人教版数学八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
知识梳理 分点训练
知识点1 角平分线的定义及作法
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
2. 如果要作已知角∠AOB的平分线OC，合理的顺序是( )
①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD， OE，使OD=OE；③分别以D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①
3. 已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，但不写作法.
知识点2 角平分线的性质
4. 如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD= 6，则点P到边OB的距离为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
第4题 第5题
5. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，当∠A=50°时，则∠BDC= .
6. 如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，且DB = DC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：∠B=∠C.
知识点3 命题、证明
7. 命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是 ，结论是 .
8. 证明：全等三角形对应边上的中线相等.
课后提升 巩固训练
9. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第9题 第10题
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，则下列结论中，错误的是( )
A. BD＋DE=BC B. DE平分∠ADB
C. DA平分∠EDC D. DE＋AC>AD
11. 如图所示，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，OE=2，则AB与CD之间的距离为 .
第11题 第12题
12. 如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm.
13. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC= 8cm，BD = 5cm，AB =10，那么
S△BAD = cm2.
14. 如图所示，铁路AO和铁路OB交汇于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，现想在河道A上修建一座水厂，要求到铁路OA，OB的距离相等，问水厂应建在图中的什么位置?请你作图试一试.
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线，BC=64，BD：DC=9：7，求D到AB的距离.
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，且BE=CF.
求证：BD=DF.
拓展探究 综合训练
17. 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
参考答案
1. A
2. C
3. 解：如图所示.
4. A
5. 115°
6. 证明：由角平分线的性质得DE=DF，又∵DB = DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B=∠C.
7. 两个三角形全等 这两个三角形对应边上的高线相等
8. 己知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD， A'D'分别是BC，B'C'边上的中线.
求证：AD=A'D'.
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB=A'B'，∠B=∠B' ， BC = B'C' .又∵AD， A'D'分别是BC，B'C'边上的中线.∴BD=BC，B'D'=B'C'，∴BD=B'D'，∴△ABD≌△A'B'D' (SAS).∴AD=A'D'.
9. B
10. B
11. 4
12. 6
13. 15
14. 解： ∠AOB的平分线与AB的交点处，图略.
15. 解：作DE⊥AB于E，∠C=90°，DC⊥AC，又AD为∠BAC的角平分线，DC=DE，BC=64，BD：DC=9：7，DC=×64=28，DE=28.
16. 证明：∵AD平分∠BAC，且DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC. 在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵DE=DC，∠DEB=∠DCF=90°. EB=CF，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(SAS)，∴BD=DF.
17. 已知：△ABC和△A'B'C' 中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠B，∠B'的角平分线BD和B'D'，
求证：△ABC≌△A'B'C'.
