24.2.2 直线和圆的位置关系
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2018山东临沂费县期末)已知☉O的半径为4 cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm,那么直线l与☉O的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.(2017山东泰安中考)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )
A.20° B.35° C.40° D.55°
3.在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=50°,如图所示,I是△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D,则∠ICD的度数是( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
二、填空题
4.(2017江苏连云港中考)如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为 .?
5.(2018吉林四平伊通期末)如图,PA、PB切☉O于A、B,点C在上,DE切☉O于C,交PA、PB于D、E,已知PO=13 cm,☉O的半径为5 cm,则△PDE的周长是 .?
6.定义:一个定点与圆上各点之间距离的最小值称为这个点与这个圆之间的距离.现有一矩形ABCD,如图所示,AB=14 cm,BC=12 cm,☉K与矩形的边AB,BC,CD分别相切于点E,F,G,则点A与☉K之间的距离为 cm.?
三、解答题
7.如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为的中点.
(1)求证:AB=BC;
(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.
8.(2017内蒙古通辽中考)如图,AB为☉O的直径,D为的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.
24.2.2 直线和圆的位置关系
一、选择题
1.答案 A ∵☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3.5 cm,即圆心O到直线l的距离小于圆的半径,∴直线l与☉O的位置关系是相交,故选A.
2.答案 A ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=125°.∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,∴∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠ACD=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A.
3.答案 C 在△ABC中,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-50°-60°=70°,又∵I是△ABC的内心,∴∠BCD=∠BAD=∠BAC=35°,∠BCI=∠ACB=25°,
∴∠BCD+∠BCI=35°+25°=60°,即∠ICD=60°,故选C.
二、填空题
4.答案 5
解析 连接OB,∵AB切☉O于B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,设☉O的半径长为r,由勾股定理得r2+122=(8+r)2,解得r=5.
5.答案 24 cm
解析 如图,连接OA、OB,∵PA、PB为圆的两条切线,∴由切线长定理可得PA=PB,同理可知:DA=DC,EC=EB.∵OA⊥PA,OA=5 cm,PO=13 cm,∴由勾股定理得PA=12 cm,∴PA=PB=12 cm.∴△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24 cm.
6.答案 4
解析 如图,连接KE,KG,KF,连接AK交☉K于点M,∵AB,CD,BC与☉K相切,∴KE⊥AB,KG⊥CD,KF⊥BC,又AB∥CD,∴点E、K、G共线,∴EG=BC=12 cm,
∴EK=KF=6 cm,∴BE=6 cm,∴AE=AB-BE=14-6=8(cm),
在Rt△AEK中,AK2=AE2+EK2,∴AK==10(cm),∴AM=10-6=4(cm),
∴点A与☉K之间的距离为4 cm.
三、解答题
7.解析 (1)证明:∵AB是☉O的切线,
∴∠OBA=90°,
∵∠A=30°,∴∠AOB=90°-30°=60°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OCB=∠A,
∴AB=BC.
(2)四边形BOCD为菱形.
理由如下:如图,连接OD交BC于点M,
∵D是的中点,OB=OC,
∴OD垂直平分BC.
在Rt△OMC中,
∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD,
∴OM=MD,又OB=OC,∴四边形BOCD为菱形.
8.解析 (1)证明:∵D为的中点,∴OD⊥AC.
∵AC∥DE,∴OD⊥DE,
∴DE是☉O的切线.
(2)如图,
∵D为的中点,
∴OD⊥AC,AF=CF.
∵AC∥DE,且OA=AE,
∴F为OD的中点,即OF=FD.
在△AFO和△CFD中,
∴△AFO≌△CFD(SAS),
∴S△AFO=S△CFD,
∴=S△ODE.
在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,∴OE=8,
∴DE==4,
∴=S△ODE=×OD·DE=×4×4=8.
24.2.2 直线和圆的位置关系
基础闯关全练
拓展训练
1.(2016海南五指山中学模拟)如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )
A.40°或80° B.50°或100°
C.50°或110° D.60°或120°
2.如图,△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片,BC=5 cm,☉O是它的内切圆,小明准备用剪刀在☉O的右侧沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为( )
A.12 cm
B.7 cm
C.6 cm
D.随直线MN的变化而变化
3.☉O的半径为1,正方形ABCD的对角线长为6,OA=4.若将☉O绕点A按顺时针方向旋转360°,则在旋转过程中,☉O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,点O为△ACD的内切圆圆心,则∠AOB= .?
能力提升全练
拓展训练
1.(2016贵州遵义中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连接AC,☉P和☉Q分别是△ABC和△ADC的内切圆,则PQ的长是( )
A. B. C. D.2
2.(2016四川德阳中考)如图,在△ABC中,AB=3,AC=,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,那么=( )
A.2 B. C. D.
3.(2017江苏泰兴二模)如图,平面直角坐标系中,点P的坐标为(1,0),☉P的半径为1,点A的坐标为(-3,0),点B在y轴的正半轴上,且OB=.若直线l:y=x+m从点B开始沿y轴向下平移,线段AB与线段A'B'关于直线l对称.若线段A'B'与☉P只有一个公共点,则m的值为 .?
4.(2017甘肃兰州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,?ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).动点P在直线y=x上运动,以点P为圆心,PB长为半径的☉P随点P运动,当☉P与?ABCO的边相切时,P点的坐标为 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2018湖北武汉江岸期中,9,★★☆)如图,等腰Rt△ABC中,点O为斜边AC上一点,作☉O与AB相切于点D,交BC于点E、F.已知AB=25,BE=8,则EF的长度为( )
A.13 B.10 C.8 D.7
2.(2016江苏宿迁泗阳新阳中学月考,8,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的☉M与x轴相切,若点A的坐标为(0,-4),则圆心M的坐标为( )
A.(-2,2.5) B.(2,-1.5)
C.(2.5,-2) D.(2,-2.5)
3.(2018江苏宿迁泗阳期中,17,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为9,点E是AB上的一点,将△BCE沿CE折叠至△FCE,若CF,CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的☉O相切,则折痕CE的长为 .?
4.(2017山东聊城莘县期末,15,★★☆)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,∠A=80°,点P为☉O上任意一点(不与E、F重合),则∠EPF= .?
5.(2017北京昌平期末,15,★★☆)《九章算术》是中国古代数学最重要的著作,包括246个数学问题,分为九章.在第九章“勾股”中记载了这样一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”这个问题可以描述为:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,勾为AC长8步,股为BC长15步,问△ABC的内切圆☉O直径是多少步?”根据题意可得☉O的直径为 步.?
五年中考全练
拓展训练
1.(2017山东济南中考,10,★★☆)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上,∠CAB=60°,若量出AD=6 cm,则圆形螺母的外直径是( )
A.12 cm B.24 cm C.6 cm D.12 cm
2.(2016湖北襄阳中考,8,★★☆)如图,I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是( )
A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
3.(2017浙江衢州中考,15,★★☆)如图,在直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线y=-x+3上的动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是 .?
核心素养全练
拓展训练
1.(2016浙江台州中考)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )
A.6 B.2+1 C.9 D.
2.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=4,OB=3.☉O的半径为2,点P是线段AB上的一个动点,过点P作☉O的一条切线PQ,Q为切点.设AP=x,PQ2=y,则y与x的函数图象大致是 ( )
24.2.2 直线和圆的位置关系
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 C 如图,①当BA1与☉O相切,且BA1位于BC上方时,设切点为P,连接OP,则∠OPB=90°,在Rt△OPB中,OB=2OP,∴∠A1BO=30°,又∠ABC=80°,∴∠ABA1=50°;②当BA2与☉O相切,且BA2位于BC下方时,同①,可求得∠A2BO=30°,又∠ABC=80°,∴∠ABA2=80°+30°=110°.故旋转角的度数为50°或110°.故选C.
2.答案 B 如图,设D、E、F分别是☉O的切点,
∵△ABC是一张三角形纸片,AB+BC+AC=17 cm,☉O是它的内切圆,BC=5 cm,
∴BD+CE=BC=5 cm,AD+AE=7 cm.
易知DM=MF,FN=EN,
∴AM+AN+MN=AD+AE=7 cm.故选B.
3.答案 B 如图,∵☉O的半径为1,正方形ABCD的对角线长为6,边长为3,OA=4,∴☉O与正方形ABCD的边AB、AD只有一个公共点的情况各有1次,与边BC、CD只有一个公共点的情况各有1次.∴在旋转过程中,☉O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次.故选B.
4.答案 135°
解析 如图.连接CO,并延长AO交BC于点F,
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠BAC+∠ACD=90°.
又∵O为△ACD的内切圆圆心,
∴AO、CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线,
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠ACD)=×90°=45°,
∴∠AOC=135°.
在△AOB和△AOC中,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠AOB=∠AOC=135°.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 B ∵四边形ABCD为矩形,∴△ACD≌△CAB,∴☉P和☉Q的半径相等.在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,∴AC==5,∴☉P的半径r===1.如图,连接PQ,过点Q作QE∥BC,过点P作PE∥AB交QE于点E,则∠QEP=90°.在Rt△QEP中,QE=BC-2r=3-2=1,EP=AB-2r=4-2=2,∴PQ===.故选B.
2.答案 C 如图,设☉O与△ABD内切于E、F、G.∵DA=DB,DG=DF,
∴BF=AG=BE=AE.∵AB=3,∴AE=BE=BF=AG=.设DF=DG=m,
∵AD=2DC,∴DC=.∵S△ABD∶S△ADC=BD∶DC=2∶1,∴(3+3+2m)·r1∶·r2=2∶1,∴(6+2m)·r1∶(6+2m)·r2=2∶1,∴=.故选C.
3.答案 或-
解析 如图,∵直线y=x+m与y轴的夹角为30°,∠ABO=60°,∴当直线l经过点B时,线段A'B'与☉P相切于点O,把B(0,)代入y=x+m,得到m=.易知直线AB的解析式为y=x+,设☉P与x轴的另一个交点为E,作EF⊥x轴交AB于F,易知F,当直线l经过点F时,线段A'B'与☉P相切于点E,把代入y=x+m,得到=2+m,m=-.综上所述,满足条件的m的值为或-.
4.答案 (0,0)或或
解析 设P,☉P的半径为r,依题意知BC⊥y轴,直线OP的解析式为y=x,直线AB的解析式为y=-x+2,可知OP⊥AB,∴OP⊥OC.分类讨论☉P与?ABCO的边相切的情况:
(1)当☉P与BC相切时,∵动点P在直线y=x上运动,∴点P与点O重合,此时P点的坐标为(0,0);
(2)当☉P与OC相切时,OP=BP,∴△OBP为等腰三角形,过点P作PE⊥y轴于点E,如图①,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得E为OB的中点,此时,P点的坐标为(x,1),将(x,1)代入y=x,得x=,即P点的坐标为;
(3)当☉P与OA相切时,点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等,过点P作PF⊥x轴于点F,如图②,则PB=PF,即=x,解得x=3+(舍去)或x=3-,将x=3-代入y=x,可得y=,即P点的坐标为;
(4)当☉P与AB相切时,设线段AB与直线OP的交点为G,如图③,此时有PB=PG,又∵OP⊥AB,∴在Rt△PBG中,∠BGP=∠GBP=90°不成立,∴不存在这样的☉P.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 B 如图,连接OD、OE,过O作OG⊥EF于G.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=90°,∠A=∠C=45°.∵AB是☉O的切线,∴∠ODB=90°,又OG⊥EF,∴四边形BGOD是矩形,易知△ADO与△CGO是等腰直角三角形.设OD=BG=OE=x,则BD=OG=CG=25-x,EG=FG=x-8.在Rt△OEG中,∵EG2+OG2=OE2,即(x-8)2+(25-x)2=x2,解得x=13,或x=53(不合题意,舍去),∴EG=13-8=5,∴EF=2EG=10.故选B.
2.答案 D ∵四边形ABCO是正方形,A(0,-4),∴AB=OA=CO=BC=4,过M作MN⊥AB于N,连接MA,由垂径定理得AN=AB=2,设☉M的半径是R,则MN=4-R,AM=R,由勾股定理得AM2=MN2+AN2,即R2=(4-R)2+22,解得R=2.5.∵AN=2,四边形ABCO是正方形,☉M与x轴相切,∴M的横坐标是2,即M(2,-2.5).故选D.
3.答案 6
解析 如图,连接AC,∵四边形ABCD为正方形,∴∠ACB=45°.∵△BCE沿CE折叠至△FCE,∴∠ECB=∠ECF.∵CF,CE与以正方形ABCD的中心为圆心的☉O相切,∴AC平分∠ECF,∴∠ECF=2∠ECA,∴∠ECB=2∠ECA,而∠ECB+∠ECA=45°,∴∠ECB=30°,∴CE=2BE.在Rt△BEC中,∵BE2+BC2=CE2,即BE2+92=(2BE)2,解得BE=3(舍负),∴CE=2BE=6.
4.答案 50°或130°
解析 如图,有两种情况:①当P在上时,在上任取一点N,连接EN,FN,则∠EPF=∠ENF,连接OE、OF,∵☉O是△ABC的内切圆,∴OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°.∵∠A=80°,∴∠EOF=360°-∠AEO-∠AFO-∠A=100°,∴∠ENF=∠EPF=∠EOF=50°.②当P在劣弧上时,在劣弧上任取一点M,连接EM,FM,则∠EPF=∠EMF,又四边形EMFN内接于☉O,∴∠EPF=∠EMF=180°-50°=130°.故答案为50°或130°.
5.答案 6
解析 ∵∠C=90°,AC=8,BC=15,∴AB===17,设△ABC的内切圆的半径为r,则S△ABC=(AB+BC+CA)·r,∴AC·BC=(AB+BC+CA)·r,即×8×15=×(8+15+17)·r,解得r=3,∴☉O的直径是6步.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 D 如图,设圆形螺母的圆心为O,与AB切于E,连接OD,OE,OA.∵AD,AB分别为圆O的切线,∴AO为∠DAB的平分线,OD⊥AC,OE⊥AB,又∠CAB=60°,∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°.在Rt△AOD中,∠OAD=60°,AD=6 cm,∴∠AOD=30°,AO=12 cm,∴OD===6(cm),则圆形螺母的外直径为12cm.故选D.
2.答案 D ∵I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠IBC,C正确;∵∠BAD=∠CAD,∴=,∴BD=CD,A正确;∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC,∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠IBD=∠BID,∴BD=DI,B正确.故选D.
3.答案 2
解析 连接AP,易知当AP⊥直线y=-x+3时,切线长PQ最小.如图,A的坐标为(-1,0),直线y=-x+3与坐标轴交于B(4,0),C(0,3),设P,过P作PH⊥x轴,易证△APH∽△PBH,
∴=,
即=,解得a=.
∴P,∴AP==3,
∴PQ==2.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 C 如图,设☉O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC(垂足为P1),交☉O于Q1,易知P1Q1为PQ的最小值.∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°,又∵∠OP1B=90°(垂线的性质),∠OEA=90°(切线的性质),∴OP1∥AC,OE∥BC.又∵O为AB的中点,∴AO=OB=5,∴P1C=P1B,AE=EC,∴OP1=AC=4,OE=BC=3.
∴P1Q1=OP1-OQ1=OP1-OE=4-3=1.
如图,当Q2在OA上且P2与B重合时,P2Q2为PQ的最大值,P2Q2=5+3=8.
∴PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.
2.答案 A 连接OP,作OM⊥AB于M,∵∠AOB=90°,OA=4,OB=3,∴AB=5,OM===.在Rt△AOM中,AM===.∵PQ是☉O的切线,∴∠PQO=90°,∴PQ2=OP2-OQ2=PM2+OM2-OQ2=+-4,即y=x2-x+12.又P是线段AB上的动点,∴0≤x≤5.故选A.
