24.4 弧长和扇形面积
测试时间:25分钟
一、选择题
1.(2017广西南宁中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧的长等于( )
A. B. C. D.
2.(2017四川绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是( )
A.68π cm2 B.74π cm2 C.84π cm2 D.100π cm2
3.(2017浙江丽水中考)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( )
A.π- B.π-2 C.π- D.π-
4.(2017山东东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.180°
二、填空题
5.(2017甘肃白银中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则的长等于 .(结果保留π)?
6.如图,正方形ABCD中,扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E,AB=6 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.?
三、解答题
7.如图,有一直径是 m的圆形铁皮,现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC.
(1)求AB的长;
(2)求图中阴影部分的面积;
(3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥,求所得圆锥的底面圆半径.
8.(2016四川攀枝花中考)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E.
(1)求证:DE=AB;
(2)以A为圆心,AB长为半径作圆弧交AF于点G,若BF=FC=1,求扇形ABG的面积.(结果保留π)
24.4 弧长和扇形面积
一、选择题
1.答案 A 如图,连接OB、OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,又OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴BC=OB=OC=2,∴劣弧的长为=.故选A.
2.答案 C ∵圆锥体的底面圆的直径为8 cm,高为3 cm,∴圆锥体的母线长为5 cm,∴这个陀螺的表面积为π×4×5+42π+8π×6=84π(cm2),故选C.
3.答案 A 连接OC,过O作OD⊥BC于D.∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,∴∠ACB=90°,∠AOC=60°,∠COB=120°,∴∠ABC=30°,∵AC=2,∴AB=2AC=4,BC=2,∵OC=OB=2,OD⊥BC,∠ABC=30°,∴OD=OB=1.∴阴影部分的面积=S扇形BOC-S△OBC=-×2×1=π-,故选A.
4.答案 C 设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的3倍,∴3πr2=πrR,∴R=3r.设圆心角为n°,有=2πr,∴n=120.故选C.
二、填空题
5.答案
解析 ∵∠ACB=90°,AC=1,AB=2,∴∠ABC=30°,∴∠A=60°,又∵AC=1,∴的长==.
6.答案 3π
解析 正方形ABCD中,∠DCB=90°,DC=AB=6 cm.∵扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E,∴△BCE是等边三角形,∴∠ECB=60°,∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=30°.根据图形的割补,可得阴影部分的面积是扇形CDE的面积,S扇形CDE==3π(cm2),故题图中阴影部分的面积为3π cm2.
三、解答题
7.解析 (1)连接BC,
∵∠BAC=90°,∴BC为☉O的直径,即BC= m,
∴AB=BC=1 m.
(2)S阴影=S圆-S扇形=π-=(m2).
(3)设所得圆锥的底面圆的半径为r m,
根据题意得2πr=,解得r=.
故所得圆锥的底面圆的半径为 m.
8.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠FBA=90°,AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AFB,
∵DE⊥AF,∴∠AED=90°=∠FBA,
在△ABF和△DEA中,
∴△ABF≌△DEA(AAS),
∴DE=AB.
(2)∵BC=AD,AD=AF,∴BC=AF,
∵BF=FC=1,∠ABF=90°,
∴∠BAF=30°,由勾股定理得AB==,
∴S扇形ABG==.
24.4 弧长和扇形面积
基础闯关全练
拓展训练
1.(2016广东广州越秀一模)如图,正方形ABCD的边长AB=4,分别以点A、B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,则的长是( )
A.π B.π C.π D.π
2.(2016广西桂林中考)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O、E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是( )
A.π B. C.3+π D.8-π
3.如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以1 cm为半径画圆,当n=2 019时,则图中阴影部分的面积之和为( )
A.π cm2 B.2π cm2
C.2018π cm2 D.2019π cm2
4.(2017山东德州中考)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为 .?
能力提升全练
拓展训练
1.(2016河南信阳新县一中模拟)如图,扇形OAB的圆心角的度数为120°,半径长为4,P为弧AB上的动点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M、N,D是△PMN的外心.在点P运动的过程中,点M、N分别在半径上作相应运动,从点N离开点O时起,到点M到达点O时止,点D运动的路径长为( )
A.π B.π C.2 D.2
2.如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,以点B为圆心的圆与AD、DC相切,与AB、CB的延长线分别相交于点E、F,则图中阴影部分的面积为( )
A.+ B.+π
C.- D.2+
3.如图,一根长为2 m的木棒AB斜靠在与地面垂直的墙上,与地面的倾斜角∠ABO为60°,当木棒沿墙壁向下滑动至A'时,AA'=-,B端沿地面向右滑动至点B',则木棒中点从P随之运动至P'所经过的路径长为( )
A.1 B. C. D.
4.(2016浙江温州一模)如图,矩形ABCD的外接圆☉O与水平地面相切于点A,已知☉O的半径为4,且l=2l.若在没有滑动的情况下,将☉O向右滚动,使得O点向右移动了66π,则此时与地面相切的弧为( )
A. B. C. D.
三年模拟全练
拓展训练
1.(2017江苏连云港东海月考,8,★★☆)如图,、、、均为以点O为圆心所画出的四个相异弧,其度数均为90°,且G在OA上,C、E在AG上,若AC=EG,OG=2,AG=4,则与的长的和为( )
A.2π B. C. D.4π
2.(2016湖北潜江积玉口中学月考,14,★★☆)如图,从直径为4 cm的圆形纸片中,剪出一个圆心角为90°的扇形OAB,且点O、A、B在圆周上,把它围成一个圆锥,则圆锥的底面圆的半径是 cm.?
3.(2018浙江绍兴诸暨暨阳中学期中,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=2,分别以A,B,C为圆心,以1为半径画弧,三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是 .?
五年中考全练
拓展训练
1.(2016四川甘孜州中考,10,★☆☆)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',则A点运动的路径的长为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
2.(2017浙江衢州中考,10,★★☆)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD、EF是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8,则图中阴影部分的面积是( )
A.π B.10π C.24+4π D.24+5π
3.(2017山东聊城中考,17,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;……按此作法进行下去,其中P2 017O2 018的长为 .?
核心素养全练
拓展训练
1.(2016四川南充模拟)如图,一个长为4 cm,宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板点A位置的变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°的角,则点A滚到A2位置时共走过的路径长为( )
A.π cm B.π cm C.π cm D.π cm
2.(2016江苏苏州期末)如图,在扇形铁皮AOB中,OA=20,∠AOB=36°,OB在直线l上.将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OA第一次落在l上时,停止旋转,则点O所经过的路线长为( )
A.20π B.22π
C.24π D.20π+10-10
3.如图①,②,…,是边长均大于2的三角形,四边形,……,凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……,n条弧.
(1)图①中3条弧的弧长的和为 ;?
(2)图②中4条弧的弧长的和为 ;?
(3)图中n条弧的弧长的和为 (用n表示).?
24.4 弧长和扇形面积
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 A 如图,连接AE、BE.∵AE=BE=AB,∴△ABE是等边三角形,∴∠EBA=60°,∴的长是=π.∵的长是=2π,∴的长为2π-π=π.故选A.
2.答案 D 如图,作DH⊥AE于H.∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB==,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,易知△DHE≌△BOA,∴DH=OB=2,S阴影=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=×5×2+×2×3+-=8-π,故选D.
3.答案 A ∵多边形的外角和为360°,∴++…+=S圆=π×12=π(cm2).故选A.
4.答案
解析 设☉O与矩形ABCD的另一个交点为M,连接OM、OG,易知M、O、E共线,由题意得∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1 m,
∴S透明区域=+2××1×1=m2.过O作ON⊥AD于N,
∴ON=FG= m,∴AB=2ON=2×=(m),
∴S矩形=2×=2(m2),∴==.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 A 当点N与点O重合时,∠P'OA=30°,OD=OP'=2;当点M与点O重合时,∠P''OB=30°,OD=OP''=2.∵D是△PMN的外心,∴点D在线段PM的垂直平分线上,又PM⊥OA,∴D为OP的中点,即OD=OP=2,∴点D运动的轨迹是以点O为圆心,2为半径,圆心角为60°的弧,弧长为=.故选A.
2.答案 A 取AD与☉B的切点为点G,连接BG,
则∠AGB=90°,∵∠BAG=60°,AB=2,
∴BG=,AG=1,
∴S△ABG=·AG·BG=,S扇形HBG==,
因此S1=S△ABG-S扇形HBG=-,
由对称关系可知S2=S1,
∵S扇形FBE==π,
∴S阴影=S1+S2+S扇形FBE=2×+π=+,故选A.
3.答案 D 如图,连接OP、OP',∵ON⊥OM,P为AB中点,∴OP=AB=A'B'=OP'.
∵AB=2,∴OP=1.当A端下滑B端右滑时,AB的中点P到O的距离始终为定长1,
∴P随之运动所经过的路线是一段圆弧,∵AB=2,∠ABO=60°,
∴∠AOP=30°,OA=.∵AA'=-,OA'=OA-AA'=.在Rt△A'OB'中,由勾股定理可得OB'=OA'=,∴∠A'B'O=45°,∴∠A'OP'=45°,∴∠POP'=∠A'OP'-∠AOP=15°,
∴弧PP'的长==,即P运动到P'所经过的路径长为,故选D.
4.答案 B ∵☉O半径为4,∴圆的周长为2π×r=8π,∵将☉O向右滚动,使得O点向右移动了66π,又66π÷8π=8……2π,∴圆滚动8周后,又向右滚动了2π,∵矩形ABCD的外接圆☉O与水平地面相切于A点,l=2l,∴l=×8π=π<2π,l+l=×8π=4π>2π,∴此时与地面相切的弧为,故选B.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 D 设AC=EG=a,则CE=4-2a,CO=6-a,EO=2+a,∴的长+的长为+=π(2+a+6-a)=4π,故选D.
2.答案
解析 如图,设圆锥的底面圆的半径为r cm,连接AB,∵扇形OAB的圆心角为90°,∴∠AOB=90°,∴AB为圆形纸片的直径,∴AB=4 cm,∴OB=AB=2 cm,∴的长==π(cm),∴2πr=π,∴r=.
3.答案 2-
解析 ∵∠C=90°,CA=CB=2,∴∠A=∠B=45°,∴三条弧所组成的三个扇形的面积和为++=,又△ABC的面积为×2×2=2,∴阴影部分的面积=2-.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 B ∵每个小正方形的边长都为1,∴OA=4,∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',∴∠AOA'=90°,∴A点运动的路径的长为=2π.
2.答案 A 如图,作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.∵CG是圆的直径,∴∠CDG=90°,则DG===8.又∵EF=8,∴DG=EF,∴=,∴S扇形ODG=S扇形OEF.∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π.故选A.
3.答案 22 015π
解析 连接P1O1,P2O2,P3O3,……,
∵P1是☉O1上的点,∴P1O1=OO1,
∵直线l的解析式为y=x,∴∠P1OO1=45°,
易得△P1OO1为等腰直角三角形,即P1O1⊥x轴,
同理,PnOn垂直于x轴,
∴为圆的周长.
以O1为圆心,O1O为半径画圆,交x轴正半轴于点O2,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交x轴正半轴于点O3,……,以此类推,得OOn=2n-1,
∴的长=·2π·OOn=π·2n-1=2n-2π,
当n=2 017时,的长=22 015π.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 B 连接AB、A1B.∵长方形木板的长为4 cm,宽为3 cm,∴AB=5 cm,第一次是以B为旋转中心,BA长为半径旋转90°,此次点A走过的路径是=π(cm),第二次是以C为旋转中心,4 cm为半径旋转60°,此次走过的路径是=π(cm),∴点A滚到A2位置时共走过的路径长是π+π=π(cm).故选B.
2.答案 C 点O所经过的路线长=++==24π.故选C.
3.答案 (1)π (2)2π (3)(n-2)π
解析 题图①中3条弧所对的圆心角之和为△ABC的内角和180°,因此可知弧的长度和为=π.同法可求出题图②中4条弧的长度和为=2π.题图中,n条弧的长度和为=(n-2)π.
