第二章方程与不等式第9 节一元二次方程
■考点1. 一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__ _个未知数，并且未知数的最高次数是_____，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是____________________ 其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__ __．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__ __．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝__ __的形式，再利用直接开平方法求解．【出处：21教育名师】
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝__ _________．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__ __的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__ __，x1x2＝__ __．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
1.（2018年湖北省荆门市）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.（2018年湖南省益阳市）规定：a?b=（a+b）b，如：2?3=（2+3）×3=15，若2?x=3，则x= ．
【考点】有理数的混合运算；解一元二次方程﹣配方法
【分析】根据a?b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
解：依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=﹣3．
故答案是：1或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
◆变式训练
1.（2016年江苏省泰州市含答案解析）方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为 ．
2.（2017年山东菏泽市）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
1.（2016年浙江省丽水市 ）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
2.（2017年贵州铜仁市）已知一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：∵方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4k=9﹣4k=0，
解得：k=．
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017年内蒙古包头市）若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
2.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
3.（2016·云南昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
1.（2017年湖南怀化市）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1?x2=﹣3，此题得解．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1?x2=﹣3．
故选D．
2.（2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．21·世纪*教育网
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=，
故选D．
◆变式训练
1.（2017年湖南娄底市 ）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4
2.（2016东山）若t为实数，关于x的方程x2－4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2－1）（b2－1）的最小值是多少？www.21-cn-jy.com
1.（2017年山东威海市）若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．4﹣2 C．3﹣ D．1+
2.（2018年贵州省铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
3.（2017年四川省宜宾市）一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断
4.（2017年四川省遂宁市中考数）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围为（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
5.（2017年四川省绵阳市）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
6.（2017年四川省凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
7.（2018年江苏省扬州市）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
8.（2017年江苏连云港市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
9.（2017年江苏南京市）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= ，q= ．
10.（2017年湖南湘潭市）由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+ ）（x+ ）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．
11.（2018年湖北省孝感市）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
1.（2018年江苏省盐城市）已知一元二次方程 x2﹣kx-3=0有一个根为1，则 k的值为（?? ）
A.?-2??????????????B.?2????????????C.?-4??????????? ??D.?4
2.（2018年浙江省嘉兴市）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
3.（2017年四川省泸州市）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
4.（2017年四川省攀枝花市）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1
5.（2017年四川省凉山州）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
6.（2018年四川省资阳市）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．
7.（2018年湖北省十堰市）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
8.（2017年四川省阿坝州）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
9.（2017年江苏泰州市）方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x1、x2，则+的值等于 ．
10.（2018年江苏省扬州市）关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ．
11.（2018年湖北省荆州市）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是 ．
12.（2018年湖北省黄石市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
13.（2018年四川省乐山市）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根
14.（2018年四川省南充市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
15.（2018年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．
②若AD=EC，求的值．
第二章方程与不等式第9节一元二次方程
■考点1. 一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__ 其中 ax2 叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项； a 叫做二次项的系数， b 叫做一次项的系数．【出处：21教育名师】
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．21教育网
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝____．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__不相等__的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__相等__的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有__实数根．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
1.（2018年湖北省荆门市）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.（2018年湖南省益阳市）规定：a?b=（a+b）b，如：2?3=（2+3）×3=15，若2?x=3，则x= ．
【考点】有理数的混合运算；解一元二次方程﹣配方法
【分析】根据a?b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
解：依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=﹣3．
故答案是：1或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
◆变式训练
1.（2016年江苏省泰州市含答案解析）方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．
解：2x﹣4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
2.（2017年山东菏泽市）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
【分析】根据方程的根的概念，可以把m，n看作是方程x2-6x-4=0的两个根，再根据根与系数的关系可以得到的值． 解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4， ∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根， ∴mn=-．M+n=-2
∴===-
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
1.（2016年浙江省丽水市 ）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
2.（2017年贵州铜仁市）已知一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：∵方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4k=9﹣4k=0，
解得：k=．
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017年内蒙古包头市）若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式；不等式的解集．
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+=1，则a=0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：解不等式x﹣＜1得x＜1+，
而不等式x﹣＜1的解集为x＜1，
所以1+=1，解得a=0，
又因为△=a2﹣4=﹣4，
所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根．
故选C．
2.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
【分析】根据判别式的意义，当b=﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
解：△=b2﹣4，当b=﹣1时，△＜0，方程没有实数解，
所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例．
故选C．
3.（2016·云南昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
解：在方程x2﹣4x+4=0中，
△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
1.（2017年湖南怀化市）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1?x2=﹣3，此题得解．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1?x2=﹣3．
故选D．
2.（2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．21·世纪*教育网
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=，
故选D．
◆变式训练
1.（2017年湖南娄底市 ）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4
【考点】根的判别式．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠0．
故选C．
2.（2016东山）若t为实数，关于x的方程x2－4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2－1）（b2－1）的最小值是多少？www.21-cn-jy.com
解：依题意得：a＋b＝4，ab＝t－2
（a2－1）（b2－1）
＝（ab）2－（a2＋b2）＋1
＝（ab）2－（a＋b）2＋2ab＋1
＝（t－2）2＋2（t－2）－15
＝t2－2t－15，
又，得2≤t＜6，
所以，当t＝2时，t2－2t－15有最小值－15．
1.（2017年山东威海市）若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．4﹣2 C．3﹣ D．1+
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=1﹣代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+c=0的一个根是1﹣，
∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，
解得，c=﹣2．
故选：A．
2.（2018年贵州省铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3.（2017年四川省宜宾市）一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
解：在方程4x2﹣2x+=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B．
4.（2017年四川省遂宁市中考数）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围为（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
【考点】根的判别式．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1=0有两个实数根，
∴，
解得：a≤2且a≠1．
故选C．
5.（2017年四川省绵阳市）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【考点】根与系数的关系．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
∴﹣=﹣1，=﹣2，
∴m=2，n=﹣4，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选C．
6.（2017年四川省凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
【考点】：解一元二次方程﹣因式分解法；分式方程的解．
【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．
解：解方程x2+2x﹣3=0，得
x1=1，x2=﹣3，
∵x=﹣3是方程的增根，
∴当x=1时，代入方程，得
，
解得a=﹣1．
故选：C．
7.（2018年江苏省扬州市）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
【考点】一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
8.（2017年江苏连云港市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
9.（2017年江苏南京市）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= ，q= ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，
∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，
∴p=4，q=3．
故答案为：4；3．
10.（2017年湖南湘潭市）由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+ ）（x+ ）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．
解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），
故答案为：2，4；
（2）∵x2﹣3x﹣4=0，
x2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1=0，
∴（x﹣4）（x+1）=0，
则x+1=0或x﹣4=0，
解得：x=﹣1或x=4．
11.（2018年湖北省孝感市）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．
解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．
∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=﹣6，
∴p=﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出p值．
1.（2018年江苏省盐城市）已知一元二次方程 x2﹣kx-3=0有一个根为1，则 k的值为（?? ）
A.?-2??????????????B.?2????????????C.?-4??????????? ??D.?4
【考点】一元二次方程的根
【分析】将x=1代入原方程可得关于k的一元一次方程，解之即可得k的值。
解：把x=1代入方程可得1+k-3=0，解得k=2。故答案为：B
2.（2018年浙江省嘉兴市）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【考点】解一元二次方程﹣配方法；勾股定理
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.（2017年四川省泸州市）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
4.（2017年四川省攀枝花市）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1
【考点】根的判别式．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1=0有两个实数根，
∴，
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
5.（2017年四川省凉山州）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
【考点】根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．
解：设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
所以x1+x2=，x1x2==﹣2．
故选B．
6.（2018年四川省资阳市）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
7.（2018年湖北省十堰市）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．
8.（2017年四川省阿坝州）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，得出△=16﹣4c=0，解方程即可求出c的值．
解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4c=0，解得c=4．
故答案为4．
9.（2017年江苏泰州市）方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x1、x2，则+的值等于 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣，x1x2=﹣，再通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
所以+===3．
故答案为3．
10.（2018年江苏省扬州市）关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4﹣12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4﹣12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为：m＜且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
11.（2018年湖北省荆州市）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是 ．
【考点】根与系数的关系，根的判别式
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1?x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．
解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1?x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
12.（2018年湖北省黄石市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
13.（2018年四川省乐山市）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根
【考点】整式的混合运算—化简求值；一元二次方程的解
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出m2+m=2，代入计算可得．
解：原式=4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
=4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
=2m2+2m﹣2
=2（m2+m﹣1），
∵m是方程x2+x﹣2=0的根，
∴m2+m﹣2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2﹣1）=2．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算顺序和运算法则、方程的解的定义．
14.（2018年四川省南充市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
15.（2018年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．
②若AD=EC，求的值．
【考点】一元二次方程的解；直角三角形的性质；勾股定理
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；
（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；
②根据勾股定理列出算式，计算即可．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，
∴∠B=62°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=59°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；
（2）①由勾股定理得，AB==，
∴AD=﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；
②∵AD=AE，
∴AE=EC=，
由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，
整理得，=．
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
