24.1.3 弧、弦、圆心角
测试时间:25分钟
一、选择题
1.(2017山东滨州期中)下列语句中,正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等;
②平分弦的直径垂直于弦;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,在☉O中,已知=,则AC与BD的关系是( )
A.AC=BD B.AC
BD D.不确定
3.(2016广东广州荔湾期末)如图,AB是☉O的直径,BC、CD、DA是☉O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
4.如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( )
A.32° B.60° C.68° D.64°
5.已知是☉O的一条弧,点A是弧的中点,连接AC,CD,则( )
A.CD=2AC B.CD>2AC C.CD<2AC D.不能确定
二、填空题
6.如图,已知AB是☉O的直径,PA=PB,∠P=60°,则所对的圆心角等于 度.?
三、解答题
7.如图,∠AOB=90°,C、D是的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:AE=CD.
8.如图,在☉O中,弦AD、BC相交于点E,连接OE,已知=.
(1)求证:BE=DE;
(2)如果☉O的半径为5,AD⊥CB,DE=1,求AE的长.
24.1.3 弧、弦、圆心角
一、选择题
1.答案 A ①同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误;②被平分的弦是直径时不成立,故此选项错误;③能重合的弧是等弧,而长度相等的弧不一定能够重合,故此选项错误;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,此选项正确.故正确的有1个,选A.
2.答案 A ∵=,∴-=-,∴=,∴AC=BD.故选A.
3.答案 C 连接OC、OD,∵BC=CD=DA,∴∠COB=∠COD=∠DOA,
∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,
∴∠BCD=2××(180°-60°)=120°.故选C.
4.答案 D ∵=,∠AOE=32°,∴∠BOD=∠AOE=32°,∵∠BOD=∠AOC,
∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°.故选D.
5.答案 C 连接AD.∵点A是的中点,∴=,∴AC=AD,
∵在△ACD中,CD二、填空题
6.答案 60
解析 连接OC,OD,∵PA=PB,∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,∵OA=OC=OD=OB,
∴△COA,△DOB是等边三角形,∴∠COA=∠DOB=60°,
∴∠COD=180°-∠COA-∠DOB=60°.故所对的圆心角等于60°.
三、解答题
7.证明 连接AC,
∵∠AOB=90°,C、D是的三等分点,
∴∠AOC=∠COD=30°,AC=CD,
又OA=OC,∴∠ACE=75°,
∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAB=45°,
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°,
∴∠ACE=∠AEC,∴AE=AC,∴AE=CD.
8.解析 (1)证明:∵=,
∴AB=CD,
在△ABE与△CDE中,
∴△ABE≌△CDE,
∴BE=DE.
(2)过O作OF⊥AD于F,OG⊥BC于G,连接OA,OC,
根据垂径定理得AF=FD,BG=CG,
∵AD=BC,
∴AF=CG,
在Rt△AOF与Rt△COG,
∴Rt△AOF≌Rt△COG,
∴OF=OG,
∵AD⊥CB,
∴四边形OFEG是正方形,
∴OF=EF,
设OF=EF=x,
则AF=FD=x+1,
∵OF2+AF2=OA2,
∴x2+(x+1)2=52,
解得x=3(x=-4舍去),
∴AF=x+1=4,
∴AE=7.
24.1.3 弧、弦、圆心角
基础闯关全练
拓展训练
1.在半径为1的圆中,长度等于的弦所对的圆心角的度数为( )
A.90° B.145°
C.270° D.90°或270°
2.如图,AD是☉O的直径,且AD=6,点B,C在☉O上,=,∠AOB=120°,点E是线段CD的中点,则OE=( )
A.1 B. C.3 D.2
能力提升全练
拓展训练
1.如图,在半径为R的☉O中,和的度数分别为36°和108°,则弦CD与弦AB长度的差为 (用含有R的代数式表示).?
2.(2017吉林长春绿园模拟)如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上的两点,且+=,M是AB上一点,则MC+MD的最小值是 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2016广东广州荔湾期末,9,★★☆)如图,AB是☉O的直径,BC、CD、DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )
A.100° B.110° C.120° D.135°
2.(2017河南三门峡义马中学期中,13,★★☆)如图,半径为5的☉A中,弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则圆心A到弦BC的距离等于 .?
五年中考全练
拓展训练
如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是( )
A.51° B.56° C.68° D.78°
核心素养全练
拓展训练
如图,在三个等圆上各自有一条劣弧、、,如果+=,那么AB+CD与EF的大小关系是( )
A.AB+CD=EF B.AB+CD>EF
C.AB+CD24.1.3 弧、弦、圆心角
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 A 如图,连接OA、OB,
在☉O中,AB=,OA=OB=1,
∴AB2=OA2+OB2,
∴△AOB为直角三角形,且∠AOB=90°,
即长度等于的弦所对的圆心角的度数为90°.故选A.
2.答案 B ∵=,∠AOB=120°,AD是☉O的直径,
∴∠AOC=∠AOB=120°,∴∠COD=∠BOD=60°.
∵OD=OC,
∴△COD是等边三角形.
∵AD=6,∴OD=3.
∵点E是线段CD的中点,
∴OE⊥CD,∠COE=30°.
又∵在Rt△COE中,OC=3,
∴CE=,OE===.
故选B.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 R
解析 如图,连接OA、OB,
则△OAB为等腰三角形,顶角为36°,底角为72°.
连接OC、OD,则△OCD为等腰三角形,顶角为108°,底角为36°.
在CD上取一点E,使得CE=OC,连接OE,则△OCE为等腰三角形,顶角为36°,底角为72°.
在△COE与△OAB中,
∴△COE≌△OAB,
∴OE=AB.∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°,
∴∠EOD=∠ODE,∴DE=OE,
∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R.
2.答案
解析 如图,过D作DD'⊥AB于H交☉O于D',∴=.
∵+=,∴+=,∴∠COD'=120°.连接CD'交AB于M,则CD'为MC+MD的最小值.过O作ON⊥CD'于N,连接OC,OD'.∵OC=OD',∴CD'=2NC,∠C=30°,
∵OC=AB=1,ON⊥CD,∴CN=,∴CD'=,∴MC+MD的最小值是.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 C 如图,连接OC、OD.∵BC=CD=DA,
∴∠COB=∠COD=∠DOA.∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,∴∠BCD=2××(180°-60°)=120°.故选C.
2.答案 3
解析 如图,作AH⊥BC于H,延长CA交☉A于F,连接BF.∵∠BAC+∠EAD=180°,而∠BAC+∠BAF=180°,∴∠EAD=∠BAF,∴=,
∴DE=BF.
∵DE=6,∴BF=6.
∵AH⊥BC,∴CH=BH.
∵CA=AF,∴AH为△CBF的中位线,
∴AH=BF=3,
即点A到弦BC的距离为3.
五年中考全练
拓展训练
答案 A ∵==,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.
又∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAO,∴∠AEO=×(180°-78°)=51°.故选A.
核心素养全练
拓展训练
答案 B 如图,在上取一点M使=,
则=,∴AB=FM,CD=EM,在△MEF中,FM+EM>EF,∴AB+CD>EF.故选B.
