24.1.4 圆周角
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2017黑龙江哈尔滨中考)如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( )
A.43° B.35° C.34° D.44°
2.(2017贵州黔东南州中考)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为( )
A.2 B.-1 C. D.4
3.(2017山东潍坊中考)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
4.如图,AB是☉O的直径,弦BC=2 cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B方向运动(到点B终止运动),设运动时间为t(s),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t=( )
A.1 s B. s C.1 s或 s D.1 s或 s
二、填空题
5.(2017浙江绍兴中考)如图,一块含45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在☉O上,边AB,AC分别与☉O交于点D,E,则∠DOE的度数为 .?
6.如图,A、B、C、D四点都在☉O上,AD是☉O的直径,且AD=6 cm,若∠ABC=∠CAD,则弦AC的长为 .?
三、解答题
7.(2018湖北黄石大冶月考)已知:如图,△ABC内接于☉O,AF是☉O的弦,AF⊥BC,垂足为D,点E为弧BF上一点,且BE=CF.
(1)求证:AE是☉O的直径;
(2)若∠ABC=∠EAC,AE=8,求AC的长.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O交AB于点D,交BC于点E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若∠B=70°,求的度数;
(3)若BD=2,BE=3,求AC的长.
24.1.4 圆周角
一、选择题
1.答案 B ∵∠D=∠A=42°,∠APD=77°,∴∠B=∠APD-∠D=35°,故选B.
2.答案 A ∵☉O的直径AB垂直于弦CD,∴CE=DE,∠CEO=90°,
∵∠A=15°,∴∠COE=30°,∵OC=2,∴CE=OC=1,∴CD=2CE=2,故选A.
3.答案 C 如图,∵A、B、D、C四点共圆,∠GBC=50°,∴∠GBC=∠ADC=50°,
∵AE⊥CD,∴∠AED=90°,∴∠EAD=90°-50°=40°,延长AE交☉O于点M,
∵AO⊥CD,∴=,∴∠DBC=2∠EAD=80°.故选C.
4.答案 C ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠ABC=60°,BC=2 cm,∴AB=2BC=4 cm,∵F是弦BC的中点,
∴BF=BC=1 cm.当∠BFE=90°时,∠B=60°,则BE=2BF=2 cm,则AE=AB-BE=2 cm,此时t==1(s);当∠BEF=90°时,∠B=60°,则BE=BF= cm,则AE=AB-BE= cm,此时t==(s).综上所述,t=1 s或 s.故选C.
二、填空题
5.答案 90°
解析 ∵∠A=45°,∴∠DOE=2∠A=90°.
6.答案 3 cm
解析 如图,连接CD,∵∠ABC=∠CAD,∴AC=CD,
∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∵AD=6 cm,∴AC2+CD2=36,∴AC=3 cm.
三、解答题
7.解析 (1)证明:∵BE=CF,
∴=,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AF⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠FAC+∠ACD=90°.
∵∠E=∠ACD,
∴∠E+∠BAE=90°,
∴∠ABE=90°,
∴AE是☉O的直径.
(2)如图,连接OC,
∵∠AOC=2∠ABC,∠ABC=∠CAE,
∴∠AOC=2∠CAE.
又∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO=∠AOC,
∴△AOC是等腰直角三角形.
∵AE=8,∴AO=CO=4,
∴AC=4.
8.解析 (1)证明:如图,连接AE,
∵AC为☉O的直径,∴∠AEC=90°,
∴AE⊥BC,∵AB=AC,
∴BE=CE.
(2)如图,连接OD、OE,
在Rt△ABE中,∠BAE=90°-∠B=90°-70°=20°,
∴∠DOE=2∠DAE=40°,
∴的度数为40°.
(3)如图,连接CD,BC=2BE=6,
设AC=x,∵AB=AC,BD=2,∴AD=x-2,
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
在Rt△BCD中,CD2=BC2-BD2=62-22=32,
在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,
∴(x-2)2+32=x2,解得x=9,
即AC的长为9.
24.1.4 圆周角
基础闯关全练
拓展训练
1.(2017山东日照莒县模拟)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,连接CD,若☉O的半径r=5,AC=5,则∠B的度数是( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
2.(2017江苏盐城中考)如图,将☉O沿弦AB折叠,点C在上,点D在上,若∠ACB=70°,则∠ADB= °.?
能力提升全练
拓展训练
1.(2016湖北十堰丹江口期中)如图,☉C过原点O,且与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为(0,4),点M是第三象限内上一点,∠BMO=120°,则☉C的半径为( )
A.4 B.5 C.6 D.2
2.(2018广东佛山南海期中)已知抛物线y=ax2-8ax+12a与x轴交于A、B两点,以AB为直径的☉G经过该抛物线顶点C,直线l∥x轴交该抛物线于M、N两点,交☉G于E、F两点,若EF=2,则MN的长为 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2017天津滨海新区期中,9,★★☆)如图,☉O的直径AB为4,点C在☉O上,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD、BD,则AD的长等于( )
A.2 B.3 C.2 D.2
2.(2017江苏无锡锡山月考,8,★★☆)如图,半径为5的☉A经过点C和点O,点B是y轴右侧☉A的优弧上一点,∠OBC=30°,则点C的坐标为( )
A.(0,5) B.(0,5)
C. D.
3.(2017江苏扬州邗江期末,16,★★☆)如图,AB是☉O的弦,AB=10,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M、N分别是AB、BC的中点,则MN长的最大值是 .?
4.(2017江苏泰州靖江一模,17,★★☆)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=4 cm,∠CAB=60°,P是弧上的一个动点,连接AP,过C点作CD⊥AP于D,连接BD,在点P移动的过程中,BD的最小值是 cm.?
五年中考全练
拓展训练
1.(2017新疆建设兵团中考,9,★★☆)如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C.连接AO并延长交☉O于点E,连接BE,CE,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为( )
A.12 B.15 C.16 D.18
2.(2016山东泰安中考,10,★★☆)如图,点A、B、C是☉O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交☉O于点F,则∠BAF等于( )
A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°
3.如图,在☉O中,AB是直径,BC是弦,点P是上任意一点,若AB=5,BC=3,则AP的长不可能为( )
A.3 B.4 C. D.5
4.(2017四川自贡中考,17,★★☆)如图,等腰△ABC内接于☉O,已知AB=AC,∠ABC=30°,BD是☉O的直径,如果CD=,则AD= .?
5.如图,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与☉O交于G、H两点.若☉O的半径为7,则GE+FH的最大值为 .?
核心素养全练
拓展训练
1.(2016北京朝阳二模)如图,△ABC为等边三角形,点O在过点A且平行于BC的直线上运动,以△ABC的高为半径的☉O分别交线段AB、AC于点E、F,则所对的圆周角的度数为 ( )
A.从0°到30°变化 B.从30°到60°变化
C.总等于30° D.总等于60°
2.(2016浙江杭州模拟)如图,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),以AB为直径的☉O',交y轴的负半轴于点C.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,C,B.已知点P是该抛物线上的动点,当∠APB是直角时,满足要求的点P的坐标为 .?
24.1.4 圆周角
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 D ∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2r=10,AC=5,由勾股定理得CD==5,∴CD=AD,∴∠DAC=30°,∴∠B=∠D=90°-30°=60°.故选D.
2.答案 110
解析 如图,设点D关于AB的对称点为E,连接AE,BE,
有∠ADB=∠E.∵∠E+∠ACB=180°,∠ACB=70°,∴∠E=110°,∴∠ADB=110°.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 A 如图,连接OC.
∵∠AOB=90°,∴AB为☉C的直径,
∵A(0,4),∴OA=4.
∵∠BMO=120°,
∴∠BAO=180°-120°=60°.
∵AC=OC,∠BAO=60°,
∴△AOC是等边三角形,
∴☉C的半径=OA=4.故选A.
2.答案 2
解析 如图,过点G作GH⊥MN于点H,连接EG.∵EF=2,∴EH=.
∵y=ax2-8ax+12a=a(x-2)(x-6),∴抛物线与x轴的交点坐标A(6,0),B(2,0),
∵y=ax2-8ax+12a=a(x-4)2-4a,∴C(4,-4a),G(4,0),∴BG=OG-OB=4-2=-4a,a=-,故☉G的半径为2,则EG=2,由勾股定理得GH===1.当y=-1时,ax2-8ax+12a=-1,-x2+4x-5=0,解得x=4±,∴MN=4+-(4-)=2.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 C 连接OD.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵∠ACB的平分线交☉O于D,∴D点为半圆AB的中点,∴△ABD为等腰直角三角形,∴AD2+BD2=AB2,即2AD2=42,∴AD=2.故选C.
2.答案 A 连接CA,OA.∵∠OBC=30°,∴∠CAO=60°.又∵CA=AO,∴△CAO是等边三角形,∴CO=AO=5,∴点C的坐标为(0,5).故选A.
3.答案 5
解析 ∵点M、N分别是AB、BC的中点,∴MN=AC,∴当AC为☉O的直径时,MN取得最大值.当AC为直径时,∠ABC=90°.∵∠ACB=45°,AB=10,∴BC=AB=10.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC===10,∴MN=AC=5,即MN长的最大值是5.
4.答案 (-1)
解析 如图,以AC为直径作圆O',连接BO',BC.
∵CD⊥AP,∴∠ADC=90°,
∴在点P移动的过程中,点D在以AC为直径的圆上运动,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AC=2 cm,∴BC=2 cm.
在Rt△BCO'中,BO'=== cm,
∵O'D+BD≥O'B,
∴当O'、D、B共线时,BD的值最小,最小值为O'B-O'D=(-1)cm.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 A ∵☉O的半径OD垂直于弦AB,AB=8,∴AC=BC=AB=4.
设OA=r,则OC=OD-CD=r-2,
在Rt△AOC中,由勾股定理得42+(r-2)2=r2,
解得r=5,∴AE=10,
∵AE为直径,∴∠ABE=90°.
在Rt△ABE中,BE===6,
∴S△BCE=BC·BE=×4×6=12.故选A.
2.答案 B 如图,连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB∥OC且AB=OC,∵OA=OB=OC,∴AB=OB=OA,∴△ABO为等边三角形,∴∠AOB=60°.又∵OF⊥OC,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOB=30°,∴∠BAF=∠BOF=15°.故选B.
3. 答案 A 连接AC,
∵在☉O中,AB是直径,∴∠C=90°,
∵AB=5,BC=3,∴AC==4,
∵点P是上任意一点,
∴4≤AP≤5.故选A.
4.答案 4
解析 ∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°.
∵BD是直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABD=60°,
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠CBD,∴==,∴=,∴AD=BC.
∵∠BCD=90°,∠CBD=30°,CD=,
∴BC=4,∴AD=4.
5.答案 10.5
解析 连接OA、OB,根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=60°,所以△AOB为等边三角形.因为☉O的半径为7,所以AB=7.因为点E、F分别为AC、BC的中点,所以EF=AB=3.5.当GH为☉O的直径时,GE+FH取得最大值,最大值为14-3.5=10.5.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 C 如图,延长CA交☉O于G,连接EG.易知∠BAC=∠MAB=60°,可得∠MAG=60°,若沿MN对折,则线段AE、AG所在直线能够重合,又因为圆是轴对称图形,所以点E、点G能够重合,从而可得AE=AG,所以∠G=30°,即所对的圆周角的度数为30°.
2.答案 (0,-2)或(3,-2)
解析 如图,连接O'C.∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),∴AB=5,∴O'A=2.5,OO'=1.5,∴OC==2,∴点C的坐标为(0,-2),∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,C,B,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=1.5,∴点C的对称点为(3,-2),∵∠APB是直角,AB是直径,∴点P位于☉O'与二次函数y=ax2+bx+c图象的交点处,即满足要求的点P的坐标为(0,-2)或(3,-2).
