0,1)时有f(x)>0.
(ⅱ)对00等价于0<<1，②
而从(1)知1－x>0，故②等价于－1故对00.
综上，a>1时，x的取值范围为(0,1)；
022．解　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0?b＝1.∴f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
设x1因为函数y＝2x在R上是增函数且x1∴－>0.
又(＋1)( ＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因为f(x)是奇函数，
从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.
即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－.