第二章 直角三角形的边角关系测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 直角三角形的边角关系测试题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-28 08:07:37 | ||
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文档简介
第二单元测试题
(九年级数学上)
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.如果把Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍得到Rt△A’B’C’,那么锐角∠A和∠A’的余弦值的关系为（ ）
A.cos A= cos A' B.cos A= 3cos A' C.3cos A= cos A D.不能确定
2.已知某锐角的度数为a,tan(a-10°)=1,则a的值为( )
A.30o B.35o C.45o D.55o
3.如图所示，△ABC与△A’B’C’都是等腰三角形,且AB=AC=5,A’B’=A’C’=3,若∠B+∠B′=90°,则△ABC与△A'B'C′的面积比为( )
A.25:9 B.5:3 C.: D.:
4.如图所示,锐角a的顶点在原点,一条边在x轴上,另外一边经过点P(3,-4),则sina的值为( )
A.- B. C. D.-
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为（ ）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，sinB=cos(90o-∠C)=,那么△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如图所示,电线杆AB的高为10m,当太阳光线与地面的夹角为60°时,其影长AC为（ ）(参考数据:≈1.732,结果精确到0.01m）
A.5.00m B.8.66m C.17.3m D.5.77m
8.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,若AC=6.∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD等于（ ）
A.2 B.3 C.3 D.2
9.如图所示,钓鱼竿AC为6m,露出水面上的鱼线BC长为3m,某垂钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC’的位置,此时露在水面上的鱼线B’C’为3m,则鱼竿转过的角度是( )
A.60o B.45o C.15o D.90o
10.如图所示,已知点A的坐标为(5,0),直线y=x+b(b＞0)与y轴交于点B,连接AB,∠a=75°,则b的值为( )
A.3 B. C.4 D.
11.如图所示,渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向上,这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行,半小时后到达B处,在B处看见灯塔M在北偏东15o方向上,此时,灯塔M与渔船的距离是（ ）
A.海里 B.海里 C.7海里 D.14海里
12.如图所示,水库大坝的横截面为梯形,坝顶宽6米,坝高12米,斜坡AB的坡角为60°,斜坡CD的坡度为3:2,则坝底AD的长为( )
A.24米 B.(14+4)米 C.(12+8)米 D.20米
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.如图所示，某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长 米。
14.如图所示,在△ABC中，∠A=30°,tanB=，BC=，则AB的长为 。
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,沿△ABC的中线CM将△CMA折叠,使点A落在点D处,若CD恰好与MB垂直,则tanA的值为 。
16.(2016·盐城中考)已知△ABC中,tanB=3,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD:CD=2:1,则△ABC面积的所有可能值为 。
17.已知点P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫
△ABC的费马点( Fermat point).已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=
∠BPC=120°时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则
PD+PE+PF= 。
三、解答题(共49分)
18.(每小题3分,共6分)计算:
(1)-(4-π)0-6cos30°+;
(2)+2sin60°+tan60°-+ tan45o
19.(6分)如图所示,在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°,沿着坡度为30°的斜坡前进400米到达D处(即∠DCB=30°,CD=400米),测得山顶A的仰角为60°求山的高度AB。
20.(6分)如图所示,一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处?(参考数据:≈1.732,结果精确到0.1)
21.(6分)如图①②③所示,根据图中数据完成填空,再按要求答题：
sin2 A1+ sin2B1= ； sin2 A2 + sin2B2= ； sin2A3+sin2B3= 。(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= 。
(2)如图④所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想。
(3)已知:∠A+∠B=90°,且sinA=,求sinB。
22.(7分)为了保护视力,要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm,如图①所示是一位同学的坐姿,把她的眼睛B,肘关节C和笔端A的位置关系抽象成如图②所示的△ABC,已知BC=30cm，AC=22cm,
∠ACB=53°,她的这种坐姿符合保护视力的要求吗?请说明理由,(参考数据:sin53°≈0.8,cos53o≈0.6,tan53o≈1.3)
23.(8分)如图所示,一渔船自西向东追赶鱼群,在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上,前进2海里到达B点,此时测得无名小岛C在东北方向上,已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁,问渔船继续
追赶鱼群有无触礁危险?(参考数据:≈1.414,≈1.732)
24.(10分)阅读材料:关于三角函数还有如下的公式:
Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
Tan(α±β)=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,例如:
tan15o=tan(45o-30o)=
根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下面的问题:
(1)计算sin15o
(2)某县体育场有一移动公司的信号塔,小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度,如图所示,小华站在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助小华求出该信号塔的高度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.732,≈1.414)
参考答案及解析
1.A 2.D
3.A 解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,过点A’作A’D’⊥B’C′于点D’，
∵△ABC与△A’B’C′都是等腰三角形,∴∠B=∠C,∠B′=∠C’,BC=2BD,B’C’=2B’D’,
∴AD=AB·sinB,A’D′=A’B’.sinB’,BC=2BD=2AB.cosB, BC=2B’D′=2A’B′.cosB’.
∵∠B+∠B’=90o
∴sinB=cosB’,sinB′=cosB,
∵S△ABC=AD·BC=AB.sinB.2AB.cosB=25sinB·COS B
S△A'B’C′=AD’·BC′=A’B′.sinB′·2A’B′·cosB’=9sinB’·cosB′,
∴S△ABC:S△A’B’C′=25:9.故选A
4.B 5.A 6.A 7.D
8.A 解析:∵AC=6,∠C=45o, ∴AD=AC.sin45°=6×=6.∵tan∠ABC=3,
∴=3, ∴BD=AD/3=2.
故选A
9.C
10.B 解析:直线y=x+b与坐标轴交于B,C两点,则OB=OC=b,∴∠CBO=45°.又∵∠a=75°,
∴∠OBA=60°,在Rt△AOB中,OA=5,∴OB==,∴b= .
11.A 12.B
13.100 14.3+ 15.
16.8或24 解析:如图①所示，∵ BC= 6, BD: CD=2:1 ∴BD=4
∵AD⊥BC,tanB=，∴ AD/BD=2/3 ，∴AD=BD=，
∴S△ABC=BC·AD=×6×=24
如图②所示, BC=6, BD: CD=2:1 ∴BD=12
∵ AD⊥BC,tanB=，∴，∴AD=BD=8，
∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24
综上,△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24
17.+1 解析:如图所示,等腰Rt△DEF中,DE=DF=,过点D作DM⊥EF于点M,过点E,F分别作∠MEP=∠MFP=30o， 则EM=DM=1,故cos30o=，
解得PE=PF=,则PM=,
故DP=1-，则PD+PE+PF=1-+2×=
答案为:
18.解：（1） （2）
19.解:过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,设DE=xm。 在Rt△CDF中,CF=CD·cos∠DCF=400×=200(米), DF=CD.sin∠DCF=400×=200米),在Rt△ADE中, AE=DE·tan∠ADE=x(米).∵DF⊥BC,DE⊥AB，∠B=90°,∴四边形DEBF是矩形,∴DE=FB=x米,DF=EB=200米.又∵∠ACB=45°,∴AB=BC,∴200+x= 200+x,∴x=200∴AB=(200+200)米。
20.解:如图所示,AC⊥PC,∠APC=60o，∠BPC=45o，AP=20.
在Rt△APC中,∵cos∠APC=,∴PC=20·cos60o=10.
∴AC==10.
在△PBC中，∵∠BPC=45o，∴△PBC为等腰直角三角形。
∴BC=PC=10，∴AB=AC-BC=10-10≈7.3（海里）
答:它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处。
21.解：1 1 1
（1）1
（2）在Rt△ABC中,∠C=90°∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=。∵∠ACB=90o，∴BC2+AC2=AB2，即：a2+b2=c2,
∴sin2A+sin2B=1
22.解:她的这种坐姿不符合保护视力的要求。
理由:如图所示,过点B作BD⊥AC于点D，∵BC=30cm，∠ACB=53o，
∴sin53o=,解得BD=24cm。Cos53o=,解得DC=18cm。
∴AD=22-18=4cm。∴AB===﹤，
∴她的这种坐姿不符合保护视力的要求。
23.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D，根据题意，∠CAD=30o，∠CBD=45o，
在Rt△ACD中,AD=CD/tan30o=CD,在Rt△BCD中,BD=CD/tan45o=CD,
∵ AB= AD- BD，∴CD-CD=2,
解得CD=+1≈2.732＞2.5
答:渔船继续追赶鱼群没有触礁危险。
24.解:(1)sin15°=sin(45°-30°)
=sin45ocos30°-cos45°sin30°==
(2)在Rt△BDE中,DE=AC=7，∠BDE=75°,tan∠BDE=BE/DE
∴BE=DE·tan∠BDE=DE·tan75°. tan75°=tan(45°+30°)= tan45°+tan30o/1- tan45otan30o
=
∴BE=7×(2+)≈26.12
∴信号塔AB的高度=26.12+1.62≈27.7(米),
答:该信号塔AB的高度约为27.7米.
(九年级数学上)
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.如果把Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍得到Rt△A’B’C’,那么锐角∠A和∠A’的余弦值的关系为（ ）
A.cos A= cos A' B.cos A= 3cos A' C.3cos A= cos A D.不能确定
2.已知某锐角的度数为a,tan(a-10°)=1,则a的值为( )
A.30o B.35o C.45o D.55o
3.如图所示，△ABC与△A’B’C’都是等腰三角形,且AB=AC=5,A’B’=A’C’=3,若∠B+∠B′=90°,则△ABC与△A'B'C′的面积比为( )
A.25:9 B.5:3 C.: D.:
4.如图所示,锐角a的顶点在原点,一条边在x轴上,另外一边经过点P(3,-4),则sina的值为( )
A.- B. C. D.-
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为（ ）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，sinB=cos(90o-∠C)=,那么△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如图所示,电线杆AB的高为10m,当太阳光线与地面的夹角为60°时,其影长AC为（ ）(参考数据:≈1.732,结果精确到0.01m）
A.5.00m B.8.66m C.17.3m D.5.77m
8.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,若AC=6.∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD等于（ ）
A.2 B.3 C.3 D.2
9.如图所示,钓鱼竿AC为6m,露出水面上的鱼线BC长为3m,某垂钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC’的位置,此时露在水面上的鱼线B’C’为3m,则鱼竿转过的角度是( )
A.60o B.45o C.15o D.90o
10.如图所示,已知点A的坐标为(5,0),直线y=x+b(b＞0)与y轴交于点B,连接AB,∠a=75°,则b的值为( )
A.3 B. C.4 D.
11.如图所示,渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向上,这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行,半小时后到达B处,在B处看见灯塔M在北偏东15o方向上,此时,灯塔M与渔船的距离是（ ）
A.海里 B.海里 C.7海里 D.14海里
12.如图所示,水库大坝的横截面为梯形,坝顶宽6米,坝高12米,斜坡AB的坡角为60°,斜坡CD的坡度为3:2,则坝底AD的长为( )
A.24米 B.(14+4)米 C.(12+8)米 D.20米
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.如图所示，某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长 米。
14.如图所示,在△ABC中，∠A=30°,tanB=，BC=，则AB的长为 。
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,沿△ABC的中线CM将△CMA折叠,使点A落在点D处,若CD恰好与MB垂直,则tanA的值为 。
16.(2016·盐城中考)已知△ABC中,tanB=3,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD:CD=2:1,则△ABC面积的所有可能值为 。
17.已知点P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫
△ABC的费马点( Fermat point).已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=
∠BPC=120°时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则
PD+PE+PF= 。
三、解答题(共49分)
18.(每小题3分,共6分)计算:
(1)-(4-π)0-6cos30°+;
(2)+2sin60°+tan60°-+ tan45o
19.(6分)如图所示,在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°,沿着坡度为30°的斜坡前进400米到达D处(即∠DCB=30°,CD=400米),测得山顶A的仰角为60°求山的高度AB。
20.(6分)如图所示,一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处?(参考数据:≈1.732,结果精确到0.1)
21.(6分)如图①②③所示,根据图中数据完成填空,再按要求答题：
sin2 A1+ sin2B1= ； sin2 A2 + sin2B2= ； sin2A3+sin2B3= 。(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= 。
(2)如图④所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想。
(3)已知:∠A+∠B=90°,且sinA=,求sinB。
22.(7分)为了保护视力,要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm,如图①所示是一位同学的坐姿,把她的眼睛B,肘关节C和笔端A的位置关系抽象成如图②所示的△ABC,已知BC=30cm，AC=22cm,
∠ACB=53°,她的这种坐姿符合保护视力的要求吗?请说明理由,(参考数据:sin53°≈0.8,cos53o≈0.6,tan53o≈1.3)
23.(8分)如图所示,一渔船自西向东追赶鱼群,在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上,前进2海里到达B点,此时测得无名小岛C在东北方向上,已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁,问渔船继续
追赶鱼群有无触礁危险?(参考数据:≈1.414,≈1.732)
24.(10分)阅读材料:关于三角函数还有如下的公式:
Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
Tan(α±β)=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,例如:
tan15o=tan(45o-30o)=
根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下面的问题:
(1)计算sin15o
(2)某县体育场有一移动公司的信号塔,小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度,如图所示,小华站在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助小华求出该信号塔的高度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.732,≈1.414)
参考答案及解析
1.A 2.D
3.A 解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,过点A’作A’D’⊥B’C′于点D’，
∵△ABC与△A’B’C′都是等腰三角形,∴∠B=∠C,∠B′=∠C’,BC=2BD,B’C’=2B’D’,
∴AD=AB·sinB,A’D′=A’B’.sinB’,BC=2BD=2AB.cosB, BC=2B’D′=2A’B′.cosB’.
∵∠B+∠B’=90o
∴sinB=cosB’,sinB′=cosB,
∵S△ABC=AD·BC=AB.sinB.2AB.cosB=25sinB·COS B
S△A'B’C′=AD’·BC′=A’B′.sinB′·2A’B′·cosB’=9sinB’·cosB′,
∴S△ABC:S△A’B’C′=25:9.故选A
4.B 5.A 6.A 7.D
8.A 解析:∵AC=6,∠C=45o, ∴AD=AC.sin45°=6×=6.∵tan∠ABC=3,
∴=3, ∴BD=AD/3=2.
故选A
9.C
10.B 解析:直线y=x+b与坐标轴交于B,C两点,则OB=OC=b,∴∠CBO=45°.又∵∠a=75°,
∴∠OBA=60°,在Rt△AOB中,OA=5,∴OB==,∴b= .
11.A 12.B
13.100 14.3+ 15.
16.8或24 解析:如图①所示，∵ BC= 6, BD: CD=2:1 ∴BD=4
∵AD⊥BC,tanB=，∴ AD/BD=2/3 ，∴AD=BD=，
∴S△ABC=BC·AD=×6×=24
如图②所示, BC=6, BD: CD=2:1 ∴BD=12
∵ AD⊥BC,tanB=，∴，∴AD=BD=8，
∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24
综上,△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24
17.+1 解析:如图所示,等腰Rt△DEF中,DE=DF=,过点D作DM⊥EF于点M,过点E,F分别作∠MEP=∠MFP=30o， 则EM=DM=1,故cos30o=，
解得PE=PF=,则PM=,
故DP=1-，则PD+PE+PF=1-+2×=
答案为:
18.解：（1） （2）
19.解:过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,设DE=xm。 在Rt△CDF中,CF=CD·cos∠DCF=400×=200(米), DF=CD.sin∠DCF=400×=200米),在Rt△ADE中, AE=DE·tan∠ADE=x(米).∵DF⊥BC,DE⊥AB，∠B=90°,∴四边形DEBF是矩形,∴DE=FB=x米,DF=EB=200米.又∵∠ACB=45°,∴AB=BC,∴200+x= 200+x,∴x=200∴AB=(200+200)米。
20.解:如图所示,AC⊥PC,∠APC=60o，∠BPC=45o，AP=20.
在Rt△APC中,∵cos∠APC=,∴PC=20·cos60o=10.
∴AC==10.
在△PBC中，∵∠BPC=45o，∴△PBC为等腰直角三角形。
∴BC=PC=10，∴AB=AC-BC=10-10≈7.3（海里）
答:它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处。
21.解：1 1 1
（1）1
（2）在Rt△ABC中,∠C=90°∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=。∵∠ACB=90o，∴BC2+AC2=AB2，即：a2+b2=c2,
∴sin2A+sin2B=1
22.解:她的这种坐姿不符合保护视力的要求。
理由:如图所示,过点B作BD⊥AC于点D，∵BC=30cm，∠ACB=53o，
∴sin53o=,解得BD=24cm。Cos53o=,解得DC=18cm。
∴AD=22-18=4cm。∴AB===﹤，
∴她的这种坐姿不符合保护视力的要求。
23.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D，根据题意，∠CAD=30o，∠CBD=45o，
在Rt△ACD中,AD=CD/tan30o=CD,在Rt△BCD中,BD=CD/tan45o=CD,
∵ AB= AD- BD，∴CD-CD=2,
解得CD=+1≈2.732＞2.5
答:渔船继续追赶鱼群没有触礁危险。
24.解:(1)sin15°=sin(45°-30°)
=sin45ocos30°-cos45°sin30°==
(2)在Rt△BDE中,DE=AC=7，∠BDE=75°,tan∠BDE=BE/DE
∴BE=DE·tan∠BDE=DE·tan75°. tan75°=tan(45°+30°)= tan45°+tan30o/1- tan45otan30o
=
∴BE=7×(2+)≈26.12
∴信号塔AB的高度=26.12+1.62≈27.7(米),
答:该信号塔AB的高度约为27.7米.