24.3 正多边形和圆
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2018北京西城期中)已知正六边形的边长为3,则这个正六边形的半径是( )
A. B.2 C.3 D.3
2.边心距为2的等边三角形的边长是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
3.(2017天津和平期末)正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
二、填空题
4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,则∠ABD= .?
5.(2018吉林白城大安期末)如图,正三角形的边长为12 cm,剪去三个角后成为一个正六边形,则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm.?
三、解答题
6.(2016甘肃兰州中考)如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD(写出结论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑).
7.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧上(不与C点重合).
(1)求∠BPC的度数;
(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.
8.如图,已知正五边形ABCDE中,BF与CM相交于点P,CF=DM.
(1)求证:△BCF≌△CDM;
(2)求∠BPM的度数.
24.3 正多边形和圆
一、选择题
1.答案 C 如图,AB为☉O内接正六边形的一边,则∠AOB==60°.
∵OA=OB,∴△OAB为等边三角形,∴AO=AB=3.故选C.
2.答案 B 如图所示,∵△ABC是等边三角形,边心距OD=2,∴∠OBD=30°,∴OB=4,在Rt△OBD中,由勾股定理可得BD=2.∵OD为边心距,∴BC=2BD=4.故选B.
3.答案 A 如图,△ABC是等边三角形,AD是高,点O是其外接圆的圆心,由等边三角形三线合一的性质得点O在AD上,并且点O还是它的内切圆的圆心.
∵AD⊥BC,∠1=∠2=30°,∴BO=2OD,又OA=OB,∴AD=3OD,
∴AD∶OA∶OD=3∶2∶1,故选A.
二、填空题
4.答案 72°
解析 ∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠ABC=∠C==108°,
∵CD=CB,∴∠CBD==36°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.
5.答案 12
解析 设O为正三角形ABC的中心,作ON⊥BC于N,连接OH.∵六边形DFHKGE是正六边形,正三角形ABC的边长为12 cm,∴AD=DE=DF=BF=4 cm,∴OH=4 cm.由勾股定理得ON==2cm,则正六边形DFHKGE的面积=×4×2×6=24(cm2).设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为h cm,则×4×h=24,解得h=12.
三、解答题
6.解析 如图:(过圆心O作直径DB,作直径BD的垂直平分线,交☉O于A、C两点,连接AB、BC、CD、DA,四边形ABCD即为所作的正四边形)
7.解析 (1)如图,连接OB,OC.
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=∠BOC=45°.
(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴OE=BE,
∵OE2+BE2=OB2,∴BE===4,
∴BC=2BE=2×4=8,即正方形ABCD的边长为8.
8.解析 (1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴BC=CD,∠BCF=∠CDM,
在△BCF和△CDM中,
∴△BCF≌△CDM.
(2)∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠BCF==108°,
∴∠CBF+∠CFB=180°-∠BCF=72°,
∵△BCF≌△CDM,∴∠MCD=∠CBF,
∴∠MCD+∠CFB=72°,
∴∠BPM=∠CPF=180°-(∠MCD+∠CFB)=108°.
24.3 正多边形和圆
基础闯关全练
拓展训练
1.(2016云南曲靖中考)如图,AD、BE、CF是正六边形ABCDEF的对角线,图中平行四边形的个数有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
2.(2016山东威海中考)如图,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长为 .?
能力提升全练
拓展训练
1.(2016河北赵县期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,M为EF的中点,连接DM,若☉O的半径为2,则MD的长度为( )
A. B. C.2 D.1
2.如图,把正六边形各边按同一方向延长,使延长的线段长与原正六边形的边长相等,顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形,那么AB∶A'B'的值是( )
A.1∶2 B.1∶ C.∶ D.1∶
3.如图,正六边形ABCDEF的边长为4,两顶点A,B分别在x轴和y轴上运动,则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值分别为 、 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2017湖北武汉江汉月考,15,★★☆)如图,为了拧开一个边长为a的正六边形螺帽,扳手张开b=30 mm时正好把螺帽嵌进,则螺帽的边长a为 mm.?
2.(2016江西模拟,9,★★☆)如图,等边三角形ABC内接于半径为1的☉O,以BC为一边作☉O的内接矩形BCDE,则矩形BCDE的面积为 .?
五年中考全练
拓展训练
1.(2016四川泸州中考,10,★★☆)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
2.(2017浙江台州中考,16,★★☆) 如图,有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上,另外两个顶点B,D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a的取值范围是 .?
核心素养全练
拓展训练
1.(2014湖南常德中考)阅读理解:如图①,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定,有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”.
应用:在图②的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为( )
A.(60°,4) B.(45°,4) C.(60°,2) D.(50°,2)
2.(2017北京昌平期末)如图,点A,B,C,D,E为☉O的五等分点,动点M从圆心O出发,沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动,设运动的时间为t,∠DME的度数为y,则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( )
24.3 正多边形和圆
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 C ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴△OAB和△AOF都是正三角形,∴∠BAO=∠OAF=∠AFO=60°,∴∠BAF+∠AFO=180°,∴AB∥CF.
同理,CF∥DE,∴AB∥CF∥DE.同理,AF∥BE∥CD,BC∥AD∥EF.∴四边形ABOF、FAOE、EFOD、CDEO、BCDO、ABCO均为平行四边形.故选C.
2.答案 2
解析 连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,
∵四边形ABCD是内接于☉O的正方形,
∴AC是☉O的直径,AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴AC=4,
∴OE=OF=2,
∵OM⊥EF,∴EM=MF,
∵△EFG是内接于☉O的等边三角形,
∴∠G=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠OEM=30°.
在Rt△OME中,
∵OE=2,∠OEM=30°,
∴OM=,EM=,
∴EF=2.
∴☉O的内接正三角形EFG的边长为2.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 A 如图,连接OM、OD、OF,
∵正六边形ABCDEF内接于☉O,M为EF的中点,
∴OM⊥OD,OM⊥EF,∠MFO=60°,
∴∠MOD=∠OMF=90°,
在Rt△OMF中,由勾股定理可得OM=,
∴MD===.故选A.
2.答案 D ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠A'CB'=60°,设AB=BC=a,又延长的线段长与原正六边形的边长相等,所以A'C=2a,易知∠A'B'C=90°,所以B'C=a,由勾股定理可得A'B'==a,∴AB∶A'B'=a∶a=1∶.故选D.
3.答案 2+2;2-2
解析 当O、D、AB中点共线时,OD有最大值和最小值,如图,易知BD=4,BK=2,∠DBA=90°,∴DK===2,∵K为AB中点,∠AOB=90°,∴OK=BK=2,∴OD的最大值为2+2,同理,当O、D、AB中点共线时,将正六边形绕AB中点K旋转180°,此时OD取得最小值,为2-2.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 10
解析 设正多边形ABCDEF的中心是O,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,∠BAM=30°,∴AB=2BM,AM=CM=15.在Rt△ABM中,BM2+AM2=AB2,即BM2+152=(2BM)2,解得BM=5(舍负),∴a=AB=2BM=10(mm).
2.答案
解析 如图,连接BD.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠BDC=∠BAC=60°.∵四边形BCDE是内接于☉O的矩形,∴∠BCD=90°,BD是☉O的直径,∴∠CBD=90°-60°=30°,BD=2,∴CD=1,∴BC==,∴S矩形BCDE=BC·CD=×1=.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 D 如图①,连接OB,过O作OD⊥BC于D,则∠OBC=30°,OB=1,∴OD=;如图②,连接OB、OC,过O作OE⊥BC于E,则△OBE是等腰直角三角形,则2OE2=OB2,即OE=R=;如图③,连接OA、OB,过O作OG⊥AB于G,则△OAB是等边三角形,故AG=,∴OG=,故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为、、,又因为+=,=,所以该三角形是直角三角形,所以该三角形的面积为××=,故选D.
2.答案 ≤a≤3-
解析 如图①,根据题意,AC为正方形对角线,则当A、C分别是正六边形平行的两边中点时,此时AC最短,正方形边长也最短,易求得AC=,∴边长最小为.当正方形四点都在正六边形上时,如图②,则OQ⊥FP,∠FOP=45°,∠FQP=60°,设FP=x,则OP=x,PQ=x,∴OQ=x+x=1,∴x=,此时边长取得最大值,为3-.∴正方形边长a的取值范围是≤a≤3-.
图①
图②
核心素养全练
拓展训练
1.答案 A 如图,设正六边形的中心为D,连接AD,∵∠ADO=360°÷6=60°,OD=AD,
∴△AOD是等边三角形,∴OD=OA=2,∠AOD=60°,∴OC=2OD=2×2=4,∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,4).故选A.
2.答案 B 当点M与点O重合时,∠DME为圆心角,∠DME==72°;当点M在OA上运动时,∠DME为圆内角,且逐渐变小;当点M在劣弧上运动时,∠DME为圆周角,始终不变,∠DME=∠DOE=36°;当点M在OC上运动时,∠DME为圆内角,且逐渐变大.根据上述描述,可知函数图象为选项B中图象,故选B.
