24.1.2 垂直于弦的直径
测试时间:30分钟
一、选择题
1.一圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,选择的是( )
A.① B.② C.③ D.④
2.(2017贵州黔西南州中考)如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是( )
A.3 B.2.5 C.2 D.1
3.在某岛A的正东方向有台风,且台风中心B距离该岛40 km,台风中心正以30 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心50 km以内(包括边界)都受影响,则该岛受到台风影响的时间为( )
A.不受影响 B.1 h C.2 h D.3 h
二、填空题
4.(2017湖南长沙中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为 .?
5.(2017四川雅安中考)☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是 .?
三、解答题
6.如图,AB为☉O的弦,☉O的半径为5,OC⊥AB于点D,交☉O于点C,且CD=1.
(1)求线段OD的长;
(2)求弦AB的长.
7.(2018福建龙岩新罗期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题:“如果CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.
24.1.2 垂直于弦的直径
一、选择题
1.答案 B 第②块有一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,它们的交点即为圆心,进而可得半径.故选B.
2.答案 C 连接OA,设CD=x,∵OA=OC=5,∴OD=5-x,∵OC⊥AB,AB=8,∴由垂径定理可知AD=AB=4,由勾股定理可知52=42+(5-x)2,∴x=2(x=8舍去),∴CD=2.故选C.
3.答案 C 如图,假设D、E为刚好受影响的点,过A作AC⊥BE于点C,连接AE、AD,可得出AE=AD=50 km,∵∠ABE=45°,∠ACB=90°,AB=40 km,∴AC=BC=40 km,在Rt△ADC中,AD=50 km,AC=40 km,∴根据勾股定理得DC==30 km,∴ED=2DC=60 km,又台风速度为30 km/h,∴该岛受到台风影响的时间为60÷30=2(h).故选C.
二、填空题
4.答案 5
解析 连接OC,∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×6=3,设☉O的半径为x,则OC=x,OE=OB-BE=x-1.在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∴x2=(x-1)2+32,解得x=5,
∴☉O的半径为5.
5.答案 4≤OP≤5
解析 如图:连接OA,过O作OM⊥AB于M,∵☉O的直径为10,∴半径为5,∴OP的最大值为5.∵OM⊥AB,∴AM=BM,∵AB=6,∴AM=3.在Rt△AOM中,OM==4,OM的长即为OP的最小值,∴4≤OP≤5.
三、解答题
6.解析 (1)∵☉O的半径是5,∴OC=5,∵CD=1,
∴OD=OC-CD=5-1=4.
(2)如图,连接AO,
∵OC⊥AB,
∴AB=2AD,
在Rt△OAD中,根据勾股定理得AD===3,
∴AB=6,
因此弦AB的长是6.
7.解析 设直径CD的长为2x寸,则半径OC=x寸,
∵CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,AB=10寸,
∴AE=BE=AB=×10=5(寸),
连接OB,则OB=x寸,根据勾股定理得x2=52+(x-1)2,
解得x=13,
∴CD=2x=2×13=26(寸).
答:CD的长为26寸.
24.1.2 垂直于弦的直径
基础闯关全练
拓展训练
1.(2016云南曲靖一模)如图,在☉O中,弦AB⊥AC,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,若AB=8 cm,AC=6 cm,则☉O的半径OA的长为( )
A.7 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm
2.(2016贵州一模)☉O过点B,C,圆心O在等腰直角△ABC内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则☉O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
能力提升全练
拓展训练
1.
如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线l与☉B相交于C、D两点,则弦CD的长的所有可能整数值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(0,3),直线y=kx-3k+4(k≠0)与☉O交于B,C两点,则弦BC的长的最小值为 .?
三年模拟全练
拓展训练
(2018黑龙江哈尔滨尚志期中,16,★★☆)如图,AB为☉O的弦,P为AB上一点,且PA=8,PB=6,OP=4,则☉O的半径为 .?
五年中考全练
拓展训练
1.(2017青海西宁中考,8,★★☆)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A. B.2 C.2 D.8
2.(2016四川南充中考,15,★★☆)下图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.?
核心素养全练
拓展训练
1.(2017河南鹤壁模拟)如图,点C是☉O上一点,☉O的半径为2,D,E分别是弦AC,BC上一动点,且OD=OE=,则AB的最大值为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
2.如图,AB是☉C的弦,直径MN⊥AB于O,MN=10,AB=8,以直线AB为x轴,直线MN为y轴建立坐标系.
(1)试求A,B,C,M,N五点的坐标;
(2)我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点,请写出☉C上的其他整数点的坐标: .?
24.1.2 垂直于弦的直径
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 C ∵弦AB⊥AC,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,AB=8 cm,AC=6 cm,∴四边形OEAD是矩形,AD=AB=4 cm,AE=AC=3 cm,∴OD=AE=3 cm,
∴OA===5(cm).故选C.
2.答案 C 过A作AD⊥BC于点D,由题意可知AD必过点O,连接OB.∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,BC=6,∴BD=CD=AD=3,∴OD=AD-OA=2.在Rt△OBD中,根据勾股定理,得OB===.故选C.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 C 半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),可知OB=4,所以点B(0,-4).因为P(0,-7),所以BP=3.当弦CD⊥AB时,弦CD最短,连接BC,由勾股定理得CP===4,由垂径定理可知CD=2CP=8;当弦CD是☉B的直径时,CD最长,CD=10.所以8≤CD≤10,所以弦CD的长的所有可能整数值为8、9、10,共3个.
2.答案 4
解析 连接OB,过点O作OD⊥BC于点D,∵直线y=kx-3k+4必过点(3,4),∴点D的坐标为(3,4)时,弦BC最短,此时OD=5,∵以原点O为圆心的圆过点A(0,3),∴圆的半径为3,∴OB=3,∴BD===2,∴弦BC的长的最小值为4.
三年模拟全练
拓展训练
答案 8
解析 如图,过O作OE⊥AB,垂足为E,
连接OA.∵AP=8,PB=6,∴AE=BE=AB=7,PE=BE-PB=7-6=1,在Rt△POE中,OE===.
在Rt△AOE中,OA===8.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 C
如图,作OH⊥CD于H,连接OC.∵OH⊥CD,∴HC=HD,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,
∴OA=4,∴OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中,∵∠OPH=∠APC=30°,
∴∠POH=60°,∴OH=OP=1.在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,
∴CH==,∴CD=2CH=2.故选C.
2.答案 50
解析 设符合条件的圆为☉O,由题意知,圆心O在对称轴l上,且点A、B都在☉O上.设OC=x mm,则OD=(70-x)mm,由OA=OB,得OC2+AC2=OD2+BD2,即x2+302=(70-x)2+402,解得x=40,∴OA===50 mm,即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 A 如图,连接OC,取OC的中点F,连接DF.当OD⊥AC,OE⊥BC时,∠ACB最大,AB最大.∵☉O的半径为2,∴OF=CF=,∵OD=,∴△DOF是等边三角形,∴∠DOF=60°,∴∠ACO=30°,AC⊥OD,∴AC=2CD=2=2=2.同理可得∠BCO=30°,∴∠ACB=60°.∵OD=OE,OD⊥AC,OE⊥BC,
∴AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC=2,即AB的最大值为2.故选A.
2.解析 (1)连接AC,∵MN是直径,MN⊥AB于O,AB=8,∴AO=BO=4.
∵MN=10,∴AC=MC=CN=5.在Rt△AOC中,OC===3,
∴OM=8,ON=2.∴所求五点的坐标分别为A(-4,0),B(4,0),C(0,3),M(0,8),N(0,-2).
(2)(-4,6),(4,6),(-3,7),(3,7),(-3,-1),(3,-1),(-5,3),(5,3).
